江苏省苏州市2015-2016学年高二上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

苏州市2015-2016学年第一学期期末考试

高二数学

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）

1.若直线l 经过两点()1,2A ，()3,4B ，则l 的倾斜角为 ．

2.抛物线2

12

y x =

的焦点到其准线的距离为 ． 3.已知两条直线1:l 4330x y ++=，2:l 8690x y +-=，则1l 与2l 的距离是 ． 4.函数sin y x =的图象在点(),0π处的切线方程为 ．

5.一质点的运动方程为2

10S t =+（位移单位：m ；时间单位：s ），则该质点在3t =时的瞬时速度为

m /s ．

6.若函数()3

2

3f x x x a =-+在区间[]1,1-上的最大值是2，则实数a 的值

为 ．

7.将一个圆锥沿母线剪开，其侧面展开图是半径为2的半圆，则原来圆锥的高为 ．

8.设C ∆AB 是等腰三角形，C 120∠AB =，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率是 ．

9.关于异面直线a ，b ，有下列四个命题：

①过直线a 有且只有一个平面β，使得//b β；②过直线a 有且只有一个平面β，使得b β⊥； ③在空间存在平面β，使得//a β，//b β；④在空间不存在平面β，使得a β⊥，b β⊥． 其中，正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都填上）．

10.在平面直角坐标系x y O 中，已知点()0,2A ，直线:l 40x y +-=．点(),x y B 是圆

C:22210x y x +--=上的动点，D l A ⊥，l BE ⊥，垂足分别为D ，E ，则线段D E 的

最大值是 ．

11.已知三棱锥C S -AB 的各个顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，S O ⊥

底面C AB ，C A =

，则球的体积与三棱锥体积之比是 ．

12.如图，在平面直角坐标系x y O 中，1F ，2F 分别是椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、

右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线2F B 与椭圆的另一个交点为D ，若

13

tan F 4

∠BO =，则直线CD 的斜率为 ．

13.如图，一根长为2米的竹竿AB 斜靠在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内移动，当竹竿的下端点A 从距离墙角O 点1米的地方移动到3米的地方，则AB 的中点D 经过的路程为 米．

14.已知函数()ln x

f x a x a =-（01a <<），若对于任意[]1,1x ∈-，不等式()1

f x e ≤-（其中e 是自然对数的底）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．

二、解答题 （本大题共6小题，满分90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（本题满分14分）

已知C ∆AB 的顶点()5,1A ，边AB 上的中线C M 所在直线的方程为250x y --=，边C A 上的高BH 所在直线的方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标； （2）求直线C B 的方程． 16.（本题满分14分）

如图，在三棱锥C P -AB 中，D ，E ，F 分别是棱C P ，C A ，AB 的中点．已知C PA ⊥A ，

6PA =，C 8B =，DF 5=．

（1）求证：直线//PA 平面D F E ； （2）求证：平面D B E ⊥平面C AB ．

17.（本题满分14分）

某景点为了提高门票收入，需要进一步改造升级，经过市场调查，门票新增额s （万元）与改造投入资金x （万元）之间满足：()23

511ln 50100

s x x x x ax =

-+-（160x ≤≤）

．当10x =时，102s =．景点新增毛收入()f x （万元）为门票新增额扣除改造投入资金．

（1）求()y f x =的解析式；

（2）若将

()

f x x

定义为投入改造资金的收益率，试确定投入资金x （万元）的大小，使得改造资金的收益率最高，并求出最高收益率．（参考数据：ln5 1.61=）

18.（本小题满分16分）

如图，圆:O 2

2

8x y +=内有一点()1,2P -，AB 是过点P 且倾斜角为135的弦．

（1）求弦AB 的长；

（2）若圆C 与圆O 内切且与弦AB 相切于点P ，求圆C 的方程．

19.（本小题满分16分）

已知()2,0A -，()2,0B 是椭圆C 的左、右顶点，F 是其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且∆APB 面积的最大值为3 （1）求椭圆C 的方程及离心率；

（2）直线AP 与过点B 关于x 轴的垂直交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以D B 为直径的圆与直线F P 的位置关系，并加以证明．

20.（本小题满分16分） 已知函数()ln a

f x x x

=-

，()()6ln g x f x ax x =+-，其中R a ∈为常数． （1）当1a =时，试判断()f x 的单调性；

（2）若()g x 在其定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；

（3）设函数()24h x x mx =-+，当2a =时，若存在()10,1x ∈，对任意的[]21,2x ∈，总有()()12g x h x ≥成立，求实数m 的取值范围．

苏州市2015-2016学年第一学期期末考试

高二数学（附加题）

21.（本小题满分10分） 求函数()1

ln

21

f x x x =++的最小值． 22.（本小题满分10分）

求与圆C:2

2

40x y x +-=外切，且与y 轴相切的动圆圆心M 的轨迹方程． 23.（本小题满分10分）

如图，四棱锥CD P -AB 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面CD AB ，且D 2PA =A =，E ，

F ，H 分别是线段PA ，D P ，AB 的中点．

（1）求直线AH 与平面F E H 所成角的大小； （2）求二面角F H -E -A 的大小．

24.（本小题满分10分）

已知抛物线2

y ax =（0a ≠）的准线方程为1y =-． （1）求抛物线的方程；

（2）设F 是抛物线的焦点，直线:l y kx b =+（0k ≠）与抛物线相交于A ，B 两点，

记F A ，