数学物理方程课件 积分变换法

本章主要内容


掌握傅立叶变换法、拉普拉斯变换法的定义、 存在条件及正反变换的求法； 掌握二种变换的主要性质； 学会查积分变换表； 掌握使用积分变换法求解定解问题的一般步 骤。重点掌握用富氏变换法求解无界域偏微 分方程定解问题的求法和用拉氏变换法求解 常微分方程的初值问题。
积分变换法的基本思想
f s ( x)sin xdx f c ( x) cos xdx
Fc [ Fc ( )] f ( x)
1

0
§1 Fourier变换法
证明：F ( ) F[ f ( x)] (欧拉公式)

f ( x)e i x dx


2


f (t ) e

it
dt a e
i 2 ) 2b

bt 2 it
e
dt
it )
dt ae
2
2
4b



e
b (t
dt
e

2
4b

b
e

2 2
§1 Fourier变换法
例5：求矩形脉冲的频谱。该脉冲可表示为

ei x e i x i x e dx 2
1 i ( ) x i ( ) x [e e ]dx 2 1 [2 ( ) 2 ( )] 2 1 i x ( ( x) 1 e d ) 2 F (cos x) [ ( ) ( )] 同理可得 F (sin x) i [ ( ) ( )]
二、Fourier变换 设f ( x)在(-, )上满足 i)逐段光滑（可导）； ii)绝对可积（即 | f ( x) | dx收敛 ）,
-
则称F ( )

-
f ( x)e i x dx
(1)
为f ( x)的Fourier变换(象函数)，记作 F[ f ( x)] F ( ) 而称f ( x)

这里用到了 ( x)函数的分选性质，即



f ( x) ( x x0 ) dx f ( x0 ) (3)
即F[ ( x)] 1
§4.1.1 Fourier变换法
把(3)代入Fourier逆变换公式(2)得， 1 i x 1 ( x) 1 e d cos xd 2 0 这里用到了欧拉公式，即 e
x
0
F[ H ( x - a )] lim


0
H ( x - a )e x e i x dx i
lim e ( i ) x dx
0 a

e ia
§1 Fourier变换法
例8：设f ( x)满足Fourier变换存在的条件，并且记 Fs [ f ( x)] Fs ( ) f ( x)sin xdx
1 F[ F1 ( ) F2 ( )] f1 ( x) f 2 ( x)
(5) (6)
§2 Fourier变换的性质
三、Fourier变换的性质(对广义变换也适用) 2、位移性质 设F[ f ( x)] F ( ), 则F[ f ( x x0 )] e

it
dt
2E

sin

2
§1 Fourier变换法
例6：证明f ( x)与其象函数F ( )的奇偶性相同。 证明：按照Fourier变换的定义式，有 F ( ) F[ f ( x)]
i x
f ( x) e

i x
0, t 2 f ( x) E , t 2 2 0, t 2 解：按照Fourier变换的定义式，有
F ( ) F[ f (t )] E e
2 2
f (t ) e it dt
x
dx
1 1 2 2 1 i 1 i 1
§1 Fourier变换法
2 1 例4：求高斯分布函数f (t ) e 2 的频谱函数。 2 解：求频谱函数，就是求其Fourier变换。 t2
1 1 设a ,b ,有 2 2 2 F[ f (t )] F ( ) a e (bt
dx (1) (2)
f ( x) e d ( x)

f ( x) ei x dx
F ( )
f ( x) ei x dx
比较(1)、 (2)两式可见，若f ( x) f ( x)，则
F ( ) F ( )，即F ( )与f ( x)奇偶性相同。证毕！
例3：求f ( x) e 的Fourier变换。
x e , x 0 解： f ( x) x e , x 0
| x|
F[ f ( x)] e e
x 0 i x


f ( x) e
0
i x
dx
i x
dx e e

0
§1 Fourier变换法
ii)当f ( x)为奇函数时，根据(1)式有 F ( ) 2i f ( x) sin xdx 2iFs ( )
0
(4)
此时由Fourier逆变换公式(3)、 (4)有 1 1 i x i x f ( x) F ( )e d [2iFs ( )]e d 2 2 i 2 Fs ( ) ei x d (欧拉公式)
f ( x) cos xdx i
f ( x ) sin xdx (1)
i)当f ( x)为偶函数时，有 F ( ) 2 f ( x) cos xdx 2 Fc ( )
0
(2)
1 i x 而f ( x ) F ( ) e d (逆变换公式) (3) 2 我们知道，f ( x)与F ( )的奇偶性相同(已证明)，故此时有 1 2 f ( x) 2 F ( ) cos xdx Fc ( ) cos xdx 0 2 0 即Fourier余弦变换的公式为 2 f ( x) Fc ( ) cos xd
a , a ,
1 c



f ( s )e
i s c

1 ds F ( ) c c
§2 Fourier变换的性质
三、Fourier变换的性质(对广义变换也适用) 4、微分性质 若当 | x | 时，f ( x) 0, 则有 F[ f '1 ( x)] F[ f ( x)] (i ) F ( ) 一般地，有)F[ f ( n ) ( x)] (i ) n F (） (9) (10)
偏微分方程 i)选取适当的积分变换 象函数的常微分 方程的定解问题 定解问题
偏微分方程 定解问题的解
ii)求解常微分 方程定解问题
象原函数
iii)取逆变换
象函数
§1 Fourier变换法
一、Fourier级数 一个以2l为周期的函数f ( x)，若在区间[-l , l ]上满足 Dirichlet条件(即连续或有有限个第一类间断点， 并且只有有限个极大值和极小值)， 则在[-l , l ]式可以展开Fourier级数 a0 n n f ( x) (an cos x bn sin x) 2 n 1 l l 1 l n 其中an f ( x) cos xdx, n 0,1, 2,... l l l 1 l n bn f ( x) sin xdx, n 1, 2,... l l l
第五章 傅里叶变换方法
积分变换法简介



积分变换法是求解数学物理方程的一种重要 的方法，它适合于求解无界区域和半无界区 域的定解问题。通过对数学物理方程的积分 变换，减少了自变量的个数，直至把偏微分 方程化为常微分方程，使求解问题大为简化。 积分变换法还可以计算定积分，求解常微分 方程和积分方程。 本章介绍最经常使用的Fourier变换法和 Laplace变换法。

0
即Fourier正弦变换的公式为 f ( x)

2

0
Fs ( ) cos xd
§.2 Fourier变换的性质
三、Fourier变换的性质(对广义变换也适用) 1、线性性质 设F[ f1 ( x)] F1 ( ), F[ f 2 ( x)] F2 ( ), 则F[ f1 ( x) f 2 ( x)] F1 ( ) F2 ( ) 其中， 为常数，逆变换也成立，即
例1：求 函数 ( x)的Fourier变换与Fourier逆变换。 解：根据 函数的性质，有



( x)dx 1, 并且在( , 0) (0, ) 0
所以 ( x)函数满足Fourier变换的存在条件i)、ii)， 由Fourier变换的定义式(1)可得 F[ ( x)] ( x)e i x dx e i x |x 0 1
§1 Fourier变换法
0, x a 例7：求单位阶跃函数H ( x - a ) 的Fourier变换(a 0)。 1, x a 解：根据定义式， F[ H ( x - a )]

H ( x - a) e
i x
dx e i x dx
0
Fc [ f ( x)] Fc ( ) f ( x) cos xdx
0

分别称为f ( x)的Fourier正弦变换和Fourier余弦变换。 试证明Fourier正弦变换和Fourier余弦变换的公式分别为 Fs [ Fs ( )] f ( x)
1

2
2

0
i x
cos x i sin x

以及 sin xd 0 即 ( x)

1

0
cos xd
例2：求f ( x) cos x, x ( , )的广义Fourier变换。 cos x e i x dx
-
F ( )ei x d
(2)
为F ( )的Fourier逆变换(象原函数)，或Fourier积分。
该问题可以推广到n维空间情形： 记f ( x) F [ F ( )]
1
(1)和(2)称为Fourier变换对，条件i)、ii) 称为变换存在的条件。满足条件i)、ii)的 Fourier变换称为常义Fourier变换，否则称 为广义Fourier变换。 对于广义Fourier变换， 函数起着至关重 要的作用。
1 i x0 i0 x
F ( ) f ( x)
(7) (8)
F [ F ( 0 )] e
3、相似性质
若F ( ) =ℱ f ( x) c 0 则
ℱ
1 f (cx) c
ຫໍສະໝຸດ Baidu F c
证 明 ：
s i 1 c f ( s e ) ds s cx c i t F[ f cx( ) f ]cx e dt ( ) s i 1 c f ( s e ) ds c
a

由于积分不收敛，故单位阶跃函数的Fourier变换不存在， 为了改善其收敛性质，考虑加一个衰减因子( 0), 0, x a H ( x - a )e x e , x a 重新定义F[ H ( x - a )] lim F[ H ( x - a )e x ], 则