第三章人寿保险的算现值总结

. n px
记 A
2
1
e
2 n
x :n
. n px ，则
2 2
Var (Z ) A 1 ( A 1 )
x:n
寿险精算
x :n
24
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数：
1) Dx v x .l x 2)C x

1
0
v

x t
.l x t . x t d t
vt
3.赔付现值变量
vt ,t n v n ,t n
Zt bt .vt
寿险精算
vt ,t n v n ,t n
26
4.趸缴纯保费的厘定 记 Ax:n 为即刻赔付n年两全保险的趸缴纯保费 n年两全保险是n年定期死亡保险与n年纯生 存保险的组合产品 即：
Ax:n A A 1
bt 1,t n
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt v n , t 0 3.赔付现值变量
Zt bt .vt
寿险精算
0,t n vn ,t n
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4.趸缴纯保费的厘定 记 Ax:n 为n年期生存保险的趸缴纯保费 在n年定期生存保险情况下，赔付事件发生 的概率就等于剩余寿命大于等于n年的概率
E (Zt ) E (bT vT ) Zt . fT (t )dt
寿险精算 9
这个期望给付就等于被保险人的趸缴纯保费 也就是精算现值，即 精算现值＝ E(Zt )
净均衡原理并不是指每个被保险人个人缴 纳的净保费恰好等于他个人得到的保险给 付金额。它的实质是把相同风险的人视作 一个总体，这个总体在统计意义上的收支 平衡
2 0
n
1 2 x:n
v 2 t t px x t d t
0
n
e 2 t t px x t dt
0
n
记 A e2 t t px xt dt ，则 0
2 1 x:n
n
Var(Z ) A ( A )
2 1 x:n
寿险精算
1 2 x:n
15
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数：
bt
0,t m 1,t m
2）按年度实际贴现率复利计息，则
vt vt , t 0
3.赔付现值变量
Zt bt .vt
寿险精算
0,t m vt ,t m
31
4.趸缴纯保费的厘定 记 m Ax 为即刻赔付延期m年终身寿险的趸缴纯 保费，即：
m
Ax v t px x t dt
寿险精算
10
§3.2
死亡即付的人寿保险
• 死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障 期内发生保险责任范围内的死亡，保险公 司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险 赔付。它是在实际应用场合，保险公司通 常采用的理赔方式。 • 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的 任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个 连续随机变量，它距保单生效日的时期长 度就等于被保险人签约时的剩余寿命。 连续型寿险
x:n t

0 t T
t
v t px x t dt
t 0
n
e
0
n
t
t x x t t
寿险精算 14
p d
5.赔付现值变量的方差
Var(Z ) E(Z ) [E(Z )] E(Z ) ( A )
2 2 2
E ( Z ) zt2 fT (t )dt

1
0
v

x t
.l x t . x t d t

1
0
Dx t . x t d t
3) M x

0
Dx t . x t d t
则：
例P49：4.1.2
Mx Ax Dx
寿险精算 21
三、n年期纯生存保险的精算现值 1.定义——什么是纯生存保险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期 0,t n 限n年，则
bt 0,t n
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt vt , t 0 3.赔付现值变量
Z t bt .vt
寿险精算
v t ,t x:n 为n年定期保险即刻赔付的趸缴纯保费 赔付事故发生等于死亡事故发生，所以赔付 发生的概率就等于剩余寿命的密度函数 n 1 所以 A E ( Z ) z f (t )d
x t

0
t T
t
v t px x t dt
t 0

e
0

t
t x x t t
寿险精算 19
p d
5.赔付现值变量的方差
Var (Z ) E(Z ) [E(Z )] E(Z ) ( Ax )
2 2 2
2
E ( Z ) zt2 fT (t )d t
3
四、人寿保险精算现值的概念
——也称为趸缴纯保费，是指在保单生效日 被保险人或投保人一次性缴付的，恰好覆盖 保险人将来赔付风险的费用。
就是投保人或被保险人在保单签发之日一 次性交付的纯保险费。 精算现值＝毛保费－附加保费
寿险精算
4
五、厘定原理——保费净均衡原则
保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出 的保险赔付金，即保费收入的期望现值正好 等于将来的保险赔付金的期望现值。它的实 质是在统计意义下的收支平衡，是在大数场 合下，收费期望现值等于支出期望现值 对于保险公司来说，各种类型的保险产品， 无论采用何种缴费方式，在厘定净保费时 都应遵循这条基本原则。
寿险精算 11
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）的厘定 1.n年定期保险 2.终身保险 3.生存保险 4.n年期两全保险 5.延期寿险 ——延期m年的终身保险 ——延期m年的n年定期保险 ——延期m年的n年期两全保险
寿险精算 12
一、n年定期保险的精算现值 1.定义——什么是定期保险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期 1,t n 限n年，则
保险赔付时间与赔付金额的不确定性
人寿保险的赔付金额与赔付时间依赖于被保险人的 生命状况。被保险人的死亡是一个随机变量，这就 意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依 赖于被保险人剩余寿命分布
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计原理计算 出平均赔付并可预测将来的风险 寿险精算
寿险精算
1
二、人寿保险的分类 1.受益金额是否恒定 ——定额受益保险和变额受益保险 2.保障期是否有限 ——定期寿险和终身寿险 3.保单签约日与保障期起始日是否同时进行 ——非延期寿险和延期寿险 4.保险事故不同 ——死亡保险、生存保险和两全保险
寿险精算 2
三、人寿保险的性质 保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为 不容忽视的因素
1) Dx v x .l x 2)C x v
0 0 1 x t
.l x t . x t d t Dx t . x t dt
0
1
3) M x Dx t . x t dt
则：
A
1 x:n
M x M xn Dx
寿险精算 16
例：P48：4.1.1 课堂练习 某人30岁向一家寿险公司购买30年定期死亡 保险，死亡发生t后立即给付额为 e0.05t ，假定 该30岁的被保险人死亡服从lx 100 x,0 x 100 且已知息力 0.05 ，求投保人在30岁签单时 应缴的趸缴纯保费。
寿险精算
34
3.趸缴纯保费的厘定 1 记 m Ax:n 为即刻赔付延期m年的n年定期寿险的 趸缴纯保费，即：
寿险精算
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二、终身寿险的精算现值 1.定义——什么是终身寿险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，则
bt 1, t 0
2）按年度实际贴现率复利计息，则 vt vt , t 0 3.赔付现值变量
Zt bt .vt v , t 0
t
寿险精算 18
4.趸缴纯保费的厘定 记 Ax 为终身寿险即刻赔付的趸缴纯保费 赔付事故发生等于死亡事故发生，所以赔付 发生的概率就等于剩余寿命的密度函数 所以 A E ( Z ) z f (t )d
寿险精算 5
• 保费净均衡原理的思想很好理解，但在保 险经营过程中要落实这条原理，保险公司 必须要解决以下几个问题：
1.什么时候会发生索赔事件？ 2.发生索赔的概率有多大？ 3.发生的索赔额等于多少？ 4.钱的时间价值如何测量？
寿险精算
6
• 为了解决以上问题，趸缴净保费的厘定给 出了以下三条假设： 假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保 险人的剩余寿命独立同分布 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经 验生命表进行拟合 假定三：保险人可以预测将来的投资收益
v
Zt bt vt
t取不同的值，现值函数有不同的表达式
寿险精算 8
余命有两种形式，所以 K 1 Zt bK 1v ——死亡年末给付
Zt＝bT v ——死亡时立即给付
已知未来给付的现值，再考虑该给付发生的概 率，就可以得出期望给付额
T
E (Zt ) E (bK 1v
K 1
)＝ Zt . k qx
第三章 人寿保险的精算现值 §3.1 人寿保险精算现值概述
一、什么是人寿保险？ 狭义——是以被保险人在保障期内是否死亡 作为保险事故的一种保险 广义——是以被保险人的生命作为保险事故 的一种保险。它包括以保障期内被保险人死 亡为保险事故的狭义寿险，也包括以保障期 内被保险人生存为保险事故的生存保险和两 全保险 本章主要介绍狭义的人寿保险的精算现值
1 x:n x:n
寿险精算
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5.赔付现值变量的方差
Var(Z ) E(Z ) [E(Z )] E(Z ) ( Ax:n )
2 2 2
2
则： Var(Z ) Ax:n ( Ax:n )
2
2
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6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数得：
M x M xn Dxn Ax:n A A 1 Dx x:n

1
0
Dx t . x t d t
3) M x

0
Dx t . x t d t
则：
A
1
x:n
Dx n Dx
寿险精算 25
四、两全保险的精算现值 1.定义——什么是两全保险 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，保险期 限n年，则 bt 1, t 0 2）按年度实际贴现率复利计息，则
1
则
A 1 E ( Z t ) v . n px e . n px
n x:n
n
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5.赔付现值变量的方差
Var (Z ) E (Z ) [ E (Z )] E (Z ) ( A 1 )
2 2 2 x:n
2
E(Z ) v . n px e
2 2n
2 n
这三条假定将单个被保险人的风险事故转 化为一个同质总体的风险事故
寿险精算 7
六、基本符号约定
在以上三个假定条件满足的情况下，趸缴净 保费是这样厘定的：
假定风险事故会在t时刻发生（t为余命），则 bt ——给付额 ——折现因子或贴现因子 t Zt ——给付额在保单签发之日的现值 那么给付额的现值函数为：
1 x:n
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练习： （40）投保20年两全保险，死亡即刻赔付5 万元，期末生存赔付1万元，设死亡由 lx 100 x(0 x 100) 所描述，利息效力 0.05 计算该险种的趸缴纯保费。
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五、延期保险的精算现值
（一）延期m年的终身寿险 1.定义 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，延期m年，则
t m

其他表示方法：
m m
Ax Ax A Ax A
1
1 x:m
x:m
. Ax m
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5.赔付现值变量的方差
Var ( Z )
2 m
Ax ( m Ax )
2
6.用替换函数表示趸缴纯保费
m
M xm Ax Dx
例P53:4.1.4
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（二）延期m年的n年定期寿险 1.定义 2.基础模型假定条件 1）投保年龄为x岁，保额为1单位元，延期m 年，n年定期寿险 2）按年度实际贴现率复利计息
2 0

v 2t t px x t d t
0

e 2 t t px x t dt
0

记 Ax e2 t t px xt dt ，则 0
2

Var(Z ) Ax ( Ax )
2
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2
20
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数：
1) Dx v x .l x 2)C x