麦克斯韦分子速率分布定律(-28)

v～v+dv内的分子数dN与总分子数N的比值，也表示
分子在速率v～v+dv区间内的概率。
dN
说明：①在不同的v附近取相等的间隔dv， 值是不同的；
N一般的
dN
即 N 与v有关，它与v的一定函数成正比。
②在给定的v附近，若dv增加，则分布在该区间内的
分子数dN及 dN 也是增加的。若dv足够小，总可以
分布在任一速率区间v～v+dv内的分子的比率为：
dN f (v)dv 4 (
m
3
)2
mv2
e 2kT
v 2 dv
N
2 kT
f (v) dN 4 (
m
) e v 3
mv2
2
2kT
2
Ndv
2k T
式中: T为气体的温度， m为分子的质量，k为 玻耳兹曼常量
f (v) f (vp )
面积= dNv/N
N
认为 dN dv 。
N
总之有：dN f (v)dv
N
f (v) dN ～速率分布函数
Ndv
～分布在速率v附近单位速率间隔内的分子数与总分
子数的比率。对处在一定温度下的气体，其仅为速率
v的函数。
其物理意义：气体分子在速率v附近单位速率间隔的概 率，也叫做概率密度。
任一有限速率区间内的分 子数占总分子数的比率：
2 kT 2 2
v 8kT 8RT 1.60 RT
m M
M
3)方均根速率 vrms v2： ～大量气体分子速率平方的平均值的平方根。
v2dN v2Nf (v)dv
v2 0
0
f (v)v2dv 4 (
m
3
)2
e
mv2 2kT
v
4
dv
N
N
0
2 kT 0
vrms
v2
3kT m
分子的方均根速率 root mean square speed
～对给定气体来说，当其T恒定时，vrms 也是恒定。
•气体分子以各种大小的速度沿各个方向运动着，由 于这种碰撞使得每个分子的速度大小和方向时刻不 停地发生变化。
• 在某一特定时刻去考察某一特定分子，其速度的大 小、方向完全是偶然的。
•表明：从大量分子整体看来，在一定条件下，处于热 平衡状态的气体的速度遵从一定统计分布规律的。
令 df (v) 0
dv
vp
2kT m
2kNAT mN A
2RT 1.41 RT
M
M
2）平均速率 v
～一定量气体的分子数为N，则所有分子速率的算
术平均值。
v N1v1 N2v2 Nivi
i
Nivi
i
Nivi
N1 N2 Ni
Ni
N
i
式中：Ni(i=1,2,3…)具有速率vi(i=1,2,3…)
N v2 f (v)dv
N
v1
∵ 全部分子N分布在0～∞速率范围内，
即上式中，令 v1 0, v2 , N N
0 f (v)dv 1 ～速率分布函数的归一化条件
作业：P267 问题 7-7
2.麦克斯韦气体分子速率分布定律
～1859年麦克斯韦首先从理论上导出
在平衡状态下，分子间的相互作用力可忽略不计时，
量分子作热运动的统计规律。
0
讨论 分布曲线随 m ,T 变化
①m一定, T
vp
2kT m
曲线峰值右移，总面积不变，曲线变平坦
② T 一定,
m
vp
2kT m
～曲线峰值左移，总面积
不变，曲线变尖锐。
练习1: 若SA SB , 则
下列答案中正确的是：
① v0 v
② v0 v p
③ v0 v2
实验表明:在实验条件不变的情况下，分布在给定 速率区间内的相对分子数则是完全确定的。
二、麦克斯韦气体分子速率分布定律
1. 速率分布函数
～为了定量地描述气体分子按速率分布的规律，引 入速率分布函数概念。 设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N，其中 速率在v～v+dv区间内的分子数为dN
dN/N为N个气体分子中，在速率v附近处于速率区间
f(v)
1）最概然速率 vp
在 f (v) v的关系曲线中
，f (v)与的极大值相对应的
速率叫做最概然速率，也称 O 为最可几速率。
vp
v
vp 的物理意义是：如把气体分子的速率分成许多相 等速率间隔，则气体在一定温度下分布在最概然速 率 vp 附近单位速率间隔内的相对分子数最多。即， 分子分布在 vp 附近的概率最大。
1
④
N 0 — v0
用dN代表气体分子速率在 v v dv 区间内的分子
数，则
v
vdN
0
vNf (v)dv
0
f (v)vdv 4 (
m
3
)2
e
mv2 2kT
v3dv
N
N
0
2 kT 0
令 m
2kT
利用积分式：
e x2
0
x3dx
1
2 2
v 4 (
m
3
)2
ev2 v3dv 4 (
m
3
)2
1
2 kT 0
麦克斯韦 概率理论 气体分子按速率 经典统计 玻耳兹曼
1859年
分布的统计定律 力学 1877年
1920年施持恩
1934年我国物理
(O.Stern,1888-1969) 实验 学家葛正权实验
一、测定气体分子速率分布的实验
圆盘B与C：速率选择器
实验指出，当圆盘以不同的 角速度转动时，从屏上可测 量出每次所沉积的金属层的 厚度，各次沉积的厚度对应 于不同速率区间内的分子数 比较这些厚度的比率，就可 以知道在分子射线中，不同 速率区间内的分子数与总分 子数之比（概率）。
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
重点：麦克斯韦气体分子速率分布律、三种统计速率
• N个理想气体分子，当气体处于温度为T的平衡态时
宏观： n N , p , T 有确定值 V
微观：各分子不停运动且频繁碰撞，
v 不断变化，无规运动
分子的平均 1 平动动能为：2
mv2
3 2
kT
vrms
v2
3kT m
3RT 1.73 M
RT M
～与平均平动动能与温度关系式所得相同
kt
1 2
mv2
3 2
kT
பைடு நூலகம்vrms
v2
3kT m
结论：
①气体的三种速率均与 T成正比，与 m (或 M ) 成反比；
f(v)
② v2 v vp
计算平动能 研究碰撞 讨论分布
～以上三种速率都具有统
O vpv v2
v
计平均的意义，都反映了大 g(v) g(v) f (v)dv
～麦克斯韦速率分布定律。
v
f (v) v 图线，图中的矩形面 0
v p vv dv
积，表示在速率区间 v v dv 的相对分子数，或分
子处于此速率区间的概率。
•曲线下的总面积表示速率分布在由零到无限大整 个区间内的全部相对分子数的总和；麦克斯韦气体 分子速率分布定律是气体动理论的基本规律之一。
三、三种统计速率