关于非线性计量经济模型的参数估计_李焯章

用的描述性度量 。
未知参数的似然方程式是
ln L / β =(1/ σ2)∑εi[ h(Xi , β)/ β] =0 i
ln L / θ= ∑(1/ Ji )| J i/ θ| i
-(1/ σ2)∑εi ( g(Y i , θ)/ θ)=0 (27) i
2 非线性计量经济模型左边因变量 表达式中含有参数的参数估计
对于多元线性计量经济模型 Y =X β +ε, 可以
用普通最小二乘法(O LS), 加权最小二乘法(WLS)
或广义最小二乘法(GLS)等方法去估计其参数 , 而
且有许多种类的非线性计量经济模型可以采用变量
代换将其转换为线性模型 , 如 :
K
Y
= i
∑ =0 αiX
i
+ε
(1)
也可采用对数变换的方法将其转换为 线性模
在式(25)中 , 若没有雅可比行列式 , 则非线性最小 二乘估计即是最大似然估计 ;如果雅可比行列式中 包括 θ, 最小二乘法就不是最大似然法 。其次 , 对于
b ～ N [ β , (σ2/ n)Q-1]
其中 Q = Plim(X′X / n) 渐近协方差矩阵的样本估计是
(1 8) (1 9)
σ2 , 这个似然函数在本质上与更简单的非线性计量
型 。以下两个计量经济模型 Y = β1 +β2eβ3 x +ε
(6)
与
Y
=
β
1
x
β 12
x
β 23
eε
(7)
虽然都是非线性的 , 但是它们之间也有差别 , 如
对模型(7)两边同时取对数 , 它就变为线性形式 , 而
对模型(6)就无法做到 。
收稿日期 :2001 -04 -18 作者简介 :李焯章(1944 -), 男 , 湖北省武汉市人 , 教授 。
经济模型的似然函数相同 , σ2 的最大似然估计量是
σ2
=(1/ n)∑[ i
g(Y i , θ)-h(Xi ,
β)] 2
=(1/ n)∑ei
(26)
Est .Asy .V ar(b)= σ2(X′X )-1
R2 =1 -[ ∑e2i/ ∑(Y i -Y i)2]
i
i
(2 0)
但是 R 2 不一定在(0 , 1)范围内 , 它仍是一个有
型 , 如科比 — 道格拉斯生产函数模型
Y
=
AK
β
1
Lβ
2
ε
(2)
也可在某一特定点处求模型 T ay lor 展开式 , 再
进行变量代换转换为线性模型 , 如不变替代弹性生
产函数模型 Y = A[ δK -ζ +(1 -δ)L -ζ] -m/ ζ
(3)
将其取对数后 , 在 ζ=0 处求其 Laylor 展开式 ,
x0
=(x
0 1
,
…,
x0k
,
…
x
0 m
)
=[
h(X , β01
β0),
…,
h
(X , β0k
β0
),
…
,
h
(X , β0m
β0
)]
于是
Y ≈ h0 -x 0 β0 + x 0 β +ε 从而得到回归模型
(12)
Y = Y -h0 + x 0 β0 = x 0 β +ε
(13)
方程组(10)是一个非线性方程组 , 而且没有一个确 定的解 。根据上述分析 , 在这里我们可以给非线性计 量经济模型下一个 初步定义 :若计 量经济模型(5)
再进行变量代换 , 便可得到线性模型 。尽管我们可采
用多种方法将多种类型的非线性模型经过变换后变
为线性模型讨论 , 但是仍有许多种类的模型还未包
含在其内 , 例如策尔纳和雷万卡提出的广义科比 —
道格拉斯生产函数模型
ln Y +θY =lnγ+α(1 -δ)lnK +αδln L +ε
Βιβλιοθήκη Baidu
(4)
就是这些模型中的一个 , 该模型是内在非线性 。因为 在古 典 计 量 经 济 模 型 中 , 如 果 k 个 参 数 β1 , β2 … …βk , 能够一一对应地写成关于 k 个基本参数 θ1 、θ2 … …θk 的 k 个可能非线性函数 , 则模型才称为 关于 θ1 、θ2 …… , θk 是内在线性的 。
, ……,
h(X i , β0t
β0) ,
…
…,
h(Xi , β0) β0m
……
……
……
……
h(X n , β0) β01
, ……,
h(X n , β0) β0t
, ……,
h(Xi , β0)
β0m
n ＊m
4 期 李焯章 :关于非线性计量经 济模型的参数估计
57
h(X 1 , β0) β01
在本文中我们将对一类内在非线性计量经济模 型进行讨论 。
1 利用非线性计量经济模型的 Taylor 展开式估计其参数
假定计量经济模型的一般形式是
Y i = h(X i , β)+εi
(5)
当 h(X i , β)是线性形式时 , 模型(5)就是一个 线性计量经济模型 , 否则就称为非线性计量经济模
非线性最小二乘法的准则函数是 :
S (b)= ∑[ Y i -h(X i , b)] 2 = ∑e2i
i
i
其中 b 是使 S(b)最小化的正则方程组
(1 5)
g(b)=-2 ∑[ i
Y
i
-h(X i
,
b)] ( h(Xi
,
b)/
b )= 0
S(θ, β)= ∑[ g(Y i , θ)-h(X i , β)] 2 i
线性最小二乘估计量 , 而使离差平方和 S(β)取最 小值的一阶偏导条件是
S(β)=-2 ∑[
β
i
Y
i
-h(X i
,
β)]
h(X i , β)=0 β
(9) 在线性计量经济学模型中式(9)将是一个线性正则
方程组 , 而对于模型(6)它的正则方程组为 :
h (X
, β)≈ h(X
, βo)- ∑ k
h(X , βk
4
期
Jou
rnal
武 of
汉
工业 Wuhan
学 院 学报 Poly technic U niversity
55
文章编号 :109 -4881(2001)04 -0055 -04
关于非线性计量经济模型的参数估计
李焯章
(武汉工业学院 管理科学系 , 湖北 武汉 430022)
可以得到集点对数似然 。
ln LC = ∑lnJ (Y i , θ)-(n/ 2)(1 + ln2 π)i
(n/ 2)ln[ (1/ n)∑ε2i ] i
(2 8)
它是 θ和 β 的函数 , 将(28)式关于 θ和 β 最大化 , 便
h(Xn , β0)
β0m
m ＊n
X′X
=
[ (∑[ i
h(X i ,
β0)/
β0k ] [
h(Xi , β0t
β0)] )kt]
m ×m
是一个 m
阶方阵 ,
根据式(14), 我们可以得到非线性最小二乘估计量
的渐近性 。
济模型进行了讨论 , 而模型的左边在因变量的表达
式中也可能出现参数的非 线性情况 , 例如 模型(4)
表达式关于 β 最大化(如果 h(X , β)是线性的 , 可以
利用普通最小二乘法 , 使求解更容易)。对于所有的
参数最大化 L 的一种方法是审查 θ的值 , 找到一个 与相关的 β 和σ2 的最小二乘估计量使得 L 达到最大
值的 θ值 。如果 θ是一个参数向量 , 关于全部参数直
接对 L 最大化是可行的 , 另外 , 无论最后得到的 θ和 β 的估计值是多少 , σ2 的估计值根据上述式子给出
ln L / σ2 =-(n/2 σ2)+(1/ 2σ4)∑i ε2i =0 这些方程通常都是非线性的 , 一般用迭代法求 解 。其一种特殊情况是在模型中 θ是单一参数 , 已知
以上对在模型的右边出现参数的非线性计量经 θ的一个特定值 , 利用非线性最小二乘法将 ln L 的
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武 汉 工 业 学 院 学 报 2001 年
最小化
(22)
对于这种类型模型求其最大似然估计量是比较有效
的 , 若随机项 εi 服从正态分布 , Y i 的密度是
f (Y i)
=|
εi/ Y i
|
(2 πσ2)-1/ 2e-[ gˉ(Y i , θ)-h(X i , β)] 2/ 2σ2
(23)
雅可比行列式
J (Y i , θ)=| εi/ Y i || g(Y i , θ)/ Y i |=J i(24)
广义生产函数模型就是一个例子 , 一般情况下 , 假定
模型是
g(Y i , θ)= h(X i , β)+εi
(21)
它的一种估计参数的方法是使离差平方和
在上式中对于收敛于正定矩阵 Q 的条件还应
附带回归量矩阵 X 的各列是线性无关的条件 , 这类 似于线性计量经济模型中对解释变量是线性无关的
要求 , 也才能保证(X′X )-1 的存在 。
plim[ (1/ n)X′X ] = Q
(14)
在非线性计量经济模型(5)中 , 将 h(X , β)在 其中 Q 是正定矩阵 ,
h(X 1 , β0) β01
, ……,
h(X 1 , β0) β0t
, ……,
h(X 1 , β0) β0m
……
……
……
……
X =
h(Xi , β0) β01
其中 h0 = h(X , β0),
(11)
S (β)=-2 ∑[ Y i -β1 -β2eβ3 xi] =0
β1
i
S (β)=-2 ∑[ Y i -β1 -β2eβ3 xi ] eβ3 3 xi =0
β2
i
(10)
S (β)=-2 β3
∑[
i
Y
i
-β1
-β2eβ3 x i]
β2 eβ3 xi
=0
因此 , 已知 β0 的值时 , 可以计算 Y 0 和 X 0 , 并可用最 小二乘法估计其参数 。
在古典线性计量经济模型中 , 我们假定随机项 是服从正态分布的(当样本容量 n 足够大时 , 可以不 必单独提出这个要求), 为了得到渐近正态性 , 我们 假设样本矩阵(1/ n)X′X 收敛于一 个正定矩阵 Q , 对于非线性计量经济模型 , 我们可以类似地假定
其离差平方和 S(β)取最小值的一阶偏导条件(9) 是关于参数的非线性方程组 , 那么我们称计量经济 模型(5)为非线性的 。在这里 , 我们定义非线性计量 模型是根据估计参数所需要的技术来定义的 , 而不 是根据计量经济模型的形式 , 当然 , 我们还可拓宽这 个定义 , 使其包括最小二乘法之外的一些方法 。
β) β=βo(βk
-βok )
=(X
,
βo)-
∑β
k
0 k
h(X , β)
βk
β =βo
+
∑β
k
0 k
h(X , β)
βk
β =βo
令
x
0 k
=
h(X β
,
0 k
β0),
k
=1 , … …, m
则 h(X , β)≈[ h0 - ∑x 0kβ0k] +∑x0kβk
k
k
= h0 -x 0 β0 +x 0 β
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武 汉 工 业 学 院 学 报 2001 年
当我们用 最小 二乘法 去估计 模型(6)的参 数 时 , 使离差平方和
参数 β 的一个特定值β0 处用一阶 T aylor 级数近似表 示 ,即
S (β)=
∑i ε2i
=
∑[
i
Y
i
-h(X i
,
β)] 2
(8)
取最小值的参数值 β 将是 β 的最大似然估计量和非
, ……,
h(Xi , β0) β0l
, ……,
h(Xn , β0) β01
……
……
……
……
X′=
h(X 1 , β0) β0k
, ……,
h(Xi , β0k
β0) ,
… …,
h(Xn , β0) β0k
……
……
……
……
h(X 1 , β0)
β
0 m
, ……,
h(Xi , β0) β0m
, ……,
其对数一似然函数
即 g(b)=-2X′e
的解 。
σ2 的一致估计为
σ2
=(1/
n )∑[ i
Yi
-h(X i
,
b)] 2
(1 6) (1 7)
ln L =-(n/ 2)ln2 π -(n/ 2)lnσ2 +∑lnJ(Y i , θ) i -(1/ 2σ2)∑[ g(Y i , θ)-h(Xi , β)] 2 (25) i
摘 要 :多元线性计量经济模型 Y =X β +ε可以用普通最小二乘法(O LS)、加权最小二乘法 (WLS)或广义最小二乘法(GLS)等方法去估计其参数 , 有一些类型的非线性计量经济模型可 采用变量代换 、对数变换等方法将其转换成线性模型再去估计参数 , 本文将讨论一类非线性计 量经济模型 Y =h(X , β)+ε, 在 β 的某一特定值处先求 h(X , β)的 Taylor 展开式 , 然后估计 其参数的方法 ;以及在非线性计量经济模型中不仅在模型表达式右边出现参数 , 而且在模型表 达式左边也出现参数的情况 , 形如 g(Y , θ)=h(X , β)+ε的模型进行讨论 , 特别以广义科比 — 道格拉斯生产函数模型 lnY +θY =ln γ+α(1 -δ)lnK +αδlnL +ε为例说明之 关键词 :非线性计量经济模型 ;最小二乘估计量 ;最大似然估计量 中图分类号 :F 224 文标识码 :A