模n剩余类环

,故 [a]可逆.
剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
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例 1 Z12
解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]
(2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
直接计算可知,相应的逆元为
[1]1 [1],[5]1 [5],[7]1 [7],[11]1 [11]
为其一同态满射，则在之下单位元的象是单位元，
～
即1 1，从而对任意的整数x有
~
~～
：x x 特别有0＝m m 0.故n m
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定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且 只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环. 注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们 彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构.
近世代数
第四章 环与域 §4 模n剩余类环
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定义1（同余）整数a关于模正整数m同余于 整数b，是指
m∣a－b, 并写a≡b (mod m).
整数模m同余类共有m个，他们分别为 mk+0, mk+1, mk+2,…mk+(m-1); k∈z，每 一个算一类，每一类都可以选一个代表元， 一般选这一类中的最小的非负整数。于是 称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。
后证明分配律成立
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2. 剩余类环的性质
定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则
(1) [a] 为 Zm 的零因子 (a, m) 1 (2) [a] 为Zm 的可逆元 (a, m) 1
证：(1)若 [a] 为 Zm 的零因子,则存在
[b]( [0]) Zm ,使得 [a][b] [ab] [0]
(3) 全部子环:
([0]), ([1]), ([2]), ([3]), ([4]), ([6])
(4) 各子环特征:
char(([0])) 1, char(([1])) 12, char(([2])) 6,
char(([3])) 4, char(([4])) 3, char(([6])) 2.
但[a][b] [ab] [0], Zm 为有零因子环.
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推论
Zm 为域 m 为素数.
（有限无零因子环是除环）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例2 Z5是域，Z6不是域.
定理3 设m,n是两个正整数,则Zm～Zn当且仅当n∣m
证：令
～
n1 Zm {0,1,m 1}, Zn {0,1, },并设Zm～Zn且
～ ~~~
例 Z6的子环 R {0, 2, 4}与Z9的子环 R＝{0,3, 6}
都是3阶循环环，但它们不同构.
例 环Z6有T（6）＝4个子环
例
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定理2
Zm 为无零因子环 m 为素数.
证：设 m 为素数，若 [a][b] [ab] [0]
，则 m | ab ，m | a 或者 m | b ，即
[a] [0], 或者[b] [0], Zm 为无零因子环.
若 m 不是素数，则 m ab,
m | a, m | b, 即[a] [0],[b] [0],
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(2)若 [a] 为 Zm 的可逆元,则 [b] Zm ,
[a][b] [ab] [1]. 于是, m | ab 1,即 c Z
,使得 ab 1 cm ,也就是 ab (c)m 1 ，所以 (a, m) 1.
反之, 如果 (a, m) 1 ,则 x, y Z st. ax my 1 ,因此, [a][x] [ax] [1]
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定义2：模 m 的剩余类环Ｒ＝｛模 m的剩余类｝，规定 R 中的加法和乘法如下：
[a][b] [a b]
[a][b] [ab]
如何证明 R 是一个环？：首先证明加法和乘法的定义是与 代表元的选择无关。封闭性是显然的。然后证明R关于加法 是一个Abel群，关于乘法是一个（含幺，可交换）半群。然
,故 m | ab .若 (a, m) 1 ,则 m | b ,所以
[b] [0] ,矛盾.于是 (a, m) 1 .
反之,如果 (a, m) d 1 , 设 a a1d , m m1d ,则 m | ma1 m1da1 m1a
,所以 [m1][a] [m1a] [0] ,但 [m1] [0] ,于是 [a] 是零因子.