一类非线性切换系统的输出反馈控制及其应用
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uk f k ( x1 ) k , k 1, 2
f k (0) 0
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
1、问题描述
因此，系统（3.1）变为如下的切换系统：
1 x2 x
2 x 1 f ( x1 ) f (t ) ( x1 ) 1 g ( x2 ) 1 (t ) （3.2） m m m
1、问题描述
汽车悬挂减震系统数学模型
10/34
三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
1、问题描述
系统描述方程：
1 x2 x
2 x 1 1 1 f ( x1 ) g ( x2 ) u m m m
y x1
11/34
三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
1、问题描述
假定仅位移 x1是可测量的，而 m 0 是一个未 知的常数。同时，我们只允许运用两种预先设定 的候选控制器:
3/34
一、绪 论
• 2、切换系统概述
1）定义 切换系统：由一系列子系统以及协调这些子系 统之间切换的规则组成的混合系统 2）发展现状 (1)切换系统在任意切换策略下的稳定性。 (2)切换系统在一些受限类型切换信号下的稳定 性。 (3)镇定切换系统的切换信号的构造。
4/34
一、绪 论
31/34
五、总结与展望
未来展望
我们研由于切换系统自身所具有的特性，使得它的研究变得 更为复杂，所以切换系统的研究将是一项长期而艰巨的任务。 随着计算机技术的飞速发展和控制论的研究越来越深入，为 切换系统的研究发展提供了坚实的理论基础和广阔的发展背 景。随着切换系统在实际工程中的广泛应用，其理论研究价
• 2、输出反馈概述
1）定义 输出反馈：系统的输出变量通过比例环节传送 到输入端去的反馈方式 2）发展现状
输出变量容易直接测量得到，而且在大多数况 下具有明确的物理意义，所以输出反馈是一种 在技上易于实现的常用的反馈方式 。主要分为 两种方式：静态输出反馈和动态输出反馈
5/34
一、绪 论
• 3、本文的主要研究方向
四、设计方法应用
3、Matlab仿真
T T ˆ ˆ ( ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ), ( 0 )) ( 0 . 4 , 0 . 5 , 0 . 6 , 0 . 3 ) 1 2 1 2 初始条件为：
10 0 -10 -20 -30
0.4 0.6 0.5
states
29/34
四、设计方法应用
3、结 论
上述仿真结果表现出闭环系统（3.25）-（3.27）的渐近稳定 性。该仿真结果验证了本文提出的设计方法。
30/34
五、总结与展望
本文总结
（1）研究了一类非线性切换系统的输出反馈全局稳定问题 （2）基于反推法和共同Lyapunov函数方法，给出了一种构造 性的设计方法来设计各子系统的输出反馈控制器 （3）将该设计方法应用于汽车悬挂减震系统
y x1
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
2、系统描述和预备知识
一类具有未知控制非线性切换系统：
g i i i 1 i ( t ) ( , u ( t ) , ),1 i n 1
g u i n ( t ) i ( t ) ( , u ( t ) , )
三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
3、主要设计过程
在状态观测器（3.6）的基础上，为系统（3.5）设 计如下输出反馈控制器：
ˆ1 , , x ˆn ) LBnkzn L an x ˆ1 uk nk ( y, x
n n 1
n 1 ˆ j , k M （3.19） x ˆj j 1 x
-40 -50 -60 -70
states
0.3 0.2
0.1
0
-80 -90
-0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
times (sec)
times (sec)
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四、设计方法应用
3、Matlab仿真
T T ˆ ˆ ( ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ), ( 0 )) ( 0 . 4 , 0 . 3 , 0 . 5 , 0 . 4 ) 1 2 1 2 初始条件为：
32/34
值将会得到更大的提高，研究空间将进一步扩大。
致
谢
谢谢各位老师参加 我的论文答辩，谢谢大家！
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·
·
i2
假设2：存在着一个非递减的平滑函数 ( ) 0 ，和一个已 知的正常数 c ，使得对于所有的 k M , 0 ：
1k ( , uk , ) c 1 ,
i 1 n i 1
ik ( , uk , ) ( ) i 1 i
i 1
n
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一类非线性切换系统的输出反馈 控制及其应用
作 者 姓 名：陈徐达 指 导 教 师：龙离军 老师 班 级：自动化1003班
目 录
• • • • • 一、绪论 二、基本原理 三、一类非线性切换系统的输出反馈控制 四、设计方法应用 五、总结与展望
一、绪 论
• 1、非线性系统概述
1）定义 非线性系统：系统的数学模型是用非线性 方程所表示的系统 2）发展现状 早 期：相平面法,描述函数法,绝对稳定性理论, 李亚普诺夫稳定性理论 。 近 代：微分几何方法,微分代数方法,变结构控 制方法,反推设计法。
j 2
n
（3.5）
y gx1
16/34
三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
3、主要设计过程
对于系统3.5我们设计了以下状态观测器：
ˆi x ˆi 1 Li ai x ˆ1,1 i n 1 x
（3.6）
ˆi u (t ) Ln an x ˆi x
17/34
25 20 15 10 5 0 -5 -10
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1
states
states
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
times (sec)
times (sec)
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
2、系统描述和预备知识
对系统（3.3）进行坐标变换得：
n xi 1 n n (t ) ( gx1 , x2 g j , , xn , u (t ) , ),1 i n 1 x
j 2 n
n u (t ) n n (t ) ( gx1 , x2 g j , , xn , u (t ) , ) x
1 2
b1 b32 3 b 2 b1 2 (t ) 1 3 1 2 f (t ) ( 1 ), k 1,2 m m m m
（3.25）
1 y 1 m
22/34
四、设计方法应用
2、系统设计
对于系统（3.25）设计如下观测器：
ˆ1 ˆ2 2 L ˆ1
1） 利用共同Lyapunov函数方法及反推法，开发了一种构 造性的设计方法来设计各子系统的输出反馈控制器， 实现相应闭环系统在任意切换律作用下的全局渐近稳 定 2） 将该方法应用于汽车悬挂减震系统，并给出仿真结果
6/34
二、基本原理
• 1、反推设计方法
也称为反步法，回推法，反演法。反推设计法的 基本思想是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶 数的子系统，然后为每个子系统设计部分Lyapunov函 数和中间虚拟控制量，一直“后退”到整个系统，将它 们集成起来完成整个控制律的设计。
ˆ 2 ( t ) L2 ˆ1
L 85 其中：
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四、设计方法应用
2、系统设计
设计如下输出反馈控制器：
ˆ2 L2 B1 B21 y L2 ˆ1 1 LB21
ˆ2 L2 B1 B22 y L2 ˆ1 2 LB22
4 4 B 5 , B 1 . 14 10 B 1 . 15 10 其中： 1 21 22
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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二、基本原理
• 2、切换系统的稳定性分析方法
（1）共同Lyapunov函数方法 各子系统存在共同Lyapunov函数 （2）多Lyapunov函数方法 对每个子系统选定一个函数进行稳定性分析
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
1、问题描述
汽车悬挂减震系统示意图 9/34
三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
0.4 0.3
20 40
0.2 0.1
0 -20
states
-0.1 -0.2
states
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
0
-40 -60
-0.3 -0.4 -0.5
-80
-100
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
times (sec)
times (sec)
24/34
四、设计方法应用
2、系统设计
构建共同Lyapunov函数：
ˆ2 ) T Pa V ( , y,
1 2 1 2 y 2 z2 2 2L
ˆ2 1 ( y ), 1 ( y ) LB1 y z2 其中：
25/34
四、设计方法应用
3、Matlab仿真
20/34
四、设计方法应用
1、悬挂减震系统模型
1 x2 x
b1 b32 3 b 2 b1 1 1 2 x1 x x1 x1 f (t ) ( x1 ) (t ) m m m m m
3.24
y x1
21/34
四、设计方法应用
1、悬挂减震系统模型
选取合适的坐标变换，将系统（3.24）变为如下形式：
（3.3）
y 1
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
,
2、系统描述和预备知识
控制目标是设计各子系统的输出反馈控制器，实现系统 （3.3）在任意切换律作用下的全局稳定。为此，我们需 要下面的假设：
g i , i 1, , n 的符号是已知的，存在已知的正常数 d i1 假设1： 和 d 满足 d i1 g i d i 2 , i 1, , n 。
系统参数如下：
b1 b2 1 1 , b 3 2 105 3 106
m 4
系统的切换时间为0.001秒
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四、设计方法应用
3、Matlab仿真
T T ˆ ˆ ( ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ), ( 0 )) ( 0 . 1 , 0 . 3 , 0 . 2 , 0 . 4 ) 1 2 1 2 初始条件为：
18/34
三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
3、主要设计过程
根据以上结果，我们可以构建共同Lyapunov函数， 依据切换系统理论，可以证明该系统在任意切换 律下是全局稳定的
19/34
三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
3、主要设计过程
到目前为止，整个设计过程就完成了。通过分析上 述闭环切换系统的输出反馈全局镇定过程，总结了 以下定理： 定理：根据假设1和2中，存在输出反馈控制器 （3.19）与正的常数 B1 , Bnk , k M 和 B j , j 2, , n 1 且 L 满足（3.22）和（3.23），使得闭环切换系 统（3.3），（3.6）和（3.19）是在任意切换律 作用下全局渐近稳定。
f k (0) 0
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
1、问题描述
因此，系统（3.1）变为如下的切换系统：
1 x2 x
2 x 1 f ( x1 ) f (t ) ( x1 ) 1 g ( x2 ) 1 (t ) （3.2） m m m
1、问题描述
汽车悬挂减震系统数学模型
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
1、问题描述
系统描述方程：
1 x2 x
2 x 1 1 1 f ( x1 ) g ( x2 ) u m m m
y x1
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
1、问题描述
假定仅位移 x1是可测量的，而 m 0 是一个未 知的常数。同时，我们只允许运用两种预先设定 的候选控制器:
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一、绪 论
• 2、切换系统概述
1）定义 切换系统：由一系列子系统以及协调这些子系 统之间切换的规则组成的混合系统 2）发展现状 (1)切换系统在任意切换策略下的稳定性。 (2)切换系统在一些受限类型切换信号下的稳定 性。 (3)镇定切换系统的切换信号的构造。
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一、绪 论
31/34
五、总结与展望
未来展望
我们研由于切换系统自身所具有的特性，使得它的研究变得 更为复杂，所以切换系统的研究将是一项长期而艰巨的任务。 随着计算机技术的飞速发展和控制论的研究越来越深入，为 切换系统的研究发展提供了坚实的理论基础和广阔的发展背 景。随着切换系统在实际工程中的广泛应用，其理论研究价
• 2、输出反馈概述
1）定义 输出反馈：系统的输出变量通过比例环节传送 到输入端去的反馈方式 2）发展现状
输出变量容易直接测量得到，而且在大多数况 下具有明确的物理意义，所以输出反馈是一种 在技上易于实现的常用的反馈方式 。主要分为 两种方式：静态输出反馈和动态输出反馈
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一、绪 论
• 3、本文的主要研究方向
四、设计方法应用
3、Matlab仿真
T T ˆ ˆ ( ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ), ( 0 )) ( 0 . 4 , 0 . 5 , 0 . 6 , 0 . 3 ) 1 2 1 2 初始条件为：
10 0 -10 -20 -30
0.4 0.6 0.5
states
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四、设计方法应用
3、结 论
上述仿真结果表现出闭环系统（3.25）-（3.27）的渐近稳定 性。该仿真结果验证了本文提出的设计方法。
30/34
五、总结与展望
本文总结
（1）研究了一类非线性切换系统的输出反馈全局稳定问题 （2）基于反推法和共同Lyapunov函数方法，给出了一种构造 性的设计方法来设计各子系统的输出反馈控制器 （3）将该设计方法应用于汽车悬挂减震系统
y x1
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
2、系统描述和预备知识
一类具有未知控制非线性切换系统：
g i i i 1 i ( t ) ( , u ( t ) , ),1 i n 1
g u i n ( t ) i ( t ) ( , u ( t ) , )
三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
3、主要设计过程
在状态观测器（3.6）的基础上，为系统（3.5）设 计如下输出反馈控制器：
ˆ1 , , x ˆn ) LBnkzn L an x ˆ1 uk nk ( y, x
n n 1
n 1 ˆ j , k M （3.19） x ˆj j 1 x
-40 -50 -60 -70
states
0.3 0.2
0.1
0
-80 -90
-0.1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
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0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
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四、设计方法应用
3、Matlab仿真
T T ˆ ˆ ( ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ), ( 0 )) ( 0 . 4 , 0 . 3 , 0 . 5 , 0 . 4 ) 1 2 1 2 初始条件为：
32/34
值将会得到更大的提高，研究空间将进一步扩大。
致
谢
谢谢各位老师参加 我的论文答辩，谢谢大家！
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i2
假设2：存在着一个非递减的平滑函数 ( ) 0 ，和一个已 知的正常数 c ，使得对于所有的 k M , 0 ：
1k ( , uk , ) c 1 ,
i 1 n i 1
ik ( , uk , ) ( ) i 1 i
i 1
n
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一类非线性切换系统的输出反馈 控制及其应用
作 者 姓 名：陈徐达 指 导 教 师：龙离军 老师 班 级：自动化1003班
目 录
• • • • • 一、绪论 二、基本原理 三、一类非线性切换系统的输出反馈控制 四、设计方法应用 五、总结与展望
一、绪 论
• 1、非线性系统概述
1）定义 非线性系统：系统的数学模型是用非线性 方程所表示的系统 2）发展现状 早 期：相平面法,描述函数法,绝对稳定性理论, 李亚普诺夫稳定性理论 。 近 代：微分几何方法,微分代数方法,变结构控 制方法,反推设计法。
j 2
n
（3.5）
y gx1
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
3、主要设计过程
对于系统3.5我们设计了以下状态观测器：
ˆi x ˆi 1 Li ai x ˆ1,1 i n 1 x
（3.6）
ˆi u (t ) Ln an x ˆi x
17/34
25 20 15 10 5 0 -5 -10
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1
states
states
0
0.02
0.04
0.06
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0.1
0.12
0.14
0
0.02
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0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
2、系统描述和预备知识
对系统（3.3）进行坐标变换得：
n xi 1 n n (t ) ( gx1 , x2 g j , , xn , u (t ) , ),1 i n 1 x
j 2 n
n u (t ) n n (t ) ( gx1 , x2 g j , , xn , u (t ) , ) x
1 2
b1 b32 3 b 2 b1 2 (t ) 1 3 1 2 f (t ) ( 1 ), k 1,2 m m m m
（3.25）
1 y 1 m
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四、设计方法应用
2、系统设计
对于系统（3.25）设计如下观测器：
ˆ1 ˆ2 2 L ˆ1
1） 利用共同Lyapunov函数方法及反推法，开发了一种构 造性的设计方法来设计各子系统的输出反馈控制器， 实现相应闭环系统在任意切换律作用下的全局渐近稳 定 2） 将该方法应用于汽车悬挂减震系统，并给出仿真结果
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二、基本原理
• 1、反推设计方法
也称为反步法，回推法，反演法。反推设计法的 基本思想是将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶 数的子系统，然后为每个子系统设计部分Lyapunov函 数和中间虚拟控制量，一直“后退”到整个系统，将它 们集成起来完成整个控制律的设计。
ˆ 2 ( t ) L2 ˆ1
L 85 其中：
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四、设计方法应用
2、系统设计
设计如下输出反馈控制器：
ˆ2 L2 B1 B21 y L2 ˆ1 1 LB21
ˆ2 L2 B1 B22 y L2 ˆ1 2 LB22
4 4 B 5 , B 1 . 14 10 B 1 . 15 10 其中： 1 21 22
ຫໍສະໝຸດ Baidu
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二、基本原理
• 2、切换系统的稳定性分析方法
（1）共同Lyapunov函数方法 各子系统存在共同Lyapunov函数 （2）多Lyapunov函数方法 对每个子系统选定一个函数进行稳定性分析
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
1、问题描述
汽车悬挂减震系统示意图 9/34
三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
0.4 0.3
20 40
0.2 0.1
0 -20
states
-0.1 -0.2
states
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
0
-40 -60
-0.3 -0.4 -0.5
-80
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0.1
0.12
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四、设计方法应用
2、系统设计
构建共同Lyapunov函数：
ˆ2 ) T Pa V ( , y,
1 2 1 2 y 2 z2 2 2L
ˆ2 1 ( y ), 1 ( y ) LB1 y z2 其中：
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四、设计方法应用
3、Matlab仿真
20/34
四、设计方法应用
1、悬挂减震系统模型
1 x2 x
b1 b32 3 b 2 b1 1 1 2 x1 x x1 x1 f (t ) ( x1 ) (t ) m m m m m
3.24
y x1
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四、设计方法应用
1、悬挂减震系统模型
选取合适的坐标变换，将系统（3.24）变为如下形式：
（3.3）
y 1
14/34
三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
,
2、系统描述和预备知识
控制目标是设计各子系统的输出反馈控制器，实现系统 （3.3）在任意切换律作用下的全局稳定。为此，我们需 要下面的假设：
g i , i 1, , n 的符号是已知的，存在已知的正常数 d i1 假设1： 和 d 满足 d i1 g i d i 2 , i 1, , n 。
系统参数如下：
b1 b2 1 1 , b 3 2 105 3 106
m 4
系统的切换时间为0.001秒
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四、设计方法应用
3、Matlab仿真
T T ˆ ˆ ( ( 0 ), ( 0 ), ( 0 ), ( 0 )) ( 0 . 1 , 0 . 3 , 0 . 2 , 0 . 4 ) 1 2 1 2 初始条件为：
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
3、主要设计过程
根据以上结果，我们可以构建共同Lyapunov函数， 依据切换系统理论，可以证明该系统在任意切换 律下是全局稳定的
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三、一类非线性切换系统的输出反馈控制
3、主要设计过程
到目前为止，整个设计过程就完成了。通过分析上 述闭环切换系统的输出反馈全局镇定过程，总结了 以下定理： 定理：根据假设1和2中，存在输出反馈控制器 （3.19）与正的常数 B1 , Bnk , k M 和 B j , j 2, , n 1 且 L 满足（3.22）和（3.23），使得闭环切换系 统（3.3），（3.6）和（3.19）是在任意切换律 作用下全局渐近稳定。