最新人教版高中数学选修4-4《直线的参数方程》知识讲解

三 直线的参数方程

1．掌握直线的参数方程及参数的几何意义． 2．能用直线的参数方程解决简单问题．

1．直线的参数方程的标准形式

过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π

2)的直线l 的普通方程为y －y 0＝(x －x 0)tan α，它

的参数方程为____________，这种形式称为直线参数方程的标准形式．

其中参数t 的几何意义是：________________，即|M 0M |＝|t |.

若______，则0M M

的方向向上； 若______，则0M M

的方向向下；

若______，则M 与M 0重合．

【做一做1－1】 直线⎩⎨⎧

x ＝－2－2t ，

y ＝3＋2t

(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的

坐标是( )．

A ．(－4,5)

B ．(－3,4)

C ．(－3,4)或(－1,2)

D ．(－4,5)或(0,1)

【做一做1－2】 参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝t ＋1t ，

y ＝2(t 是参数)表示的曲线是( )．

A ．一条直线

B ．两条直线

C ．一条射线

D ．两条射线 2．根据直线的参数方程判断直线的倾斜角 根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，

根据方程就可以判断出倾斜角，例如⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2＋t cos 20°，y ＝－4＋t sin 20°(t 为参数)，可以直接判断出直线的

倾斜角是20°.如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了，例如判断直线

⎩

⎪⎨⎪

⎧

x ＝t sin 20°＋3，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角，有两种方法： 第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．

把参数方程改写成⎩

⎪⎨⎪⎧

x －3＝t sin 20°

，－y ＝t cos 20°，

消去t ，有y ＝－x －3

tan 20°

，

即y ＝(x －3)tan 110°，所以直线的倾斜角为110°.

第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝3＋(－t )cos 110°

，y ＝(－t )sin 110°.令－t ＝t ′，则⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3＋t ′cos 110°

，y ＝t ′sin 110°， 所以直线的倾斜角为110°.

【做一做2－1】 直线⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°

(t 为参数)的倾斜角α等于( )．

A ．30°

B ．60°

C ．－45°

D ．135°

【做一做2－2】 过点(5，－4)，倾斜角α满足tan α＝－4

5

的直线l 的参数方程是( )．

A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5＋5t ，y ＝－4－9t (t 为参数)

B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5－5t ，y ＝－4＋4t (t 为参数)

C.⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝5＋5t ，y ＝－4＋4t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝5－5t ，y ＝－4－4t

(t 为参数) 3．直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法

给出直线的非标准式参数方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt

(t 为参数)，根据标准式的特点，参数t 的

系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质知其平方和为1，所以可以化为

⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝x 0＋

a a 2＋b

2×a 2＋b 2

t ，y ＝y 0

＋

b a 2

＋b

2×a 2＋b 2

t (t 为参数)，再进一步令cos α＝

a a 2＋

b 2，sin α＝b

a 2＋

b 2

，根据直线倾斜角的范围让α在[0，π)范围内取值，并且把a 2＋b 2t 看成相应的参数t ′，即

得标准式的参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋t ′cos α，

y ＝y 0＋t ′sin α(t ′为参数)．

由转化的过程可以看出，在一般参数方程⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt

(t 为参数)中，a 2＋b 2t 具有标

准式参数方程中参数的几何意义．所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式，而直接求出相应的t ，再乘a 2＋b 2即可继续使用标准形式中参数的几何意义．

【做一做3】 写出直线2x －y ＋1＝0的参数方程的标准形式，并求直线上的点M (1,3)到点A (3,7)，B (8,6)的距离．

答案：1.⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) |t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离 t

＞0 t ＜0 t ＝0

【做一做1－1】 C

【做一做1－2】 D y ＝2表示一条平行于x 轴的直线．

①当t ＞0时x ＝t ＋1

t ≥2

t ·1

t

＝2； ②当t ＜0时x ＝t ＋1

t

≤－2

t ·1

t

＝－2， 即x ≥2或x ≤－2，所以表示两条射线． 【做一做2－1】 B 【做一做2－2】 B

【做一做3】 解：根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，则tan α＝2，sin α＝255，cos α＝5

5，所以直线的参数方程是⎩⎨⎧

x ＝1＋5

5t ，y ＝3＋25

5t (t 为参数)．经验证

易知，点A (3，7)恰好在直线上，所以由1＋

5

5

t ＝3得t ＝25，即点M 到点A 的距离是2 5.而点B (8,6)不在直线上，所以不能使用参数t 的几何意义，根据两点之间的距离公式得(1－8)2＋(3－6)2＝58.

综上，点M (1,3)到点A (3,7)的距离为25，到点B (8,6)的距离为58.

1．直线的参数方程

剖析：首先，参数t 可以理解为直线l 上有向线段M 0M →

的数量．参数t 的几何意义可以与数轴上点A 的坐标a 的意义作类比，即a ＝±|OA |，当A 在O 的右侧时取“＋”；当A 在O 的左侧时取“－”，所以，数轴上点A 的坐标就是有向线段OA →

的数量．同样，当点M 在M 0的上方时，t ＞0；当点M 在M 0的下方时，t ＜0；当点M 与点M 0重合时，t ＝0.

其次，如果把直线的普通方程y －y 0＝tan α(x －x 0)写为y －y 0sin α＝x －x 0

cos α

，令上述比例式的比值为t ，即y －y 0sin α＝x －x 0

cos α

＝t ，由此即得直线的参数方程．

另外，在得到直线的参数方程后，应当注意α，x 0，y 0都是常数，t 是参数． 2．直线的参数方程的其他形式

剖析：对于同一直线的普通方程选取的参数不同，会得到不同的参数方程．例如，对于

直线普通方程y ＝2x ＋1，如果令x ＝t ，可得到参数方程⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝t ，y ＝2t ＋1(t 为参数)；如果令x ＝t

2，