对一道2019年竞赛题的深入探究

对一道2019 年竞赛题的深入探究

•林国红【摘要】文章对2019 年全国高中数学联赛广西赛区预赛的解析几何试题(压轴题)进行深入探究，从不同的角度给出不同方法，并对试题的结论进行推广和类比，得到若干优美性质.

【期刊名称】《中学教研：数学版》

【年(卷),期】2019(000)012

【总页数】6

【关键词】数学联赛;定点;定值;齐次化;推广

* 收文日期：2019-05-20 ；修订日期：2019-06-21

1 题目呈现

例 1 如图1，设k>0 且k ≠ 1 ，直线l:y=kx+1 与l1:y=k1x+1 关于直线y=x+1 对称，直线l 与l1 分别交椭圆于点A,M 和点A,N.

1)求kk1 的值；

2)求证：对任意的k，直线MN 恒过定点.

(2019 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题第12 题)

2 解法探析

1)解法 1 直线l 与l1 的交点为A(0,1).设点P(x,y)是直线l 上异于点A(0,1)的任意一点，点P0(x0,y0) 是点P 关于直线y=x+1 的对称点.由得y-x=x0-y0+2,

(1)