复变函数中解析函数的理论分析及应用_王华阁

定 理 ：函 数 f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在 区 域 D 内 解 析 的 充 分 条
件 是 ：ux，uy，vx，vy 在 D 内 连 续 ，并 且 u(x，y)，v(x，y)在 区 域 D 上 满足柯西—黎曼方程：
坠u 坠x
＝
坠v 坠y
， 坠u 坠y
＝-
坠v 坠x
22
例：讨论函数 f（z）=2x（1-y）+i（x -y +2y）的解析性。
分析：假设圆柱较长，我们只需要求 z 平面上电场的复势， 也就是求一解析函数， 使该函数的虚部在 z =r1 上取值-V0， 在 z =r2 上取值 V0。 我们知道，多值解析函数 Φ（z）=iaLnz+ib 的虚部在 z =r上的值不变，这里 a 和 b 是任何实数，r 是任何
正数，根据已知条件据定 a 和 b，即可得所求的复势：
【关键词】解析函数；解析；复变函数
0 前言
复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常 强大应用性。 而解析函数是复变函数特有的内容,在复变函数 理论中起着重要的作用，解析函数在理论和实际中都有着广 泛的应用, 所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大 的必要性。
1 解析函数的概念
如 果 函 数 f(z)不 仅 在 z0 处 可 导 ，而 且 在 z0 的 某 个 邻 域 内 的任意一点可导，则称 f(z)在 z0 解析。
课堂上，教师使用多媒体教学系统进行广播教学、个别 辅导、收发作业等。 通过网络，教师还要把课堂将延伸到课 外，为学生课外学习辅导，指导学生利用网络拓宽专业知识， 获取专业信息，了解本课程最新发展动态和应用情况。
3 结束语
《基 于 C＃ 的 Windows 应 用 程 序 设 计 》课 程 教 学 ，需 要 不 断探索和改进教学方法，合理利用现代化教学手段，进一步提 高教学效果，充分调动学生的积极性和主动性，注重学生实践 能力的提高，培养出更多能学以致的计算机专业人才。
第8期
Shandong Industrial Technology
山东工业技术
2013 年
复变函数中解析函数的理论分析及应用
王华阁 （新乡医学院 基础医学院，河南 新乡 453003）
【摘 要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际 应用都进行了分析。
在
C
所围
的闭
区
域内
解析
，从
而
，根据
柯
西
定
乙 理，
z
dz=0
C （2z+1）（z-2）
3．2 解析函数在实际中的应用
复变函数是数学分支中应用性很强的一门学科，人们利
用复变函数理论可以解决了很多实际问题，而解析函数在复
变函数的应用中又起着重要的作用。
在航空工业中，要根据升力的大小来设计翼型，不仅要
使飞机能在空中飞行，而且对是否符合起飞和降落快慢也有
教学过程中存在的问题， 从而不断改进教学方法和教学手 段。 2.5 重视程序的调试工作
程序编写后，用手工或编译器和其他方法进行测试，修正 语法错误和逻辑错误，这是软件开发中必不可少的步骤，以确 保所开发软件的正确性。 掌握正确的调试方法，可以快速发现 并消除程序中的错误，提高编程效率。 教师要指导学生熟练掌 握调试方法，在排除错误的过程中提高学生的编程信心。 2.6 发挥网络在教学中的作用
如果 f(z)在区域 D 内的任一点解析，则称 f(z)在区域 D 内 解析。
注：1）如果 f(z)在区域 D 内解析，那么 D 内每一点都是它 的内点，从而 D 是开区域。
2）如 果 说 函 数 f(z)在 闭 圆 盘 z ≤1 上 解 析 ，指 的 是 在 包 含该圆盘的某个区域内解析。
3）f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 可导；f(z)在 z0 可导，则 f(z)在 z0 不一定解析。 但是 f(z)在区域 D 内解析和可导是等价的。
《基于 C＃ 的 Windows 应用程序设计》 课程实践性强，必 须采取多种措施，提高学生的动手能力。 教师课堂编程示范， 特别是重要的操作和步骤要演示给学生，让学生知道从哪里 入，如何做；坚持一体化机房授课，每节课大部分的时间供学 生操作，边学边练，使学生及时掌握所学知识，训练学生的编 程能力， 同时操作中更有助于发现学生中存在的问题与不 足；开展课外实践项目，课外项目是为巩固课堂理论学习而 进行了重要实战训练，是课堂教学内容的重要补充；鼓励和 支持学生积极参加各种科技竞赛，以赛促练。 2.4 建立科学的评价体系
由解析的定义知 f(z)在整个复平面上解析。 2．2 根据初等函数的解析性判定
若复变数函数为初等函数，则可根据初等函数的解析性 进行判定
1）指数函数 ez 在整个复平面上解析； 2）对 数 函 数 Lnz 的 主 值 函 数 和 各 个 分 支 在 除 去 原 点 和 负实轴外的每一点解析； 3）幂函数 zα，α 为正整数时，幂函数在整个复平面上解析 ； α 为负整数时，幂函数在除原点外的复平面上解析；α 为既约 分数、无理数、虚数时，在除去原点和负实轴的复平面上解 析。 4）sinz，cosz 在整个复平面上解析；tanz,cotz,secz,cscz 在各
自的定义域内解析
5）shz,chz 在整个复平面上解析。
2.3 根据定理判定
定 理 ：函 数 f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在 区 域 D 内 解 析 的 充 分 必
要条件是：u(x，y)，v(x，y)在 D 内可微，并且在区域 D 上满 足 柯
西—黎曼方程：
坠u ＝ 坠v ， 坠u ＝- 坠v 坠x 坠y 坠y 坠x
22
解：因为 u=2x（1-y），v=i（x -y +2y）
所 以 坠u =2（1-y）= 坠v ， 坠u =-2x=- 坠v 并 且 四 个 偏 导 数
坠x
坠y 坠y
坠x
均处处连 续 ，从 而 u，v 在 复 平 面 上 可 微 ，根 据 定 理 f(z)在 复 平
面上处处解析。
3 解析函数的应用
［责任编辑：陈双芹］
山东工业技术 155 Shandong Industrial Technology
要求。 根据解析函数在流体力学理论中的应用，可以应用解
析函数可以计算飞机在飞行时空气对机翼的升力。
解析函数在电学中也有应用，例如可以根据保形映照来
求静电场。
例：假设有两同心金属圆柱与 z 平面的截线分别为 z =r1 及 z =r2 （0＜r1 ＜r2 ＜+∞）。 设两圆柱间的电势差为 2V0，求所产 生的静电场。
4）一 个 解 析 函 数 不 可 能 仅 在 一 个 点 或 一 条 曲 线 上 解 析 ； 所有解析点的集合必为开集。
2 函数解析的判定
2．1 根据解析函数的定义判定 要考察函数在某一点的解析性，首先看函数在该点是否
有定义，然后看函数在该点及其邻域内是否可导。 例：因为 f(z)=z2 在整个复平面上处处可导，且 f'（z）=2z 则
山东工业技术
第8期
进行分组，以小组为单位来完成这个项目，使学生在开发过 程中掌握相关知识，明白要做什么、怎么做、为什么。 案例和 项目的选择尽量做到难度适中和贴近实践， 并有扩展的余 地，让有余力的学生可扩展案例和项目。 案例教学法和项目 教学法可以提高学生的学习积极性，也有利于锻炼学生的团 队合作精神和合作意识。 2.3 强化学生的实践操作
3．1 解析函数在复变函数中的应用
解析函数是复变函数中的一类重要的函数，函数的解析
Βιβλιοθήκη Baidu
性对于复变函数定积分的计算、调和函数、留数定义及留数
理论、 保形映照的一般理论等方面都要用到解析函数的概
念。 而求满足一定边界条件的解析函数的一类问题，这是解
析函数论在许多理论和实际问题中应用极为广泛的一个重
要分支，而黎曼边值问题和希尔伯特边值问题是其中两个最
评价方法在一定程度上决定了学生学习的方向，不合理 的评价方法会导致更多的高分低能的学生。 评价方法不能单 靠期末的一次考试，评价应该渗透到每一个教学环节：笔试、 分组任务、实验完成情况和课堂表现等，全面、客观地评价学 生的程序设计能力，把教学和评估真正融为一体，使评价起 到培养学生应用能力的导向作用。 每个项目完成后，先让学 生演示评价各自的系统，然后让学生互评，在对比中发现自 己的长处和不足，最后教师综合评估学生的学习成果。 合理 的评价有利于学生共享成果，相互促进，共同提高。 在项目评 估过程中，教师可以了解学生的学习现状，同时也可以发现
(z)的极限值也就是边值。 此外还要求 φ(z)在无穷远处至多有
一极点。如果 L 中含有开口弧段，则也应说明要求 φ(z)在 L 的
端点附近的性态: 具有不到一阶的奇异性。 （下转第 155 页）
176 山东工业技术 Shandong Industrial Technology
2013 年
Shandong Industrial Technology
［责任编辑：曹明明］
（上接第 176 页）在 G（t），g（t）满足一定的条件时,这 一 问 题 已 完全解决。
乙 例：求
z
dz 其中，C 为 z-1 = 1
C （2z+1）（z-2）
2
对于这个定积分的计算， 若不考虑被积函数的可积性，
直接利用柯西积分公式则可得出错误的结果。 由于函数
z （2z+1）（z-2）
典型的例子。
例黎曼边值问题
设 L 为复平面上一组有向的光滑曲线，把平面分割为若
干个连通区域，要求一分区全纯函数(即在上述每一个连通区
+
-
域内全纯 ）φ(z)，使 Φ （t）=G（t）Φ （t）+g（t）（t∈L）中 G（t）、g（t）
都 是 已 知 函 数 ， 而 Φ+（t） 和 Φ-（t） 分 别 表 示 当 z 从 L 的 正 侧 （即沿 L 正向前进时的左侧）和负侧(右侧)趋于 L 上一点时 φ
【参考文献】 ［1］孙 锐.《.NET 平 台 与 C# 编 程 》课 程 教 学 改 革 与 体 会[J].教 育 论 丛 ， 2010（12）. ［2］谢延红.以培养学生实践 能 力 为 目 标 的 C# 教 学 改 革 探 索[J].计 算 机 时 代 ,2011(7). ［3］李刚.C# 教学过程中的“质”与“量”[J].福建电脑,2010(4).
Φ（Z）= iV0 lnr2 -lnr1
乙2Lnz-（lnr2 -lnr1 ） 乙。
【参考文献】 ［1］苏 变 萍 ，陈 东 立.复 变 函 数 与 积 分 变 换 [M]. 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ， 2010. ［2］同 济 大 学 数 学 系 .高 等 数 学 [M].北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2007. ［3］钟 玉 泉.复 变 函 数 论 [M].北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2002.