相似三角形复习课

1.相似三角形的定义：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2.相似比：
相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
△ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么 1
△A/B/C/与△ABC的相似比为____2_____.
3.相似三角形的判定方法
预备定理: ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC. 判定定理1,2,3.
m 6
=
n ,所以5m=6n 5
所以
m n
=
6 5
4、 (1)已知 x：(x+1)=(1—x)：3，求x。
(2)若
2x x
+
3y y
=
(3)
若
a+b b
=
6 5
1 ，求
2
a
，求 b
y x
， a-b
b
。
.
5
1
x 3
y 7
z 9
,则
x 3x
2 已知，x y : 4
yz y 4z
__-_14__, x
y y
A
1
Hale Waihona Puke B FDE CG
(3).如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和△ABC相似, 则需添加一个条件:__∠__A__C_P_=__∠__B_;____或__∠__A__P_C_=_∠__A__C_B__; ____
或AP:AC=AC:AB即AC2=AP·AB。
A
P
B
C
2.画一画:
如图,在△ABC和△DEF中, ∠A=∠D=700, ∠B=500,
∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线 b ,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三
角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标 注数据)
A
a
700
300
500
B
C
A
700
200
500
B
a C
Db
700
300
300
F
E
b D
700
200
300
F
E
例1 如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点， ED交CB的延长线于F。
相似三角形的传递性.
A
D
E
E
D
A
B
C
B
△1 ∽ △2 △2 ∽ △3或△2 ≌ △3
C
△1 ∽ △3
二.知识应用:
1.找一找:
(1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 ___3__对三角形相似.
(2) 如图2,已知:△ABC中, ∠ACB=Rt∠ ,CD⊥ AB于 D,DE⊥BC于E,则图中共有___4__个三角形和△ABC
z
y : 3,则 x2
2xy 3 y2 x2 y2
7
_1_9____ .
11 __5_____ .
6 已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个 数，写出一个比例式。
比例中项：
当两个比例内项相等时，即
a b=
b c
，(或
a：b=b：c)，
那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
即： b 2 = ac
· E O
B
C
(5)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD
交于点E,且AC平分∠BAD,则图中共有___6__对三
角形相似. △AED∽△BEC
△AEB∽△DEC △ABC∽△BEC △ABC∽△AED △CED∽△CDA
D A
43 1
E·
2O
△BEA∽△CDA
B
C
5.练一练:
1.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示 的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写 出一对相似三角形(不全等)______________.
2 3，2 3两数的比例中项是 ___1_ .两线段(2
比例中项是 _1_c__m.
3)cm, (2
3)cm的
黄金分割：A
C
B
把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较长线段（AC）是
原线段（AB）与较短线段（BC）的比例中项，就叫做把这条
线段黄金分割。
即：AC2 AB BC, AC
51 2 AB
C是线段AB的黄金分割点，较长线段AC 2 5 1 ,则AB _4___ .
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
A PE N
所以
AE
PN =
AD
BC
B Q DM C
因此
80–x =
x
，得 x=48（毫米）。答：-------。
80
120
10.（10分）(探究创新题)一块直角三角形木板的一条直角 边AB长为1.5 m,面积为1.5 m2,工人师傅要把它加工成一个 面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方 案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2.
P
AC
D
B
挑战自我
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点 分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。
相似.
A
D
E
A
D
B
C
F
如图(1)
CE
B
如图(2)
(3)如图3，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 _____4___.
A
D1 E
2
B3 如图(3) C
(4)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD
交于点E,则图中共有__2___对三角形相似.
A
D
△AED∽△BEC △AEB∽△DEC
2、下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4
3、已知
m 6
=
n 5
,求
m n
的值.
解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：
m6 n=5
方法(2)因为
求证：BD·CF=CD·DF
证明：∵CD⊥AB， E为AC的中点
C
∴ DE=AE
∴∠EDA=∠A
E
∵ ∠EDA=∠FDB
∴∠A=∠FDB
∵∠ACB= Rt ∠
A
D
∴ ∠A=∠FCD
∴ ∠FDB=∠FCD
∵ △FDB∽△FCD
∴ BD：CD=DF：CF
∴ BD·CF=CD·DF
B F
4.想一想:
如图,点C,D在线段AB上, △PCD是等边三角形. (1)当AC,CD,DB满足什么关系时, △ACP∽ △PBD. (2)当△ACP∽ △PBD时,求∠APB的度数.
一、比例线段.
若 四条线段 a、b、c、d 中，如果 a = c
（或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、b c 、d d
叫做成比例的线段，简称比例线段.
其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项， 线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项，
比例的性质：
a
b
=
c
d
ad =bc;
1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d= 6