第3章立体及其截交线

(e) 圆锥与圆柱组合
作图： (1) 画出完整圆Hale Waihona Puke Baidu的侧面投影； (2) 取特殊点投影。最低、最左点 A、最高、最右点B、最前点C、 最后点D，并求作其侧面投影； (3) 取一般点，并求作侧面投影； (4) 依次光滑地连接各点； (5) 完成截切后圆柱的轮廓线。
截交线的水平投影
截交线的水平投影
【例3-13】知联轴节接头的侧面投影，补全其两面投影中的截交线。 分析： 左边切槽和右边切口可以看作是圆柱被多个平面截切的结果。 左端矩形槽是由两个对称于圆柱轴线的水平面和一个垂直于圆柱轴 线的侧平面截切后，再将中间部分移走的结果。 右端切口则是由两个对称于圆柱轴线的正平面和一个侧平面截切后 有线 ，再拿走前后两块。 作图： （1）求作左端的矩形槽。在前半 圆柱面上取特殊点A、B、C、D， 并求出其投影，画出直线AB、CD 以及圆弧AB的水平投影。 （2）求作右边的缺口。取对称的 特殊点E、F、G、K，并求截交线 的正面投影。 （3）补全缺口圆柱的轮廓线。
（a）正三棱柱
(b) 正六棱柱
(c) 正三棱锥
(d) 正四棱台
一、棱柱体
棱柱是由两个平行的顶面、底面以及若干个侧棱面围成 的实体，且侧棱面的交线（称棱线）互相平行。把棱线垂 直于底面的棱柱称为直棱柱，棱线与底面斜交的棱柱称为 斜棱柱，底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。 以正五棱柱为例，绘制其三面投影图。
3.1.1平面立体表面截交线的投影
把平面与立体表面的交线称为截交线，该平面称为截平面。
一、平面立体表面截交线的性质 1．共有性。截交线是截平面与平面立体表面的共有线，其上所有点 既在截平面上又在立体表面上，是它们的共有点；移走部分截平面
2．封闭性。由于立体占据空间一定的范围，故其在空间截交线一定 是封闭的平面图形。
二、平面立体表面截交线的作图 当用截平面截切平面立体，所得截交线是一平面多边 形，其每个顶点是截平面与立体棱线或底边的交点，每一 条边是截平面与棱面或底面的交线（直线）。因此，求解 截交线的投影可归结为求这些顶点和交线的投影，可以利 用两平面相交求交线、直线与平面相交求交点的作图方法 求出平面多边形各顶点的投影。
二、棱锥体 棱锥是由一个底面和若干个侧棱面围成的实体，底面是 多边形，各侧棱面为三角形，所有侧棱面交于锥顶。与棱柱 类似，也有正棱锥和斜棱锥之分。
以正三棱锥为例，绘制其三面投影图。
作图： （1）画出底面ABC和顶 点S的三面投影； （2）完成棱线SA、SB、SC 的三面投影，并判别 可见性。
棱锥体表面上取点、取线
【例3-7】 已知圆柱体表面上点A、B的正面投影,求作其余两面投影。 分析： 由a、(b)投影可以判定点A在左前半圆柱面上，点B在右后半圆柱面上。 水平投影为积聚性圆，投影a、b在此圆上，可利用“三等”关系求投影a、 b。 作图：
（1）求作圆柱的W面投影。 （2）根据A、B的两面投影求出投影a、b， 投影a为可见，投影（b）为不可见。
直素线
辅助纬圆法
过点K在圆锥面上作一纬圆，该纬圆一定垂直于回转轴，借助于纬圆 作为辅助线即可获得该点的其它投影
纬圆
纬圆
【例3-10】已知圆锥面上曲线AB、直线SB的V面投影， 求其H、W面投影。
分析： 直线SB为过圆锥顶点的直素线，故只需求出点B即可。欲求AB投影，可采用取 其线上若干点，并利用圆锥面上取点的作图方法求出这些点的投影，最后，将各点 的同面投影光滑地连成曲线即为所求。
作图： （1）求特殊点：最低点A、B（又是最左、 最右点），最高点C； （2）求一般点D、E； （3）依次光滑地连接各点的正面投影 。
3. 圆球面上截交线
平面截切圆球面，所得截交线形状一定是圆。但截交线的投影可能 是圆、直线或椭圆。
平面平行于H面
直 观 图
平面垂直于H面
平面倾斜于H面
投 影 图
【例3-16】求作开槽半球的水平投影和侧面投影。 分析： 从形体上来看，半球头部被挖切了一块方槽，槽口即由左右两个对 称的侧平面P和一个水平面R截切而成，截交线都是圆弧。
求解截交线的步骤： 1．空间及投影分析
• • • • 分析回转面表面性质，想象截交线的大致形状； 分析截平面与回转面轴线的相对位置，想象截交线的空间形状（唯一性）； 根据截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影； 分析截交线的投影是否具有对称性，以简化作图，保证一定的准确性。
2．投影作图
• • • • 在已知截交线的投影上取特殊点，如极限位置点、可见与不可见的分界点等； 根据作图精度要求，在两特殊点之间取若干个一般点； 利用回转面上取点的作图方法（直素线法或纬圆法），求解点的其它投影； 依次光滑地连接各点的同面投影，判别可见性。
圆柱面 底面
圆球面
底圆
圆锥面
形 成
圆柱体由顶面、底面和圆柱面围成， 圆柱面是由直母线绕着与之平行的轴 线回转后形成。
圆锥体由圆锥面和底面围成。圆锥 面是由直母线绕着与之相交的轴线 回转后形成。
圆球可以看成是一圆母线绕其直径 旋转而成。
直 观 图
投 影 图
3.2.2 回转体表面上取点、取线
一、圆柱体表面上取点、取线
作图： （1）利用直素线法求B点投影b、b， 连接sb、sb即得直线SB的投影。 （2）求曲线AB上最低、最左点A的投 影a、a，取最前点C（又是侧面投 影转向点），求出投影c、c； （3）取一般点D、E，并用直素线法求 出投影 。 （4）依次用光滑曲线连接各点的同面 投影，水平投影为可见，侧面投影 ac可见，cb不可见。
二、求解回转体表面上截交线的投影
1．圆柱面上截交线
截平面 的位置 截交线
（表面上截交线形状可以有三种情况） 平行于圆柱的轴线 两条平行直线 倾斜于圆柱的轴线 椭圆
垂直于圆柱的轴线 圆
直观图
投影图
【例3-12】已知被截切圆柱的正面投影和水平投影，求作侧面投影。
分析： （1）给定回转面为圆柱面，截交线可能是圆、椭圆或直线； （2）由于平面与圆柱轴线斜交，所得截交线是椭圆； （3）因为截平面为正垂面，截交线的正面投影是一条斜线；又因圆柱面的 水平投影有积聚性，截交线的水平投影为圆；截交线的侧面投影是椭圆 截交线的正面投影 截交线的正面投影 的类似形，且前后对称，作图时可以只在对称的前半面上取点。
回转轴 纬圆 转向轮廓线 回转面
绘制回转体的投影，应先画出回转轴的投影，然后再画出相 对于投影面的转向轮廓线（简称转向线）、圆的对称中心线等。
二、常见回转体的表面特性及投影
圆柱体
顶面 母线 回转轴 素线 (直线)
圆锥体
锥顶点 回转轴
圆球体
表 面 特 性
回转轴
纬圆 母线 素线 (直线)
母线 纬圆 素线(圆)
作图：
（1）画出完整的正五棱柱的W面投影； （2）确定截交线的正面投影和水平投影,并找出五 个顶点A、B、C、D、E； （3）求作各顶点的侧面投影a、b、c、d、e， 并顺序连接各点，判别可见性； （4）补全切口五棱柱的轮廓线，擦去多余线条。
2．棱锥表面上截交线
【例3-5】已知截头四棱锥的正面投影，补全其 水平投影，求作侧面投影。
1．棱柱表面上截交线
【例3-3】已知切口五棱柱的V、H面投影,求作W面投影。
分析： 截平面分别与五棱柱的顶面以及四个侧棱面相 交，截交线形状是五边形。
由于截平面为正垂面，所以截交线的正面投影 为一斜线（具有积聚性）。
交线所在的四个棱面都垂直于水平投影面，截 交线上的四条边的水平投影与这些棱面的水平投 影重合。
没有线
有线
没有线
2．圆锥面上截交线
截平面 的位置 截交线 过锥顶 两相交直线 垂直于轴线 与轴线倾斜 与某素线平 θ=90º α/2<θ<90º 行 θ=α/2 圆 椭圆 抛物线 与轴线平行 双曲线
直观图
投影图
【例3-14】已知圆锥被一个正平面P 截切，求截交线的正面投影。
分析： • 由于平面与圆锥轴线平行，所得截交线是双曲线； • 截平面为正平面，其水平投影是直线，正面投影反映双曲线的实形， 且左右对称。
三、圆球表面上取点
由于圆球的三面投影都无积聚性，因此，表 面上取点只能采用辅助纬圆法作图。考虑到投影 作图简单、准确，应尽可能使纬圆的投影为直线 或圆，一般是作三种位置的纬圆，分别平行于三 个投影面。
【例3-11】已知球面上点A的正面投影， 求其余两面投影。 分析： 根据所给点A的投影及可见性， 可以判定A点在前右上半球面上，其 水平投影可见，侧面投影不可见。 作图： （1）过点A作水平纬圆，V、W面投影为 水平的直线，H面投影是圆； （2）求作纬圆上A点的投影a、a，并根 据A点在球面上的位置判别可见性。 水平纬圆 正平纬圆
3.2 回转体及其表面截交线
3.2.1 回转体表面特性及其投影
一、回转面的形成
回转体是由回转面与平面或全部 由回转面围成的实体，而回转面可以认 为是母线绕着空间指定的轴线旋转而成 素线(曲线) 的轨迹面，如图所示，母线绕空间一直 线作旋转运动形成回转面，该直线称回 母线 转轴，母线任一位置称素线。母线上任 一点的运动轨迹是圆，又称纬圆，其所 在平面垂直于回转轴。
作图： （1）画出两侧平面P与半圆球的截交 线AB； （2）求作水平面与半圆球的截交线AC ； （3）补画出两个截平面相交的交线， 侧面投影不可见，画成虚线，并完 成半球轮廓线。
I
3.2.4 复合回转体表面截交线
一、复合回转体的投影
(a) 空心圆筒
(b) 同轴两圆柱组合
(c)半球与圆柱组合
(d) 半球与圆柱组合
求作棱锥表面上的点和线的投影，实际就是求作平面 上点和线的投影,要注意分析点和直线从属于哪个表面， 该表面投影是否可见。
【例3-2】 已知三棱锥SABC的V、H面投影及其表面上直线DE、EF的水 平投影，试完成其余两面投影。
作图： （1）绘制棱锥的W面投影;
（2）求作直线EF的V、W面投影。
（3）求作直线DE的V、W面投影。
二、圆锥体表面上取点、取线
圆锥面的三个投影都没有积聚性，因此，欲在表面上取点，并求该 点的其余投影，只能借助于在圆锥面上作辅助线的方法来解。 【例3-9】 已知圆锥面上点K的正面投影k，用辅助线求解点K的其余两 面投影。 辅助直素线法
根据圆锥面的形成特点，过 点K与圆锥锥顶S连接，必然得到 圆锥面上一条直素线。
分析： 截平面与四棱锥相交，截交线形状是 四边形，四个顶点为截平面与四条棱线的 交点。由于截平面为正垂面，所以截交线 的正面投影是直线（具有积聚性），水平 投影面和侧面投影为类似的四边形。 作图： （1）画出完整正四棱锥的W面投影；
（2）取截交线的四个顶点A、B、C、D， 并求作各顶点的H、W面投影； （3）顺序连接各点的同面投影，补全切 口四棱锥的轮廓线
3.2.3 回转体表面上截交线
一、回转体表面上截交线的性质 平面截切回转面所得截交线一般是平面曲线，特殊情 况下为直线，其形状取决于回转面的几何性质以及它与截 平面的相对位置。 截交线的投影还与截平面相对于投影面的位置有关。 当截平面垂直于某投影面 ——截交线在该投影面上的投影是直线（有积聚性） 当截平面平行于某投影面 ——该投影反映截交线的实形； 当截平面倾斜于某投影面 ——该投影反映截交线的类似形。 截交线是截平面与回转面的共有线，截交线上的点是截平面与回 转面的共有点，求解截交线可以归结为求解截交线上一系列点。
作图：
（1）画出顶、底面的三面 投影； （2）画出每条棱线的两面 投影，判别可见性。
棱柱体表面上取点
已知表面上点的一个投影，求作点的其余两面投影，可 充分利用棱柱的侧表面投影有积聚性特点作图。
【例3-1】已知正五棱柱表面上A、B两点的某一投影a、b〞，求其另外两 面投影。
作图： （1）根据“长对正”，作A点水平投影a ，利用“高平齐”、“宽相等”，求 出A点的W面投影a，且为可见； （2）同样方法求得B点的投影b、b，并判 别可见性。
第三章 基本体及其表面截交线
3.1 平面立体及表面交线 3.2 回转体及其表面截交线
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3.1 平面立体及其表面截交线
3.1.1 平面立体投影及表面上取点、取线 平面立体的表面均为多边形，其每条边为相邻两个平 面的交线，每个顶点为邻接三个平面的共有点。因此，绘 制平面立体的投影可归结为绘制这些多边形轮廓线和顶点 的投影。