线性代数高等代数知识点总结

| A* || A |n1
1 1 4、若A是n阶可逆矩阵，则 | A || A |
5、若A是n阶矩阵，i (i 1, 2,, n) 是A的n个特征值，则
| A | i
n
6、若A与B相似，则 | A || B |
i 1
行列式的计算（重点）
常用方法： 三角化法
展开降阶法（和消元相结合最为有效）
1 1 c 1 1
对单位矩阵做一次初等变换
对A做一次行变换 = 用相应的初等矩阵左乘以A 对A做一次列变换 = 用相应的初等矩阵右乘以A
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矩阵等价 •
A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB • 每个矩阵都行等价于唯一一个行最简形矩阵 • A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ Ir 0 • 每个秩数为r的矩阵都等价于 0 0 • 对于m×n矩阵A，B下列条件等价 1. AB，即A可由初等变换化成B 2. 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B 3. 秩A=秩B 4. A，B的标准型相同
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A 0 (非退化阵) Ax 0 只有零解 Ax b 有唯一解
A的行最简形为E. A为初等阵的乘积 r A n (满秩) A的行(列)向量组的秩都是n. A的行(列)向量组线性无关
任一n维向量 都可由行(列)向量组线性表示
多角度看可逆阵 n阶方阵A可逆 AB BA E
极大无关组与秩数：
1.1,...,rS是S的一个极大无关组当且仅当 ① 1,...,r线性无关 ② S的每个向量都可由1,...,r线性表示 2.秩S＝极大无关组中向量的个数 3.若秩S＝r,则任何r个无关的向量都是极大无关组 4.矩阵的秩数＝行向量组的秩数＝列向量组的秩数
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线性相关性的判别
一、行列式知识概述
一、知识结构框图
行列式
概念 性质 展开 计算 证|A|=0 应用
概念
不同行不同列的元素的乘积的代数和。 经转置行列式的值不变； 互换两行行列式变号；
性质
某行有公因子可提到行列式符号外； 拆成行列式的和； 消法变换。
D, 当i j, aki Akj D ij 0, 当i j; k 1
]6.对于任意矩阵 A, B.有 AB BA. ]7.若A, B都是n阶方阵, 则 AB BA. ]8.若A, B, C为同阶可逆方阵 , 则( ABC) 1 C 1 B 1 A1. ]9.若A, B, 为同阶可逆方阵 , 则( A B) 1 A1 B 1. ]10. A与B可交换的必要条件为 A, B是同阶方阵 .
矩阵
运算
行 列 式
初等变换
和标准形
特殊 矩阵
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转置 加法 数乘 乘法
取逆
伴随
(A+B)T=AT+BT
(kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A* (AB)*= B*A* (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1
转置
取逆 伴随
(AT)T=A
(AT) 1=(A1)T
与初始向量组等价
正交矩阵 定义：
若 n 阶方阵 A 满足 AA E，则称矩阵 A为 n阶正交矩阵 .
T
正交矩阵的性质：
若A, B为n阶 正 交 矩 阵 ， 则 有 ： (1) A A ;
T 1
( 2) A 1 或 1; ( 3) A 的 转 置 （ 即 A） , A 也是正交阵； (4) AB 也 为 正 交 阵 .
齐次线性方程组
有 a11 x1 a12 x2 a1m xm 0 1 , 2 , , m 非 a21 x1 a22 x2 a2 m xm 0 零 线性相关 (*) 解 an1 x1 an 2 x2 anm xm 0
r(A+B)≤r(A)+r(B) r(kA)=r(A) (k≠0) r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A), r(B) r(AT)=r(A) n, 若r(A)=n r(A*)= 1, 若r(A)=n1 0, 若r(A)<n1
若P, Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)
T 1 *
线性方程组
线性方程组的表示 • 方程式：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m2 2 m1 1
加边法
归纳法
化为已知行列式（一些有固定形式的行列 式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式 等）
本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算 与行列式定义、性质有关的问题 需利用行列式进行判定的问题 如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况 2、矩阵可逆性 3、向量组相关性（向量个数＝向量维数） 4、两个矩阵相似的必要条件 5、矩阵正定、半正定的必要条件
1.错（不满足消去律） 2对 3 错（不满足交换律） 4.错（不一定是方阵） 5.对 6 错 （同4） 7对 8对 9 错（不存在关于加法的公式，同理行列 式也不存在关于加法的公式） 10对
向量
线性相关
线性无关 线性表示
线性关系
等价百度文库
极大无关组 秩数
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线性表示：
• 列向量组1,...,r可由1,...,s线性表示当且仅当 有矩阵C使得(1,...,r)=(1,...,s)C. 进一步，C的 第k列恰为k的表示系数 • 线性表示有传递性 • 被表示者的秩数≤表示者的秩数
n
0 0
4.与分块矩阵相联系的准三角行列式
Am * O Bn AB Am O * Bn
;
O Bn
Am *
(1)
mn
A B
* Bn
Am O
.
三、有关行列式的几个重要公式
n | kA | k | A| 1、若A是n阶矩阵，则
2、若A,B是n阶矩阵，则 | AB || A || B | 3、若A是n阶矩阵，则
向量组等价：
对于向量组S，T，下列条件等价 1. S和T等价，即S,T可以互相表示 2. S,T的极大无关组等价 3. S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
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线性相关与线性表示：
• 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性 表示 • 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则 可由1,...,r线性表示,且表法唯一
A的特征值均不为零 ATA为正定阵.
方阵A与E 相似 A = E
P AP E
1
A正定 i >0 p=n A=PTP k>0
判断题 : [ [ [ [ [
[ [ [ [ [
]1.若A2 , 则A . ]2.若A, B为同阶矩阵, 则( A B)T AT BT . ]3.若A, B为n阶方阵, 则( A B)( A B) A2 B 2 . ]4.若矩阵A, B有 AB 0, 则 A 0或 B 0 . ]5.若A, B均为n阶方阵, 若 AB 0, 则 A 0或 B 0 .
1
一个极大无关组
原向量组一个极大无关组
r
第一等价链
r( A) n（满秩） A 0
A可逆（非奇异、非退化 ）
A的n个行（列）向量线性无 关
齐次线性方程组 非齐次线性方程组 AX b有 唯 一 解 AX o只 有 零 解
第二等价链
r ( A) n（不满秩） A 0
A不可逆（奇异、退化）
A的n个行（列）向量线性相 关
齐次线性方程组 AX o有 非 零 解
1， 2， ， m为正交向量组
1， 2， ， m为线性无关向量组 1， 2， ， m为线性无关向量组

Schmidt 正交化、单位化
单位正交向量组 : 1，2， ，m
证|A|=0
AX=0有非零解； 反证法； R(A)<n; A可逆； |A|= - |A|； A的列向量组线性相关； 0是A的特征值；
应用
AX=0有非零解； 伴随矩阵求逆法； 克拉姆法则; A可逆的证明； 线性相关(无关)的判定； 特征值计算。
二、特殊行列式的值
1.三角行列式
a11 a22 0 ann * * a11 a22 ann 0 a11a22 ann
线性无关：对于向量组1,...,r下列条件等价 • 1,...,r线性无关
• • • • 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 1,...,r的秩数等于r (1,...,r)是列满秩矩阵
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通 俗 记 忆
“大”向量组被“小”向量组表出，“大”向量组 线性相关.
“线性无关”的向量组只可能被“不小于”它的向 量组线性表出. 任何向量组只可能被“秩不小于它的秩”的向量组 线性表出.
“等价无关组”具有相同的“大、小”
求向量组秩、极大无关组，表示方式 将向量组按列排放 初等行变换 行阶梯 型矩阵 1 2 m
(A1) 1=A
(AT)*=(A*)T
(A1)*＝(A*)1 (A*)*=|A|n2A*
其它
A-1=|A|-1A*
AA*=A*A=|A|I 当A可逆时， A*＝|A|A1
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行列式
秩数
加法
数乘 乘法 转置 取逆
|kA|=kn|A| |AB|=|A||B| |AT|=|A| |A1|=|A|1 |A*|=|A|n1 定义 性质
n
展开
或
D, 当i j, aik Ajk D ij 0, 当i j. k 1
n
1, ij 其中， 0,
i j i j
数字 型
计算 抽象 型
三角化法； 重要行列式法； 加边法； 递推法。 用行列式性质； 用矩阵性质； 用特征值； 利用矩阵相似。
【热点】注意与矩阵的运算相联系的一些行列式 的计算及其证明.
判定方程 特别当向量组的 “向量个数＝向量维数” 时，则有： , , , 0 “ ” 向 量 组 线 性 无 关 ;
1 2 n
1 , 2 , , n 0 “ ” 向 量 组 线 性 相 关 .
当向量维数<向量个数”时，则有向量组必线性相关.
“短”向量组无关必有“长”向量组无关 “长”向量组相关必有“短”向量组相关 向量组“部分相关”必有“整体相关” 向量组“整体无关”必有“部分无关”
A11 A12 A1 r A2 r Arr A1 r 1 A2 r 1 Arr 1 A22 A1 m A2 m Arm
2
r
i
1
i
2

i
r
i , i ,, i
0 a2( n1) an1
a1n *
* a2( n1) an1
a1n (1) 0
n ( n 1) 2
a1n a2( n1) an1
2.范氏行列式
1 x1 x12 x1n 1
1 x2
2 x2
1 x3
2 x3

1 xn
2 xn

n 1 x2


n i j 1

( xi x j )
n 1 n 1 x3 xn
3.箭式行列式
x1 a2 a3 an b2 x2 0 0 b3 0 x3 0 bn 0 0 xn ak bk x1 k 2 xk b2 b3 bn x2
n
ak bk n ( x1 ) xk 0 x3 0 k 2 xk k 2 0 0 xn
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伴随
其它
初等变换
行变换
换法变换
1 0 1 1 0 1
列变换
倍法变换
1 1 c 1 1
消法变换