球轴承柔性多体动力学分析与接触振动研究

０ｓ孝ｉ＜ｌ，０≤孝。＜１；咖ｉ，妒ｋ，ｌｆ，６ｓ分别为内圈旋转角度、 钢球公转角度和自转角度。
实质上保持架与钢球、套圈间的运动约束关系由
式（１６）给定哺Ｊ，则单个钢球的自由运动方程为：
＾鹭。３９曼１＝，乳ｌ
（１７）
球轴承套圈的有限元模型的自由运动方程为：
』ｌｆ：二’孑：二’＝Ｆ：磊’一ｃ：二’毒：：。’一Ｋ：二’ｇ：０’（１８）
数目奇偶交替时的变柔性接触振动本质。提出的球轴承动力学模型与计算结果为以系统振动为目标的球轴承动态设计
和球轴承系统设计提供理论指导和参考数据。
关键词：球轴承；接触振动；有限元法；接触动力学；柔性多体系统动力学
中图分类号：ＴＨｌｌ３
文献标识码：Ａ
球轴承振动机理研究的同时，借助计算机进行球 轴承运动学和动力学模拟和仿真，是检验分析模型，并 走向以动力学特性为目标的球轴承计算机辅助设计 （ＣＡＤ）的重要步骤。利用计算机辅助轴承分析方法进 行轴承动态数字样机建模和动力学分析是世界轴承行 业的新动向和发展趋势。由于轴承振动的随机特性和 涉及较多的学科知识，迄今这一领域的研究尚处于探 索阶段。
结合编制的球轴承接触力和约束方程的计算程 序，利用微分代数方程求解器ＤＡＥ［１０ ３求解式（１９），可 得球轴承柔性多体动力学特性和接触振动响应，如接 触力、接触应力和振动位移等结果。
２球轴承动力学计算实例
２．１计算边界条件 深沟球轴承通常用于承受径向力，也可承受较小
的轴向力。以深沟球轴承６ ０１３为例，外圈受固定约 束，内圈中心受１ｅ４Ｎ径向力以角速度１ ８００ ｒ／ｒａｉｎ转 动，套圈由钢球与套圈滚道的接触力学模型耦合，建立 柔性多体接触动力学模型。球轴承内外圈的直径为
式中：（术）表示ｉ或０，ｎ为坐标自由度数，Ｆ为球轴承
的外力载荷，其包括外力（轴向力和径向力）和接触力
（法向接触力、阻尼力和摩擦力）。
结合钢球公转和自转运动约束方程、内圈驱动约
束方程，最终可得深沟球轴承的动力学方程为：
ｆＭｑ ２ Ｆ一中：Ａ（１９）
Ｌ圣＝０
式中：咖为约束方程，Ｍ为质量矩阵，Ａ为拉格朗日列 矢量，口为广义坐标列矢量，，为外力矢量。
钢球与滚道的摩擦系数与相对速度关系为哺Ｊ： ｐ（秽）＝
渺ｄ，Ｉ ｖ Ｉ＞Ｖｄ ｛ｈａｖｓｉｎ（Ｉ ｔ，Ｉ，％，ｐｄ，移，，以），ｔ，．≤Ｉｔ｝Ｉ ｓ％ （１４） ［ｈａｖｓｉｎ（ＩｔＩＩ，ｏ，０，吃，地），Ｉ口Ｉ＜吼
式中：ｈａｖｓｉｎ（木）为半正弦函数，地，肛。分别为粘滞静
摩擦系数和滑动摩擦系数；ｔ，为切向相对速度，ｑ，％
式中：６为接触弹性变形，Ｆ。为Ｈｅｒｔｚ接触力，８＋是主
曲率差ｒ（ｐ）的函数，可插值计算。川，ＥＩ和ＥⅡ，∥Ｉ和
秽。分别为钢球和套圈的弹性模量与泊松比。 选择轴承为铬钢（ＧＣｒｌ５），弹性模量为２．０７ｅ５ＧＰａ，泊
松比为０．３，将式（６）改写为等效的Ｈｅｒｔｚ接触力关系式。
只＝［２．１５ ｘ １０５（艿＋）。１ ５（∑ｐ）。０ ５］艿－１。５＝
万方数据
６５ｍｍ和１００ｒａｍ，滚道直径为７１．３８８ ｍｍ和９３．６２７ ｍｍ，滚道曲率半径为５．７５ ｍｍ和５．８５ ｍｉｌｌ，钢球直径 和数目为１１．１１２ ｍｍ和１３颗。摩擦系数儿＝０．００２ ３， 肛ｄ＝０．００１ ６，游隙为１５ Ｉｘｍ，Ｋｏｉ＝１．０１ｅ６ Ｎ／ｍｍ“５，
Ｋ。＝９．６５ｅ５ Ｎ／ｒａｍｌ一。
限元法利用Ａｌｇｏｒ分析了圆柱滚子轴承的相关特性。 最近，姚廷强哺１等人基于多体动力学方法提出滚动轴 承的刚柔多体接触动力学方法，研究其多体动态接触 特性。
柔性多体系统动力学理论的不断完善和计算机仿 真技术的不断提高，为计算机辅助轴承动力学仿真研 究提供了广阔的前景。Ａｌｂｅｒｔ Ｔｔｌｒｔｓｃｈｅｒ【９ ｏ等人创造性 地将有限元方法（ＦＥＭ）和多体动力学方法（ＭＢＳ）结合
的位置，，，乙、，，么为面片单元分别在外圈和钢球体坐标系
下的位置（含套圈的弹性变形坐标），以、以。为面片单
元和钢球在包围盒坐标系下的位置。包围合坐标系相对
于套圈体坐标系的位置保持不变，因此钢球与套圈滚道
的接触状态将在包围合坐标系下进行预测旧＇１ ０｜。 钢球与面片单元间的相对位置矢量为：
ｒ—ｈ＝Ａ三（，。一，。６）
Ｋ。６１‘５
（７）
式中：疋为载荷因子或刚度参数，则钢球与内外圈滚道
的Ｈｅｒｔｚ接触刚度分别为：
＆＝２．１５×１０５（６；’）。３尼（∑ｐ）ｆ忱 （８）
如＝２．１５×１０５（６：）枷（∑ｐ）ｊ价 （９）
１．２球轴承的动态接触力学模型 图２为钢球与滚道表面的柔性接触关系。球轴承
弹性套圈的滚道表面由四边形面片单元组成，套圈有 限元模型在滚道表面上的单元结点即为四边形面片单
Ｋａｎｇ，Ｙ．¨ｏ等人基于有限元法利用ＡＮＳＹＳ对球轴 承进行拟动力学分析。赵联春等人Ｌ２１将钢球与套圈间 的接触关系等效为弹簧阻尼单元，建立球轴承的接触 振动模型，研究弹性接触振动特性。王黎钦一。等人采 用拟动力学法建立球轴承动力学分析模型，编制程序 计算高速滚动轴承的动态特性。唐云冰Ｍ１等人基于有 限元法和拟动力学方法利用ＡＮＳＹＳ研究了滚动轴承 的载荷分布和实验对比。樊莉【５１等人，张乐乐∞１等人 基于显式动力学方法利用ＡＮＳＹＳ／ＬＳ．Ｄｙｎａ对球轴承的 不同动力学特性进行了分析。Ｈ．Ｒｕｂｉｏ¨１等人基于有
图２钢球与滚道表面的柔性接触关系
万方数据
元的顶点。ＯＸＹＺ为惯性坐标系，ｏ。龙。Ｙ。Ｚ。，ＯｂＸ６Ｙ６毛分别 为柔性外圈和钢球的体坐标系，ｏ’。菇’。Ｙ’，ｚ’，，ｏ’。菇’。Ｙ＇ｃｚ’。
分别为滚道面片单元和包围盒的坐标系旧］。，。、ｎ为 外圈和钢球的体坐标系在惯性坐标系下的位置，，’扪 ，７，为钢球体坐标系和包围盒坐标系在外圈体坐标系下
分别为最大粘滞静摩擦力和滑动摩擦力的临界切向速
度。当钢球与滚道接触对的相对速度大于％时，摩擦
系数为地；当相对速度在ｔ，。与％之间时，摩擦系数在
肛ｄ与肌间按照ｈａｖｓｉｎ函数变化；当相对速度小于ｔ，．
时，摩擦系数在０至以间按照ｈａｖｓｉｎ函数变化。由
Ｃｏｕｌｏｍｂ定律知，钢球与套圈滚道的切向摩擦力与法向
第２８卷第１０期
振动与冲击 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫ
球轴承柔性多体动力学分析与接触振动研究
姚廷强，迟毅林，王立华，黄亚宇
（昆明理工大学机电工程学院，昆明６５００９３）
摘 要：结合有限元法和柔性多体动力学方法，提出球轴承柔性多体接触动力学模型和动力学分析方法。综合考
Ｆ（ｐ）。＝（一瓦２＋吉）／（麦一瓦２一号）
式中：Ｄ¨Ｄ。，为内、外圈的滚道直径；Ｄ。，Ｄｉ为外圈直径 和内圈直径；Ｄ。为钢球直径；－，ｒ。为内、外圈的滚道曲 率半径。
由Ｈｅｒｔｚ接触理论知，钢球与套圈滚道接触点的公 法线方向的Ｈｅｒｔｚ接触力与弹性变形关系为：
６＝笔＿［３（Ｚ Ｐ）Ｉ／２２（半＋半）ｐ㈤
起来，提出了多柔性体动力学方法（ＭＦＢＤ）。笔者首次 结合有限元方法和柔性多体动力学方法（ＭＦＢＤ）对球 轴承柔性多体动态特性和接触振动响应进行了全动力 学研究。
１球轴承柔性多体动力学模型
１．１钢球与套圈滚道间的Ｈｅｒｔｚ接触刚度
Ｈｅｒｔｚ弹性接触理论被广泛地用于描述球轴承的
接触刚度。为了计算钢球与套圈滚道间弹性变形与接
索与预测过程【９，１０】。因此，钢球与面片单元间的法向 相对渗透量为：
占＝Ｒ６一（，ｈ）。
（１２）
基于罚函数方法和Ｋｕｈｎ判断条件［８．１们的钢球与
套圈滚道间的非线性迟滞法向接触力为：
Ｆ。＝Ｋ。６１‘’＋ｓｔｅｐ（１６Ｉ，０，０，占。。，ｃ。，）·
嵩盎 …ｍ。（∞ｍ：
（１３）
ｌｄ
式中：ｍ，，ｍ：分别为接触阻尼和阻尼影响指数；艿，占分 别为渗透量和渗透速度。阻尼影响指数（ｍ：芝１）能避 免６过小引起接触力为负的数值计算问题。
万方数据
图１ 深沟球轴承几何参数模型
第１０期
姚廷强等：球轴承柔性多体动力学分析与接触振动研究
Ｐｂｌ＝Ｐ娩＝２／１）６； Ｐｎ＝２／Ｄ打； ｐ岔＝一１／ｒｉ（３）
Ｐ。１＝一２／１７。，；Ｐ０２ ＝一Ｉ／ｒ。
三一土．
（Ｚｐ）ｉ＝瓦４＋ Ｄ＊ Ｆｉ’
（４）
ｍ）ｆ＝（麦＋ 吉）／（麦＋瓦２一寺）
【乞ｐ）。２一Ｄｂ—Ｄｏｒ—ｒｏ ５ （５）
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钢球方向角（。） （ａ）２００Ｎ径向力下钢球公转一周的接触力变化
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钢球方向角（。） （ｂ）１００００Ｎ径向力下钢球公转一周的接触力变化
图４
比较图４（ａ）和图４（ｂ）知，径向力较大时变柔性振 动响应较为明显，同时使得非径向载荷区域的钢球与 套罔之间脱离接触而几乎无接触力产生。较小径向力 时钢球与外圈滚道在非载荷区的最大静止间隙近似为 径向游隙。当球轴承运转时钢球和内圈的离心力，套 圈中心的相对振动等因素都将引起钢球在套圈滚道间 的波动，从而减小钢球与套圈滚道的间隙，而且由于预 紧力的影响，因此实际运转下受较小径向力的球轴承 的非径向载荷区域的钢球与套圈滚道也产生一定的接 触力。
触力的关系，应先由球轴承的几何参数计算出钢球和
套圈滚道表面的主曲率和与主曲率差。
钢球与滚道接触的主曲率之和∑ｐ为：
’ｎ
，．、
ｍ，＝虹血笋 乞Ｐ ２ Ｐ１１＋Ｐ１ ２＋ＰＩｌｌ＋ＰⅡ２
主曲率之差Ｆ（ｐ）为：
（１） （２）
式中：ｐ为主曲率，其为接触表面曲率半径的倒数，且定 义凸平面为正；下标Ｉ为钢球，Ⅱ为套圈滚道；定义１ 为第一主平面，其为与轴承的径向平面，定义２为第二 主平面，其为通过钢球中心的轴向平面，如图ｌ所示。
接触力关系为：
凡＝ｐ（移）·只
（１５）
振动与冲击
２００９年第２８卷
结合式（１４）和ＭＦＢＤ方法∽Ｊ们编制用户子程序计
算球轴承钢球与套圈滚道间的接触力。
１．３球轴承的柔性多体动力学方程
球轴承动力
学分析模型（图
３）中套圈均为弹
性体，钢球仅考虑
局部Βιβλιοθήκη Baiduｅｒｔｚ接触弹
性变形。由钢球
在套圈滚道上的
运动关系（图１）
可得钢球公转角、 钢球自转角、内圈
图３深沟球轴承６０１３的 动力学分析模型
转角和轴承几何参数间的关系为¨。：
，
（１一点）Ｄ扫砂ｉ
１
∥孵一（１一手ｉ）Ｄ打＋（１一孝。）Ｄ。，
【
Ｄ。，（１一毒ｊ）（１一孝。）Ｄ。，砂ｉ Ｉ
．
甲加一Ｄ６［（１一ｆｉ）Ｄｉ＋（１一手。）Ｄ。，］Ｊ
（１６）
式中：磊，孝。分别为钢球与内圈、外圈滚道的滑移率，且
在１ｅ４Ｎ的径向力下深沟球轴承奇数支承时有７ 颗承载钢球，偶数支承时有６颗承载钢球（图１１）。这 是奇数支承比偶数支承时承载钢球多一颗的情况。深
虑钢球与内外圈滚道的游隙、柔性多体接触、套圈弹性变形、摩擦、离心力和转速等关键因素，建立球轴承的柔性多体接触
动力学模型。研究了球轴承的柔性多体动力学特性和接触振动响应，计算出球轴承钢球公转一周时的接触力变化、套圈
中心的相对振动位移、加速度、套圈弹性变形、截面接触应力和径向接触应力等接触振动响应，揭示了球轴承的支承钢球
深沟球轴承曲率参数与几何参数间的关系为：
基金项目：云南省应用基础研究基金重点资助项目（２００６Ｅ０２１Ｑ）；云南 省省院省校合作基金重点资助项目（２００４ＹＸｌ２）；云南省教育厅科技 研究基金资助项目（５Ｙ０５５３Ｄ）
收稿日期：２００８—１０—１３修改稿收到日期：２００８—１２—０８ 第一作者姚廷强男，博士生，１９７９年生
２．２球轴承柔性多体动力学计算结果 图４（ａ）和图４（ｂ）为球轴承在转速１ ８００ ｒ／ｍｉｎ条
件下，内圈中心分别受径向力２００ Ｎ和ｌｅ４Ｎ，钢球ｂ１ 公转一周时的钢球与套圈滚道表面间的接触力变化规 律，图中横坐标为钢球ｂｌ的方向角（公转角度），纵坐 标为动态接触力（接触力变化）。计算结果表明球轴承 运转过程中径向载荷区域的承载钢球在偶数和奇数间 交替变化，表现出奇偶支承交替的变柔性振动响应，这 是滚动轴承振动的本质属性之一。
（１０）
式中：Ａ。。为钢球相对于包围盒的方向矩阵，，。＝
Ａ。ｒ、ｒ＂。一，，。），，。６＝Ａ０７０（，０６一，，。），Ａ三为外圈体坐标
系与包围盒坐标系间的方向矩阵。
则可得钢球与面片单元间的相对位置矢量，，ｈ在
面片单元法向ｎ。的投影分量为：
（，６，）。＝再；，ｒｂ＝聆，Ａ二（以一九） （１１）
式（１１）直接运用在包围盒坐标系下的钢球和面片单元 的运动坐标来计算相对渗透量，从而简化动态接触搜