核物理费米气体模型简介

中子势阱和质子势阱
势阱高低由结合能、费米能级决定，质子由于有电荷，所以阱的底高 出一个库伦能，同时在势阱上多处一个库仑势垒。（见下图）
核物理费米气体模型简介
费米能级
在一个直径为d的原子核内，根据 直径与核子数的经验关系
可以知道有 个核子。根据泡利 不相容原理，这些核子不能处在同一 个能态上，它们必定有序地从低能态 往高能态上依次分布。这种能态分布 可以形象地表示如右图： 费米能级： 核子可以处的最高能级的位置称 之为费米能级，记为EF(EF,n及EF,p)。 右图中即为能态4所处的能级。下面就 推导EF的表达式。
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费米能级
每个晶格的体积为一个单位，而半径为R的1/8球体的体积为：
14 π 3 π 8mE f d 3/ 2 R ( ) 2 8 3 6 h
8mE f d 3/ 2 π 8mE f d 2 3/ 2 π 所以共有 ( ) 个晶格，即有 ( 2 ) 个能态，考虑到每个 2 6 h 6 h
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8mE f d 3/ 2 能态有两个粒子，所以共有粒子数为： X π ( ) ——（*） 2 3 h
上式即是关于原子核直径、核子数、和费米能级之间的表达式。
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费米能级
代入中子数N，中子费米能级 E f ,n ，从而（*）式转化为关于中子数和中 2 子费米能级之间的关系，即 π 8mE d
费米能级
核物理费米气体模型简介
2 2 n h 所以粒子在宽度为a的一维势阱中的能量表达式为： En ，n 1， 2， 3，…… 8ma 2
在本模型中，势阱宽度a就是原子核直径d， En 的最大值 就是费米能级 ，下面根据核直径d，粒子数A来 计算费米能级 E f Ef 将一维势阱能量表达式拓展至三维 h2
( d 3 ) 2r0
d / 2 r0 A1/ 3
费米能级
描述粒子在场中的方程：薛定谔方程 运用于一维定态时，方程简化为： 在0<x<a范围内，势能为0，即 再加上边界条件 于是构成如下本征值问题： 得到该本征方程的解：
（ x） =A sin kx
2mE h2 n π k ，n 1， 2， 3，…… a k2=
N ( 3
h
f ,n 2
)3/ 2
假如近似取 N=Z=A/2,
Ef Ef ,n Ep,n 29 MeV
如果最后一个核子的结合能是8MeV，则核子在37MeV的势阱内运动。
r0
1.3 fm ，那么可以近似地计算得：
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对称能
E(Z , N ) N EN Z EP 2/3 2 5/3 5/3 3 9 N Z ( ) 10m r02 4 A2 / 3 2/3 2 2 3 9 5 (N Z ) A 10m r02 8 9 A
右图两个核子自旋为1/2（蓝色）和-1/2（红 色）。假设能级确定，空间量子数也确定（本图中 nx=1,ny=1,nz=1），那么该能态可以容纳两个核子。
模型的基本思想
原始的独立粒子模型，视核子为几乎没有相互作用的气体分子，由于 核子是费米子，原子核就可视为费米气体。对核子运动起约束作用的只有 泡利不相容原理。
8md n x =1，2，3…… n y =1，2，3…… nz =1，2，3…… En
2
2 2 （n 2 x +n y +n z）
当空间量子数为（1，1，1）时，存在一个能态， 根据泡利不相容原理，可以存在两个粒子。当空间 量子数为（1，1，2）时，存在一个能态，存在两 个粒子。……从图上可以看到，每个空间量子数对 应于一个小方格，由于 8mE f d 2 8mEd 2 2 2 2 nx ny nz R2 2 2 h h 所以问题可转化为半径为R的1/8小方格组成的 球体（量子数相空间）内，存在多少个小方格（晶 格）。N个晶格就有2N个粒子。
4 π 3 d 3 r 0 A1/ 3 d r A 0 Ef 又 ，（也可以用经验公式： ），两式整理，得到中子 2 3 的最大能级，即费米能级： h2 9 π N 2/ 3 E f ,n ( ) 2 2mn r0 4 A 2 π Z 2/ 3 同理可得质子的最大能级，即质子的费米能级：E h ( 9 ) f ,p 2 2mp r0 4 A
h2 2 (r , t ) (r , t ) (V E ) (r , t ) ih 2m t
d2 ( x ) 2m (E V ) ( x) 0 dx 2 h2
V ( x) 0
(0) (a) 0
d 2 ( x) 2mE 2 ( x) 0 dx 2 h (0) (a) 0
核物理费米气体模型简介
－核物理学习报告
报告人：核01级 申屠军
指导教师：胡华四 2003-11-23
预备知识
费米子和玻色子：自旋为半整数（±½）的粒 子，如电子、核子等称做费米子；自旋为 整数的粒子，如а 粒子，光子等称作玻色 子。 泡利不相容原理：对于费米子，每个量子态 只能有一个粒子。一个量子态由四个量子 数组成的，分别是主量子数n，副量子数l， 磁量子数ml和自旋量子数ms。对于在原子 核内，当一个核子（质子或者中子）的能 级和空间量子数确定后，那么该能态上最 多只能存在自旋互为相反数的两个核子。
体积能项 对称能项
核物理费米气体模型简介
总结： 核子的费米能级越为：29MeV 核子的势阱深度约为：37MeV 费米气体模型与核壳层模型有相似之处，也 与电子的壳层模型有相似之处。其原理是相同的。 所以我们也可以计算电子的费米能级。电子的费 米能级在超导物理中很重要。 由于忽略了核子间的相互作用，故得出结论 较为粗糙。