非线性动力学之一瞥——Lorenz系统

非线性动力学

非线性系统之一瞥——Lorenz系统

2013-01-30

0 前言

0.1非线性系统动力学

线性系统是状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统；非线性系统就是这些量不满足叠加原理的系统。非线性系统在日常生活和自然界中不胜枚举，也远远多于线性系统。

非线性动力学是研究非线性系统的各种运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统的长时期行为。研究的对象主要有分叉、混沌和孤立子等。 0.2洛伦兹方程

洛伦兹方程是美国气象学家洛伦兹在模拟天气这一非周期性现象时确定，这个方程的三个变量分别模拟温度、湿度和压力。可以得出结论，初期微小的差别随着时间推移差别会越来越大，洛伦兹基于此提出长期的天气预报是不可能的。这也被视为研究非线性混沌理论的开始，所以洛伦兹系统在研究非线性系统中具有举足轻重的地位。本文借助洛伦兹系统对非线性进行简单的介绍。洛伦兹方程如下。

{ẋ=σ(−x +y )

ẏ=−xz +μx −y ż=xy −βz

方程中，σ、μ和b 都为实参数。实参不同，系统的奇点及数目也是不同的。 1 奇点和稳定性

1.1 奇点

洛伦兹系统含有三个实参数，当参数变化，奇点的数目可能不同。首先，(0，0，0)一定是系统的奇点。β>0时，当μ≤1时，系统仅有(0，0，0)一个奇

点；当μ>1时，系统还有另外两个奇点(±√β(μ−1)，±√β(μ−1)，(μ−1))。

下面仅解μ>1时的两个非原点奇点。令

{σ(−x +y )=0

−xz +μx −y =0xy −βz =0

方程第一式得x =y ，第三式可得z =xy β=x 2β，将两式代入第二式得

−x 3β

+μx −x =0 即x =y =±√β(μ−1)，z =x 2β=μ−1。

1.2 奇点稳定性判别

下面根据Liapunov 稳定性判别方法，找出系统在原点处大范围渐进稳定的条件，取Liapunov 函数V =(x 2+σy 2+σz 2)/2。考虑σ>0，β>0的情况。则有

dV dt

=xẋ+σyẏ+σzż 将洛伦兹方程

{ẋ=σ(−x +y )

ẏ=−xz +μx −y ż=xy −βz

代入上式，可得

dV dt

=−σx 2−σy 2−βσz 2+(σ+σμ)xy 变换为二次型，系数矩阵为

( −σ12

(σ+σμ)012(σ+σμ)−σ

000−βσ)

已知σ>0，β>0，则系数矩阵负定的条件是μ<1。所以该系统是大范围渐进稳定的条件是μ<1，前提是σ>0，β>0。

Liapunov 函数V 总是存在的，只要构造出合适的Liapunov 函数，就可以通

过Liapunov稳定性定理直接判断奇点的稳定性，而不需要求解非线性方程组。有的Liapunov函数不易构造，则可以通过奇点处导算子的特征值来判断：若所有的特征值实部都小于0，则方程组在该奇点是局部渐进稳定的；若特征值实部至少有一个为正，该奇点是不稳定的。仍以洛伦兹系统为例，求出导算子的特征值。

Df(0,0,0)=(−σσ0μ−10 00−β

)

特征矩阵的行列式（特征方程）为

|λ+σ−σ0

−μλ+10

00λ+β

|=(λ+b)[λ2+(σ+1)λ+σ−σμ]

特征值

{λ1=−b

λ2=−σ−1−√σ2+(4μ−2)σ+1

2

λ3=−σ−1+√σ2+(4μ−2)σ+1

2

显然，当σ>0，β>0时，λ1<0，λ2<0，要使方程在原点处渐进稳定，λ3必须小于0，因此

σ+1>√σ2+(4μ−2)σ+1

两边同时平方可得

(1−μ)σ>0

因此

μ<1

显然μ<1使得系统在奇点(0，0，0)渐进稳定。

1.3中心流形定理

导算子的特征根的实部都不为0，它的Liapunov稳定性可由特征值实部来判定；若导算子的特征根实部有0存在，显然不能通过Liapunov定理判断，可以

借助中心流形定理判断。特征根中，零实部特征根对应的特征向量构成的子空间比较特殊，从这个解子空间出发的轨线是周期轨。

前面计算得到，特征值中λ1<0，λ2<0，可以使λ3=−σ−1+√σ2+(4μ−2)σ+1

2

=0，此时μ=1，即三个特征值分别为

{λ1=−β λ2=−σ−1λ3=0

特征向量分别为

{e1=(0，0，1)T

e2=(σ，−1，0)T e3=(1，1，0)T

洛伦兹系统方程组不是标准形式，先将其化为标准形式，令

(x

y

z

)=(

0σ1

0−11

100

)(

u

v

w

)=(

σv+w

w−v

u

)

即

(u v

w

)=

(

001

1

σ+1

−1

σ+1

1

σ+1

σ

σ+1

)

(

x

y

z

)=

(

z

x

σ+1

−

y

σ+1

x

σ+1

+

σy

σ+1) (

u

v̇

w

)=

(

001

1

σ+1

−1

σ+1

1

σ+1

σ

σ+1

)

(

ẋ

ẏ

ż

)

由洛伦兹方程中

(ẋ

ẏ

ż

)=(

σ(−x+y)

−xz+x−y

xy−βz

)

因此