高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义

Ⅰ复习提问

一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断

判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立

(,)0

Ax By C F x y ++=⎧⎨

=⎩消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。

（2）当0a ≠时，0∆>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0∆=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0∆<，直线l 与曲线C 相离。 二、圆锥曲线的弦长公式

相交弦AB

的弦长

1212AB AB AB x y y ⎧

⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-==-⎪⎪⎩

三、中点弦所在直线的斜率

（1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠0

0x y ，

即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0

0x y ，即22op a k k b =-；

（2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0

x y ，即

22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0

x y ，即22op a k k b =；

（3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)p

k y =

≠0

y ； 若方程为22x py =时，相应结论为k p

=0

x 。

Ⅱ 题型与方法

一、直线与圆锥曲线的位置关系

（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0∆>；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率大小得到。

（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切。

例1.已知两点5(1,)4M ，5(4,)4N --，给出下列曲线方程：①4210x y +-=②22

+y =3x ③2212x y += ④2

212

x y -=在曲线上存在点P ，满足PM PN =的所有曲线方程是 （填序号）。

练1:对于抛物线C ：2

4y x =，我们称满足2004y x <的点M （00,x y ）在抛物线的内部，若点M （00,x y ）在抛物线

的内部，则直线l ：002()y y x x =+与抛物线C 的位置关系是 。

练2：设抛物线2

8y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有共点点，则直线l 的斜率的取值范围是

例2.如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，过y 轴正方向上一点C （0，c ）（c>0）任作一条直线，与抛物线2

y x = 相交于A ，B 两点，一条垂直于x 轴的直线分别与线段AB 和直线l ：y=-c 交于P ，Q 两点。 （1）若2OA OB =，求c 的值；

（2）若p 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线。

练1：（12安徽理）如图所示，1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点，过1F 作直线

x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过2F 作直线2PF 的垂线交直线2

a x c

=于点Q ，求证：直线PQ 与椭圆C 只

有一个公共点。

练2：（14湖北理）在平面直角坐标系xoy 中，点M 到点F （1,0）的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ，（1）求点M 的轨迹方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点P （-2，1）分别求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。

二、中点弦问题

例1：已知过点M （12，12）的直线l 与椭圆2212x y +=交于A ，B 两点，且1

()2

OM OA OB =+（O 为坐标原点），求直线l 的方程。

练1：（14江西理）过点M（1,1）作斜率为

1

2

-的直线与椭圆C：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>相交于A，B两点，若M

是线段AB中点，则椭圆C的离心率等于。

练2：已知椭圆方程

2

21

2

x

y

+=。（1）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程；（2）过点P（2,1）的直线l与椭圆相

交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程。

例2：如图所示，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆

22

1

42

x y

+=，过坐标原点的直线交椭圆于P，A 两点，其中

点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，求证：对任意k>0,都有P A⊥PB。

练1：已知曲线C：

2

2

2

1(0,1)

y

x m m

m

+=>≠，过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，

且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意带你k>0,都有P Q⊥PH？若存在，求m的值，不存在，说明理由。