【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件007007-立体几何中的向量方法(1)——证明平行与垂直

(2)证明直线与平面平行，只须证明直线 的方向向量与平面的法向量的数量积为 零，或证直线的方向向量与平面内的不 共线的两个向量共面，或证直线的方向 向量与平面内某直线的方向向量平行， 然后说明直线在平面外即可．这样就把 几何的证明问题转化为向量运算．
审题路线
若用向量证明线面 平行，可转化为判 → → 定向量MN∥DA1， → 或证明 MN 与平面 A1BD 的法向量垂 直．
利用空间向量证明平行问题
【例 1】 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C， B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD．
证明 法一 如图所示，以 D 为原点，DA，DC， DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直 角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可求得 1 1 0 ， 1 ， ，1，1,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0)． M ,N 2 2 1 → → 1 → ， 0 ， 于是MN＝ 2 ， DA ＝ (1,0,1) ， DB ＝(1,1,0)． 1 2 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)． x＋z＝0， → → 则 n· DA1＝0，且 n· DB＝0，得 x＋y＝0. 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． 1 1 → → 又MN· n＝ 2，0，2 · (1，－1，－1)＝0，∴MN⊥n， 又 MN⊄平面 A1BD，∴MN∥平面 A1BD．
1.平行关系
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1＝(1,0， －1)， v2＝(－ 2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是平行．( )
2.垂直关系
→ → (3)已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量是 1 2 2 n0＝±3，－3，3.( ) (4)(2014· 青岛质检改编)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 D1D 的中点，N 是 A1B1 的中点， 则直线 NO，AM 的位置关系是异面垂直．( )
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一是切莫混淆向量平行与 向量垂直的坐标表示，二 是理解直线平行与直线方 向向量平行的差异，如 (2)．否则易造成解题不 严谨．
2Байду номын сангаас
利用向量知识证明空间位置关系， 要注意立体几何中相关定理的活 用，如证明直线a∥b，可证向量 a＝λb，若用直线方向向量与平 面法向量垂直判定线面平行，必 需强调直线在平面外等.
审题路线
若用向量证明线面 平行，可转化为判 → → 定向量MN∥DA1， → 或证明 MN 与平面 A1BD 的法向量垂 直．
利用空间向量证明平行问题
【例 1】 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C， B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD．
→ → → 法二 MN＝C1N－C1M 1 → 1→ ＝ C1B1－ C1C 2 2 1 → 1→ → ＝ (D1A1－D1D)＝ DA1. 2 2 → → ∴MN∥DA1， 又∵MN 与 DA1 不共线， ∴MN∥DA1， 又∵MN⊄平面 A1BD，A1D⊂平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD．
利用空间向量证明平行问题
【训练 1】 (2013· 浙江卷选编)如图，在四面体 A-BCD 中，AD⊥平面 BCD， BC⊥CD，AD＝2，BD＝2 2，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在 线段 AC 上，且 AQ＝3QD． 证明：PQ∥平面 BCD．
证明 如图所示，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，OD，OP 所在 射线为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz. 由题意知 A(0， 2，2)，B(0，－ 2，0)，D(0， 2，0)． 设点 C 的坐标为(x0，y0,0)， 2 3 1 → → 3 因为AQ＝3QC，所以 Q x0， ＋ y0， . 4 4 2 4 因为点 M 为 AD 的中点，故 M(0， 2，1)． 1 2 3 → 3 又点 P 为 BM 的中点，故 P0，0，2，所以PQ＝ x0， ＋ y0，0. 4 4 4 → 又平面 BCD 的一个法向量为 a＝(0,0,1)，故PQ· a＝0. 又 PQ⊄平面 BCD，所以 PQ∥平面 BCD．
2.空间位置关系的向量表示
位置关系 直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2. 直线 l 的方向向量为 n， 平面 α 的法向量为 m 平面 α，β 的法向量分别为 n，m. l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β 向量表示 n1∥n2⇔n1＝λn2 n2＝0 n1⊥n2⇔ n1· n＝ 0 n⊥m⇔ m· n∥m⇔n＝λm n∥m⇔ n＝ m m＝0 n⊥m⇔ n·
知识与方法回顾
知识梳理 探究 一
辨析感悟
例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3
利用空间向量证明 平行问题
技能与规律探究
探究二
探究三
利用空间向量证明 垂直问题
利用空间向量解决 探索性问题
经典题目再现
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称 → → AB为直线 l 的方向向量，与AB平行的任意 非零向量 也是直线 l 的方 向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出： 设 a， b 是平面 α 内两不共线向量， a＝0， n· n 为平面 α 的法向量，则求法向量的方程组为 b＝0. n·
审题路线
若用向量证明线面 平行，可转化为判 → → 定向量MN∥DA1， → 或证明 MN 与平面 A1BD 的法向量垂 直．
利用空间向量证明平行问题
【例 1】 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C， B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD．
规律方法
(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相 关向量的坐标，是运用向量法证明平行 和垂直的关键．