强非线性系统动力学分析

根据 I(a)的表达表达式知其性质 ：在区间（0, ）有唯一正实根 a a*,当a1 a *时
I (a1) 0(既I1 Vnds 0);当a2 a *时，I (a2) 0(既I 2 Vnds 0).
s1
s2
从而由上述的引理得方程在平面内存在唯一极限 环，且为稳定极限环，该极限环的轨迹是：
极限环对于非线性动力学系统的意义：
对强非线性动力系统进行定性和定量分析的一个重要方面是研究其极限环 及其稳定性。就数学物理意义来讲， 极限环表示一孤立周期解。若这种周期解 在受到扰动后又趋向原来的周期解( 该极限环为稳定) ，若这种周期解在受到扰 动后消失( 该极限环为不稳定或半稳定) 。
对强非线性动力系统：
引理：如果平面上由两个单闭曲线s1 与s2 组成的
环域G 内无方程的奇点, 而且沿s1与s2的轨线流量为
则G 内至少存在一个稳定极限环，反之, 则至少存在一个不稳定极 限环.
将上片中新的坐标变换代入2式，经积分计算 I(a)=
令为h（a）
在区间（0，,）大于0.所以h(a)在（0，）区间内存在唯一正实根a a*, 可计算a* 1.5185,而且当a1 a *时，h(a1) 0;当a2 a *时，h(a2) 0.
对该系统运用传统的方法解不出极限环，但数值显示该方程存在极限环 ，新型的椭圆函数法也非常复杂，而且最终也无法对极限环的稳定性进行判 断。
下面运用轨线流量法分析该强非线性系统。
将系统改写成：
或
其中：
1
2
引入：
3
4
该方程的轨线穿过闭曲线E( x ,y ) = C 的流量为（引入积分因子）
引入新的坐标最后可以算出流量：
代入a*,整理：
N（实线）为数值解，A（虚线）为上述方程曲线， 即该方法得到的最后解析结果，两解是一致的。
参考文献：孙峪怀Fra Baidu bibliotek 马岷兴《一类强非线性系统的稳定极限环》 Copple V A, Rank R H. 《Averaging elliptic function
approx imation of limit cycle. Acta Mech》（所提到的椭圆平均法的采 用者，提供了数值解参考）