不同的利率期限结构模型的比较

不同的利率期限结构模型的比较
杨秋平201021110154
（电子科技大学经济管理学院）
1. 研究内容
20世纪70年代末以来，基于无套利假定和鞅分析的随机模型则开始用来尝试解释利率期限结构。

在这些研究利率期限结构随机方法的文献中，值得一提的有Vasicek、Dothan、Cox，Ingersoll和Ross、Ho和Lee、Heath，Jarrow和Morton。

尽管关于利率期限结构随机性研究方面的文献数量飞速增长，可是大多数的实证研究均是利用某一种模型对利率期限结构进行分析，而没有各种模型之间存在的差异和相似性进行分析。

因此，就很有必要在各文献中所给出的特定而又不同的假定的基础上，侧重于对各文献中所提出的主要理论和方法的研究，以比较研究利率期限结构利率的各随机模型。

而本文希望弥补以前文献的不足，对研究利率期限结构理论和相关的利率敏感性或有要求权定价的各种随机方法进行一个文献综述式的分析。

为便于对比研究，本文将所有的相关方法分成两大不同的方法类：套利定价理论（the Arbitrage Pricing Theory）和广义均衡理论（the General Equilibrium Theory）。

其中，前者是在折现债券价格动力学（the dynamic）由伊藤微分方程描述和将无套利假定作为一种均衡条件进行施加的基础上来推导不同期限的均衡到期收益率也就是利率期限结构的。

并且，这种利率期限结构除其他决定因素之外主要受制于一个外生设定的风险市场价格。

而后者则是建立在一个跨期广义均衡模型的基础之上的，且在这个模型中，利率风险的市场价格主要是内生决定的。

因此，本文的研究旨在突出这两种方法的不同特征和强调在何种条件下这两种方法具有实际等价性。

同时，也对适用于每一种方法的不同假定进行讨论并对各种利率期限结构模型进行实证评价。

2．文献回顾
对利率期限结构（TSIR）进行分析遇到的首要问题就是研究对象（利率期限结构）的定义。

在目前的文献研究中，学者们对利率期限结构达成的一致定义是“利率期限结构是对仅到期期限不同的无违约证券收益率关系的测度”（Cox, Ingersoll and Ross, 1985b）。

从解析上讲，利率期限结构是折现债券的到期时间与它的当前价格或者到期收益率之间的函数映射。

因此，寻找一个好的利率期限结构理论不仅对利率期限结构自身的研究非常重要，而且也助于大量利率敏感性要求权（Interest Rate Sensitive, IRS）的定价。

利率期限结构的早期理论诸如预期假说（the expectation hypothesis）、流动性偏好（the liquidity preference）、市场分割（the market segmentation）和优先栖息地（the preferred habitat theory）理论等在本质上都是建立在确定性的架构之上的。

上个世纪七十年代的金融市场动荡加重了将利率期限结构分析置于随机环境中的必要性。

一个很自然的做法是将资产定价理论也就是跨期资本资产定价模型（ICAPM）和期权定价理论（OPT）扩展到利率敏感性要
求权的定价中来。

然而，利率期限结构理论却并不为跨期资本资产定价模型所容，原因是利率敏感性要求权的风险并不能采用与股票相同的风险分散方式进行化解，这是因为利率敏感性要求权的收益率彼此之间是高度相关的。

而在另一方面，即使已经给定了利率敏感性要求权和股票价格或有要求权的差异之后，Black-Scholes 期权定价公式也不能简单扩展到对利率或有要求权的定价中。

本文是按上述方式对利率期限结构建模的相关文献进行归类的，但也可以根据模型的性质采用另外一种方式（即状态变量被定义的方式）对各种利率期限结构模型进行分类，包括广义均衡方法和无套利方法。

其中，广义均衡方法是通过描述潜在真实经济、对经济系统中的一个或者多个状态变量进行随机演变假定和对经济系统中的典型投资者偏好进行假定的基础上来对利率期限结构进行建模的。

广义均衡条件被用来内生化利率和利率或有要求权的价格。

广义均衡方法是由Cox, Ingersoll 和Ross 开创的，最近已被Longstaff 和Schwartz 、Chen 和Scott 应用在两因子利率期限结构模型中。

另外一种方法则是建立在无套利条件之上的。

该方法首先对一个或者多个利率的随机演变过程进行了假定，并通过施加在经济系统中不存在套利机会的条件，推导得到了所有利率或有要求权的价格。

采用这种方法对利率进行建模的文章有Vasicek 、Brennan 和Schwartz 、Fong 和Vasicek 等，其中，V asicek 是在单因子情况下对利率期限结构进行建模，后两篇文章是在两因子情况下对利率进行建模。

虽然Cox-Ingersoll-Ross 对广义均衡方法和无套利方法进行了比较讨论，但这两种方法在实质上是相等同的。

Dybvig 和Ross 应用基本的资产定价定理推断出这两种方法仅仅是以不同的方式而进行了相同的假定。

实际上，虽然效用函数在某些情况下是状态依赖的，但无套利模型总是可以含在一种经济均衡之中。

3．问题假设
根据最为普遍性的定义，套利定价理论的基本模型旨在描述利率期限结构也就是只有到期期限不同的无违约证券收益率之间的关系。

因此，利率期限结构可以用到期收益率(,)h t T 或者折线债券价格(,)v t T 进行描述。

本文按照Vasicek 和De Felice and Moriconi ）文的方式对基本模型进行描述，其中，前者在一个套利假定的基础上对利率期限结构进行了极为清晰的描述，而该假定与Black 和Scholes 对期权进行定价时所做出的假定相似；后者则是在随机免疫的框架下对利率期限结构进行了详细的解释。

无套利基本模型主要基于如下假定：
假定1，市场假定：每一种模型都是基于无摩擦和高度竞争市场；
假定2，模型中变量假定：令(,)h t T 表示到期收益率，(,)t T δ表示瞬时利率。

即期利率是基本变量，被定义为()(,)r t h t t dt =+或者等价表示为：1()lim
(,)T t
T t r t t u du T t δ→=-⎰，其中()r t 是状态变量。

假定3，即期利率的随机过程假定：即期利率遵循一个马尔可夫过程，也就是未来即期利率值{()}r t 的概率分布是由当前的即期利率值()r t 唯一确定的，并且被假定为连续的，也
就是债券市场不存在任何冲击。

4. 研究方法
4.1 选择的模型作为比较对象
（1）无套利中的Vasicek 模型
Vasicek 模型假定利率风险的市场价格和即期利率的变动过程分别作如下形式设定： ((),,)q r t t T q = ， ()(())()dr t r t dt dz t αθβ=-+
（2）Dothan 模型
在利率风险的市场价格方面，Dothan 采取了与Vasicek 模型相同的假定，但却对即期利率的变动过程所遵循的假定进行了修正，如下所示：
()()()dr t r t dz t β=
（3）Brennan 和Schwartz 两因子模型
本文上面给出那些无套利基本模型，都隐含着不同期限的折现债券的价格都是完全相关的。

Brennan 和Schwartz 模型通过假定利率期限结构有两个因子决定，从而克服了这种局限性。

在该模型中所假定的两个因子分别是即期利率()r t 和长期利率()l t ，它们的变动过程如下所示：
{111222()(,,)(,,)()()(,,)(,,)()dr t r l t dt r l t dZ t dl t r l t dt r l t dZ t αβαβ=+=+，
（4）Hull 和White （1990）模型
Hull 和White 给出了与Vasicek 相同类型的扩展，也就是他们也假定CIR 模型中描述利率变化()dr t 的参数k 、θ和σ是时间的函数。

Hull 和White 证明了对CIR 基本模型的这样一种扩展可以使得模型同时与当前的利率期限结构和利率波动相一致。

在这种意义上，该模型更可以被视为一个无套利模型，这一点已在上文做过讨论。

然而，不幸的是，这个CIR 扩展模型并不具有原始的CIR 模型和与之相似的Vasicek 扩展模型的解析易处理性。

4.2 具体研究方式
本文对利率期限结构模型的比较是采用下面的方式来进行的：对于每一种不同的方法， 分析其“状态变量假定的过程”和“对利率风险的市场价格”（在状态变量所服从随机过程假定的基础上）给出的由利率或有要求权都满足的基本偏微分方程。

然后，再根据这些偏微分方程必须满足的边界条件（纯折现债券在到期日必须与其已知的面值相等）来分析价格收益率的解析表达式。

本文将把利率期限结构分为套利定价理论和广义均衡理论进行比较对于套利定价理论，利率期限结构可以由通过求解偏微分方程得到债券价值函数(,,)v r t T 给出；而对于广义均衡理论，利率期限结构则可以由通过求解偏微分方程得到的零息票债券价格(,,)P r t T 给出。

(,,)v r t T 和(,,)P r t T 均被视为到期期限的函数，由此可得到整个利率期限结构。

实际上，价值函数(,,)v r t T 也代表折现债券的价格，但为了在进行公式推导时突出它们之间的理论差异和使对二者的比较更清楚明白，本文将对这两种方法使用了不同的符号。

最后，再分析每一种利率期限结构模型所允许的收益率曲线的可能形状，并对即期利率波动期限结构的含义进行了相应的说明。

5. 参考文献
[1] 史树中,金融经济学十讲.上海人民出版社,2004ISBN 7-208-05146-1
[2] Brennan, M.J. and E.S. Schwartz, 1977, Saving bonds, retractable bonds, and callable
bonds, Journal of Financial Economics, 3, 133-155.
[3] Brennan, M.J. and E.S. Schwartz, 1979, A continuous time approach to the pricing of
bonds, Journal of Banking and Finance, 3, 133-155.
[4] Cox, J., Ingersoll, J.E. and S.A. Ross, 1977, Notes on a theory of the term structure of
interest rates, Unpublished working paper.
[5] Black F. and M. Scholes, 1973, the pricing of options and corporate liabilities. Journal of
Political Economy. 81, 637-654.。