一道课本练习题的10种解法

一道课本练习题的10种解法

题目：已知a ，b ，c ，d 都是实数，且2

2

1a b +=，2

2

1c d +=，求证：1ac bd +≤ 此题是新课程（北师大版）选修1-2第64页的一道练习题，在求证这一道练习题时，如果我们就题论题，将会失去一次很好的开拓思维，培养探究能力，激发学习兴趣的机会。下面将从10种不同的角度对此题进行探讨。 一、常规的解题方法 证法1：分析法

要证明：1ac bd +≤，只需证明：22

2

2

21a c b d abcd ++≤，

只需证明：22

2

2

2

22a c b d abcd a b ++≤+，即证：2222(1)(1)20a c b d abcd -+-+≤， 即2

2

2220a d b c abcd --+≤，即证：2()0ad bc --≤，此结论显然成立， 这样，就证明了1ac bd +≤。 证法2：反证法

假设1ac bd +>，平方得：22

2

2

21a c b d abcd ++>，以下证明过程如证法1，不在赘述。 评注：分析法，反证法是证明数学问题的常规方法，这两种证法可以帮助学生夯实基本知识

和基本技能。 二、构造法

根据题目的结构特点，我们可以构造多种数学模型解题。 证法3：三角换元

令cos a α=，sin b α=，cos c β=，sin d β=

所以cos cos sin sin cos()1ac bd αβββαβ+=+=-≤ 证法4：构造点到直线的距离公式

1=

，1=。如图1， 构造直线：0ax by +=，则(,)c d

，

≤1ac bd +≤。

证法5：构造向量

令(,)m a b =，(,)n c d =，则1m =，1n =，

所以cos ,m n ac bd m n m n =+=，即cos ,1ac bd m n +=≤ 证法6：构造余弦定理

如图2：设(,)A a b ，(,)B c d ,

则1OA =

=

，

1OB ==

，AB =当O,A,B 不在一条直线上时，由余弦定理得：

222

2cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠

即22()22cos ac bd AOB -+=-∠，又0AOB π<∠<，所以

11ac bd -<+<

当O,A,B 在一条直线上时，易得1ac bd +=± 综上知：1ac bd +≤ 证法7：构造几何图形

要证1ac bd +≤

，即证ac bd +≤

，所以不

妨令,,,a b c d 为正值，构造如图3直角梯形，

ΔAED ΔABE ΔDCE ABCD S =S -S -S 梯形

所以

111()()222AED a d b c ab cd ∠=++--即sin 1AED ac bd ∠=+≤故原不等式成立

证法7、构造复数

令1z a bi =+，2z c di =-

又1212z z z z =

1=

=，

即222()()()1ac bd ac bd ad bc +≤++-=，所以1ac bd +≤ 证法8：构造柯西不等式

柯西不等式：22

222

2

212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b ++

+++

≥++

222221()()()a b c d ac bd =++≥+

所以1ac bd +≤

评注：利用所学数学知识构造数学模型解题，即复习旧知，又拓宽了思维。

三、“1”的妙用 证法9、作差法

222222

11()()1()()()0

22222

a b c d a c b d ac bd ac bd ac bd ++-+--+=+-+=+-+=≥

a b

c

d

B

C

D

E A

图3

即1ac bd +≤

同理得：22

()()1()02

a c

b d a

c b

d +++++=

≥，即1ac bd -≤+，所以1ac bd +≤ 证法10：放缩法

2222222222222221()()()()()a b c d a c a d b c b d ac bd ad bc ac bd =++=+++=++-≥+

所以1ac bd +≤

评注：“1”灵活运用，可以使问题简化 ，同时还能激发学生的学习兴趣。

其实，这10种解法大部分为笔者在教学中学生提供的解法。我想：如果学生在平时学习的过程中，多从教材的例题、习题、练习题、及公式推导过程等发散思维， 这对学生的学习兴趣的提高，创新能力的培养都有很多的益处。一句话，以后学习时别小瞧了课本练习题。