《程伟巅峰数学》2015版新课标高考数学备战特训讲义之四

c, 0 的距离之和为 2
2 ，且它的焦距为 2 .
（1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l ： y kx m 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点，若在椭圆 C 上存在点 R ，使四边形
OPRQ 为平行四边形，求实数 m 的取值范围.
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是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由.
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【典例十七】已知椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离 的最大值为 3 ，最小值为 1 . （1）求椭圆的 C 的标准方程； （2）若直线 l ：y kx m 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点 （ A 、B 均不是左右顶点） ， 且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标.
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【典例四】已知椭圆的一个顶点为 A 0, 1 ，焦点在 x 轴上，若右焦点到直线
x y 2 2 0 的距离为 3 .
（1）求椭圆的标准方程；
M A N （2）设直线 y kx m k 0 与椭圆相交于不同的两点 M 、N ， 当 A
3 4
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【典例六】 已知点 A 0, 2 ， 椭圆 E :
x2 y2 3 ，F 是椭圆 E 2 1 a b 0 的离心率为 2 a b 2
c, 0 的距离之和为 2
2 ，且它的焦距为 2 .
（1）求椭圆 C 的方程； （2）已知直线 x y m 0 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B ，且线段 AB 的中点不在圆
5 x 2 y 2 内，求实数 m 的取值范围. 9
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【典例二】设点 P x, y 到直线 x 2 的距离与它到定点 1, 0 的距离之比为 2 ，并记 点 P 的轨迹为曲线 C . （1）求曲线 C 的方程； （2）设 M 2, 0 ，过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E 、 F 两点，当线段 EF 的中点落在 由四点 C1 1, 0 、 C2 1, 0 、 B1 0, 1 、 B2 0,1 构成的四边形内（包括边界）时，求直 线 l 斜率的取值范围.
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【典例十四】已知左焦点为 F1 2 2, 0 的椭圆过点 垂直的动弦 AP 、 AQ 交椭圆于 P 、 Q 两点. （1）求椭圆的标准方程；


3 2 2 , ，过上顶点 A 作两条互相 2 2
P 是椭圆上任意一点，且 F1 P F2 P 的最大值为 1 ，最小值为 2 .
（1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A 为椭圆 C 的右顶点，直线 l 是与椭圆交于 M 、 N 两点的任意一条直线，若
AM AN ，证明直线 l 过定点.
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【典例八】如图，椭圆 C ：
1 x2 y2 2 1 a b 0 的离心率为 ，其左焦点到点 P 2,1 的 2 2 a b
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【典例十六】已知椭圆
x2 y2 1 a b 0 经过点 M a 2 b2

6,1 ，离心率为 2 . 2

（1）求椭圆的标准方程； （2）已知点 P

6,0 ， 若 A、 且满足 PA PB 2 ， 试问直线 AB B 为已知椭圆上两动点，
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【典例九】平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M ：
x2 y2 1 a b 0 右焦点的直线 a 2 b2
1 x y 3 0 交 M 于 A 、 B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 . 2
（1）求 M 的方程； （2） C 、 D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD AB ，求四边形 ACBD 面积的 最大值.
短半轴为半径的圆与直线 x y 6 0 相切， 过点 P 4, 0 且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆
C 相交于 A 、 B 两点.
（1）求椭圆 C 的方程； （2）求 OA OB 的取值范围.
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的右焦点，直线 AF 的斜率为 （1）求 E 的方程；
2 3 ， O 为坐标原点. 3
（2）设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P 、 Q 两点，求 OPQ 面积的最大值，并且求出此时 直线 l 的方程.
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【典例三】已知椭圆 C ：
x2 y2 1 a b 0 上的任意一点到它的两个焦点 c, 0 、 a 2 b2
2 5 时，求实数 t 的取值范围. 3
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【典例十三】已知椭圆 M ：
x2 y2 2 2 ，且椭圆上一点与椭 2 1 a b 0 的离心率为 2 a b 3
圆的两个焦点构成的三角形的周长为 6 4 2 . （1）求椭圆 M 的方程； （2）设直线 l 与椭圆 M 交于 A 、 B 两点，且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C . 求证：直线 l 恒过某定点.并求出该点坐标.
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（2）试问动直线 PQ 是否过定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点， 请说明理由.
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【典例十五】已知椭圆 C 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上， F 1 、F 2 分别为其左、右焦点，
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☆☆典例精析☆☆
【典例一】已知椭圆 C ：
x2 y2 1 a b 0 上的任意一点到它的两个焦点 c, 0 、 a 2 b2
的取值范围.
时， 求m
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【典例五】设椭圆 C ：
x2 y 2 1 a b 0 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，直线 y x 1 过 a 2 b2
距离为 10 ，不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分. （1）求椭圆 C 的方程； （2）求 APB 面积取最大值时直线 l 的方程.
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【典例十】已知椭圆 C ：
1 x2 y2 2 1 a b 0 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的 2 2 a b
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【典例十一】已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴上，且过点 2,1 . （1）求抛物线的标准方程； （2）与圆 x y 1 1 相切的直线 l ： y kx t 交抛物线于不同的两点 M 、 N ，若抛
x2 y2 2 1 a b 0 的右焦点 F2 与抛物线 y 2 4x 的焦 2 a b
点重合，过 F2 作与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆交于 S 、 T 两点，与抛物线交于 C 、 D 两点， 且
CD 2 2. ST
（1）求椭圆 E 的方程； （2）若过点 M 2, 0 的直线与椭圆 E 相交于 A 、 B 两点，设 P 为椭圆 E 上一点，且满足 ，当 PA PB OA OB tOP （ O 为坐标原点）
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【典例七】已知中心为坐标原点 O ， 焦点在 x 轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点连线所 组成的四边形是面积为 2 的正方形. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点 P 0, 2 的直线 l 与椭圆交于点 A 、 B ，当 OAB 面积最大时，求直线 l 的方程.
椭圆的右焦点 F2 且与椭圆交于 P 、 Q 两点，若 F 周长为 4 2 . 1PQ （1）求椭圆的方程； （2）直线 y kx m 与圆 C ： x2 y 2 1相切，且与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B 两点，
2 3 O 为坐标原点，若 OA OB ，且 ，求 k 的取值范围.
2 2
物线上一点 C 满足 OC OM ON

0 ，求 的取值范围.
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【典例十二】如图，椭圆 E ：