高等动力学2.5机电系统的动力+课后题2.12

1 2
n k 1
Rk ik2
（2.5.2）
u
R k
-------电阻的电压降
Rk -------电阻
e -------电磁耗散函数
ik -------电流
根据法拉第电磁感应定律,
在匝数为1时
u
L k
等于磁通量
k
的变化率，即
ukL
dk dt
（2.5.3）
u
L k
-------电感线圈的感应电动势
k -------磁通量
（2.5.4）
式中，Lkk 为第k回路的自感系数，Lkr 为第k
回路与第r回路之间的互感系数，均为广义 坐标 q j ( j 1,2,...., l)的函数，
Lkr Lkr (q1, q2 ,..., ql ) （2.5.5）
u
C k
可利用系统的静电场能量
Ee 计算，即
ukC
Ee ek
ek Ck
n k 1
Ee ek
ek
l Ee j1. q j
.
qj
n
Rkik 2
k 1
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l
Q*j q j
j1
因电荷的变化率等于电流，令
n
［uk
k 1
d dt
(Em ) ik
Ee ek
ik
Rk
e
ik］ik
k
得到
l ( Em j1 q j
Ee q j
.
Q*j ) q j
（2.5.13）
与式（2.5.7）
电容 Ck 也是广义坐标q j ( j 1,2,...., l) 的函数。
将式（2.5.2），（2.5.3），（2.5.4）和（2.5.6） 代入式（2.5.1），
uk ukL ukC ukR 0
得到电路方程。
d dt
( Em ) ik
Ee ek
e ik
uk (k
1,2,...,
n)
式（2.5.8）中的磁场能量的变化率为
dEm
dt
n k 1
Em ik
.
ik
l j 1
Em q j
.
qj
d dt
n
(
k 1
Em ik
ik
)
n k 1
d dt
(
Em ik
)ik
l j 1
Em q j
.
qj
（2.5.9）
上式右边第一项可利用欧拉齐次函数定理化简，得
n
k 1
Em ik
ik
2Em
q j -------广义坐标
t -------时间
将式（2.5.11）和（2.5.12）代入式（2.5.8），
n
uk ik
k 1
dEm dt
dEe dt
n k 1
Rk ik2
l
Q*j q
j 1
整理得
n uk ik
k 1
n k 1
d dt
( Em ik
)ik
l j 1
Em q j
.
qj
t -------时间
磁通量可利用系统的磁场能量 Em 计算（ps：电
感线圈也是一个储能元件，经过推导，线圈
中储存的磁场能量为：
Em
1 2
LI 2
该式表明磁场能量只与回路电流最终状态有关，
与电流建立的过程无关。）所以磁通量公式为：
k
n
Lkrir
r 1
Em ik
Em
1 2
n k 1
n r 1
Lk rik ir
Ee
1 2
n k 1
ek2 Ck
（2.5.6）
CQ
u
C k
-------电容的电压降
ek -------电荷量
U
dW Udq q dq C
Ck -------电容
W Q q dq＝ Q2 1 QU 1 CU 2
0C
2C 2
2
Ee -------静电场能量
We＝
Q2 2C
1 CU 2 2
（2.5.7）
2.电磁场的广义力
根据能量守恒定律，输入系统的电功率转为电磁场能 量的变化率，电阻耗散功率，以及电磁作用力完成的机械 功率。
写出电磁系统的功率平衡方程，得到
n
uk ik
k 1
dEm dt
dEe dt
n
Rk ik2
k 1
l
Q*j q
j 1
（2.5.8）
式中 Q*j ( j 1,2,...,l)为电磁场产生的广义力。
1.电路方程
2.电磁场的广义力
3.拉格朗日-麦克斯韦方程
1.电路方程
设机电系统包含l个自由度的机械元件和由n个电路组 成的电磁元件。l个机械自由度以坐标 q j ( j 1,2,, n) 表示。
感线n圈个L电k 路、有电电阻容RkC和k 、输电入
电压 uk (k 1,2,, n) 组成。
将电容器电荷和电流记作
d dt
( Em ) ik
Ee ek
e ik
uk (k
1,2,...,
n)
对照可看出上式
n
［uk
k 1
d dt
( Em ik
)
Ee ek
Rk ik］ik
左边为零。
l ( Em j1 q j
Ee q j
.
Q*j ) q j
因
.
qj
为独立坐标，导出电磁场的广义力为
Q*j
Em q j
Ee q j
2.5 机电系统动力学
机电系统：在机电、电讯、仪表、自动控制等工程中 普遍存在机械和电磁元件组成的系统。
在机电 机械元件的机械运动服从动力学基本规律 系统中 电磁元件的电磁运动遵循另一种物理规律
由于电磁运动可以产生作用力，而机械运动可以影响 电荷和磁场的分布，这两类运动相互耦合。
从能量的观点出发，两类运动都服从能量转换的普遍 规律。 将描述机械运动的拉格朗日方程与描述电磁运动的 麦克斯韦（Maxwell,J.C.）方程相结合，形成机电系 统动力学的分析方法。
uk ukL ukC ukR 0
(2.5.1)
uk -------输入电压 ukL -------电感线圈的感应电动势 ukC -------电容的电压降 ukR -------电阻的电压降
式中
u
R k
满足欧姆（Ohm,G.S.）定律，可以用电磁耗散
函数 e 表示
ukR
Rk ik
e ik
e
ek
, ik
(k
1,2,,
n)
，设
u
R k
,
u
C k
,
ukL (k 1,2,, n) 分别为电阻和电容的电压降(ps:电压降
是指当电流通过用电设备后，其设备两端产生的电位差
（电势差）。 )以及电感线圈中的感应电动势。
根据克希霍夫（Kirchhoff,G.R.）定律，(ps:克希 霍夫定律的内容是，在任何一个闭合回路中，各元件 上的电压降的代数和等于电动势的代数和，即从一点 出发绕回路一周回到该点时，各段电压的代数和恒等 于零，即∑U=0。) 所以对每个电路列出
（2.5.10）
将上式代入（2.5.9），导出
dEm
dt
n k 1
d dt
(
Em ik
)ik
l j1
Em q j
.
qj
（2.5.11）
式（2.5.8）中的静电场能量的变化率为
dEe
dt
n k 1
Ee ek
.
ek
l j1
Ee q j
.
qj
（2.5.12）
ek -------电荷量
Ee -------静电场能量 Em -------磁场能量
（2.5.14）
3.拉格朗日-麦克斯韦方程