第四章 复变函数的级数

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(2)zn
(1)n i n1
则ln i m xn (1)n, 而该极限不存在，
故该极限不存在。
3. 复数项级数
设 {zn}{xnyn}(n1,2,)为一复数
表达式 zk z1z2zn k1
称为复数项级数.
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n
前 n 项的和 Sn zkz1z2zn k1
称为级数的前 n 项部分和.
级数收敛与发散的概念
重要结论:
ln i m zn 0级
数zn发
n1
散 .
定义：如果 z n 收敛, 称级数 z n 为绝对收敛.
n1
n1
如果 z n 收敛, 而 z n 不收敛的级数
n1
n1
称为条件收敛. 11
绝对收敛级数的性质：
如 果zn收,敛 那 么 zn也收 . 敛
n1
n1
证明：由于 zn xn2yn2,
n1
称为复变函数项级数。
级数前n项的和
S n ( z ) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
找到一N 个 ()当 ,正 n数 N时 ,有znz0 .
则 称n当 时zn ， 以 z0为极限。
此时也称{复 zn}收 数敛 列z于 0.
记作 ln imzn z0 .
2
复数列收敛与实数列收敛的关系：
复数 {zn}(列 n1,2,)收敛 z0的 于充要条
ln i x m nx0, ln i y m ny0.
由 z 于 1时 ,当 ln i s m n ln i 1 m 1 z z n 1 1z
所以z当 1时级数. 收敛
复数项级数与实数项级数收敛的关系：
级数zn (xniyn)收敛的充要: 条
n1
n1
xn 和yn 都收.敛
n1
n1
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证明：因为 Snz1z2zn
( x 1 x 2 x n ) i ( y 1 y 2 y n )
r 1时可能收敛或发散
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛,
n1 n!
8n8(nn1n1!)!n810
故原级数收敛, 且为绝对收敛.
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§2 复变函数项级数
1. 复变函数项级数
设 {fn(z)}为区D上 域的复变 , 则 函数
fn (z) f 1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
(1 )zn 1 1 n n;ii(2 )zn ( 1 )n n i1 ;
解：(1)
zn
1 ni 1 ni
(1n)i2 12n in2
1n2
1n2
xn1 1 n n2 2, yn1 2nn2
所以 ln i m xn1, ln i m yn0
故数 zn1 1 列 n n收 ii 敛 ln i m ， zn1 且
n 1n12
收敛 .
所以原级数发散.
级数收敛的必要条件：
级数zn (xniyn)收敛的必要: 条
n1
n1
ln i m znln i (m xniy n)0
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证明：级数zn 收敛，则级 数xn 和yn收敛，
n1
n1
n1
由实级数 xn 和yn 收敛的必要条件
n1
n1
有 ln im xn0和 ln im yn0， 故ln im zn 0.
若部分 {Sn}收 和,则 敛 数称 列z 级 n收数 .敛 n1
且极ln i限 m SnS称为级.数的和
若部分 {Sn}不 和收 ,数 则敛 列 称z级 n发.数 散 n 1
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例2 判断级数 zn(z 1)的敛散性。 n0
解：部sn 分 1 z 和 z2 zn -1 1 1 z z n， ( z1)
那n 么 N 时 ,x n 当 x 0 2 , y n y 0 2 .
从z n 而 z 0 (x n 有 in y ) (x 0 i0 y )
(xnx0)i(yny0)xnx0yny0,
所 以 ln i m znz0.
定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别 两个实数列的敛散性。
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例1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
an ibn,
其a中 n为xn的部分 bn为 和 yn的 ，部分
n1
n1
根据复数列收敛定理
{Sn} 极限存在的充要条:件{an}和{bn}的极限存, 在
即， zn 收敛的充要条件是xn 和 yn 都收.敛
n1
n1
n1
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例3
级数
1(1i
)是否收敛？
n1n n
解
因为an
n1
n 1n1发散 ; n 1bn
n
nn n
所
以 xn(11 n)c
oπs, n
பைடு நூலகம்
1
yn
(1 )sin . nn
而 ln im xn1, ln im yn0
所 以 zn (1 数 1 n )e iπ n收 列 ,且 敛 ln i z m n 1 .
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例5
级数
1i2n1
是否收敛？
n1 n
解：级数满足必要条件, 即lim1i2n1 0, n n
而 1i2n11(1)ni
n1 n
n1 n
1 i (1)n 1
n1 n
n1
n
虽
(1)n
1收
敛 , 但
级
数 1发
散,
n1
n
n1 n
故原级数发散。
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例6
级数
(8i)n 是否绝对收敛？
n1 n!
解
因为
(8i)n
8n ,
n! n!
lim un1 r
u n n
r1时收敛, r1时发散
n1
n1
而 x nx n 2y n 2, y nx n 2y n 2,
因此 ， xn 及yn 都收 , 敛
n1
n1
根据实数项级数的绝对收敛性, 知
xn及 yn也都收 . 从敛而 zn 是收敛的。
n1
n1
n1
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例4
数列
zn
(1 1)ein是否收敛？ n
解
因
为zn
(11)eiπn(11)(co issi n ),
第四章 复变函数的级数
§1 复数项级数 §2 复变函数项级数 §3 泰勒级数 §4 洛朗级数
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§1 复数项级数 1. 复数序列的极限
数列：znxniyn,(n1,2,)为 一 串 复 数
称{zn}为 一复简 数称 列数 ，列 。
极限：设 {zn}为 一 数 z0x列 0i0 y， 为 一 确
定 的,若 复对 数任意 0,给 相定 应 地 都
证明 如果 ln im zn z0,那么对于任意 0给 , 定
能找到一个 N,当 正n整 N时 数 , 有
(xniy n)(x0iy 0),
从 x n 而 x 0 ( x n 有 x 0 ) i( y n y 0 ) ,
即ln im xn x0. 同理 ln i m yny0. 3
反之ln i ， x m nx0 如 , ln i 果 m yny0,