二项分布及其应用

第4讲二项分布及其应用
A 组
一、选择题
1．某人投篮一次投进的概率为
3
2
，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数ξ服从参数为（6，3
2
）的二项分布，记为ξ～)32,6(B ，计
算 ==)2(ξP （ ） A.
24320 B. 2438 C. 7294
D. 27
4
【答案】A 【解析】
由题意得，根据二项分布概率的计算可得==)2(ξP 224
62220
()(1)33243
C -=
，故选A ． 2．已知离散型随机变量X 服从二项分布X ～(,)B n p 且()12,()4E X D X ==，则n 与p 的值分别为 A ．218,
3 B ．118,3 C ．212,3 D ．112,3
【答案】A
【解析】
由二项分布的数学期望和方差公式可得⎩⎨⎧=-=4
)1(12p np np ,解之得32
,18==p n ,故应选
A.
3．随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ ，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ） A ．
23 B ．1
3
C ．1
D ．0 【答案】B 【解析】
由题意可得()300
1200
E np D np p ξξ==⎧⎪⎨=-=⎪⎩，解得1900,3n p ==，故选B.
4．若随机变量
，且()3E X =，则()1P X =的值是（ ）
A ．4
20.4⨯ B ．5
20.4⨯ C ．4
30.4⨯ D ．4
30.6⨯ 【答案】C
【解析】
由题意().063E X n ==，5n =，1
445(1)0.60.430.4P X C ==⨯⨯=⨯．故选C ．
5．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ） A.
3
2
B. 31
C. 1
D. 0
【答案】B
【解析】
由,200,300==ξξD E 可知()1300,12003
np np p p =-=∴= 6．已知随机变量X 服从二项分布1(6,)3
X B ，则(2)P X ==（ ） A ．
316 B ．4243 C ．13243 D ．80243
【答案】D 【解析】
由题意得，随机变量X
服从二项分布1(6,)3
X B ，则
22
461180(2)(
)(1)3
3243
P X C ==-=，故选D ． 二、填空题
7．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4
5
,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是 . （请用分数表示结果） 【答案】608
625
【解析】
由对立事件可知所求概率为0
41
3
014
44444608
1115555625P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
8．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：
请小王同学计算ξ的数学期望，尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同．据此，小王给出了正确答案E ξ=________． 【答案】2
【解析】
设!,?x y ==，则21x y +=，()42222E x y x y ξ=+=+=． 9．设随机变量2~(10,)5
B ξ,则D ξ= . 【答案】
125
【解析】：∵随机变量ξ服从二项分布，且2
~(10,)5B ξ，∴D ξ=10×
25×（1-25
）=
125,故答案为：12
5
三、解答题
10．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：
（Ⅰ）求a 的值和ξ的数学期望；
（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率． 【解析】
（1）由概率分布的性质有0.10.321a a +++=，解得0.2a =， ∴ξ的概率分布为
∴00.110.320.430.2 1.7E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.
（2）设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每月均被投诉1次”，则由事件的独立性得
1
12()(2)(0)20.40.10.08P A C P P ξξ====⨯⨯=，
222()[(1)]0.30.09P A P ξ====，
∴12()()()0.080.090.17P A P A P A =+=+=，
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
11．某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者
（Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望． 【解析】
（Ⅰ）设“选手甲进入复赛”为事件A ，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：
或选手甲答了4个题，前3个2对1或选手甲答了5
个题，前4个2对2，
∴
（Ⅱ）X的可能取值为3，，，对应X的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率
∴
12．甲、乙两人破译一密码，它们能破译的概率分别为1
3
和
1
4
，试求：
(1)两人都能破译的概率；
(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能破译的概率；
(5)若要使破译的概率为99%，至少需要多少乙这样的人？
【解析】
设事件A为“甲能译出”，事件B为“乙能译出”，则A、B相互独立，从而A与B、A 与B、A与B均相互独立．
(1)“两人都能译出”为事件AB，则
P(AB)＝P(A)P(B)＝1
3
×
1
4
＝
1
12
.
(2)“两人都不能译出”为事件A B，则
P(A B)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝
1
1
3
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
1
1
4
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＝
1
2
.
(3)“恰有一人能译出”为事件A B＋A B，又A B与A B互斥，则P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)
＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝1
3
×
1
1
4
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＋
1
1
3
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
×
1
4
＝
5
12
.
(4)“至多一人能译出”为事件A B＋A B＋A B，且A B、A B、A B互斥，故P(A B＋A B＋A B)
＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝1
3
×
1
1
4
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＋
1
1
3
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
×
1
4
＋
1
1
3
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
×
1
1
4
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
＝
11
12
.
(5)设至少需n个乙这样的人，而n个乙这样的人译不出的概率为
1
1
4
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
n，故n个乙
这样的人能译出的概率为1－
1
1
4
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
n≈99%.
解得n＝16.
故至少需16个乙这样的人，才能使译出的概率为99%.
13．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(1)求p；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率．
【解析】
解:记A i表示事件：电流能通过T i，i＝1,2,3,4.A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流．B表示事件：电流能在M与N之间通过．
(1) A＝A1·A2·A3，A1，A2，A3相互独立，
P(A)＝P(A1·A2·A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)
＝(1－p)3，又P(A)＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，
故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.
(2)B＝A4＋(A4·A1·A3)∪(A4·A1·A2·A3)
P(B)＝P(A4)＋P(A4·A1·A3＋A4·A1·A2·A3)，
＝P(A4)＋P(A4)P(A1)P(A3)＋P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)
＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9
＝0.9891.
14．生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
（1）试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率； （2）生产一件元件A ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B ，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在（1）的前提下； （1）求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率；
（2）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【解析】
（1）由题可知 元件A 为正品的概率为 1403284
1005
P ++==，
元件B 为正品的概率为2402963
1004
P ++=
=。

2分
（2）（1）设生产的5件元件中正品件数为x ，则有次品5x -件，由题意知
10020(5)300x x --≥得到4,5x =，设“生产5件元件B 所获得的利润不少于300
元”为事件C ，则4
455
553
1381()()()444128
P C C C =⨯
+=。

（2）随机变量X 的所有取值为150,90,30，-30， 则433(150)545P X ==
⨯=，133(90)5420P X ==⨯=
，411
(30)545P X ==⨯=， 111
(30)5420
P X =-=⨯=
，所以X 的分布列为：
()E X 3311
150903030108520520
=⨯+⨯
+⨯-⨯= 15．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝
1a 2a 3a 4a 5a ，其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为1
3
，
出现1的概率为2
3
.记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，
(1)求X ＝3的概率； (2)求X 的分布列．
【解析】
(1)已知a 1＝1，要使X ＝3，只需后四位中出现2个1和2个0.
∴P(X ＝3)＝C 42
23⎛⎫ ⎪⎝⎭213⎛⎫ ⎪⎝⎭
2＝
827
. (2)令Y ＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5，∴Y ＝0,1,2,3,4. 易知Y ～B 24,
3⎛⎫
⎪⎝⎭
，X ＝Y ＋1， ∴X 的可能取值为1,2,3,4,5. P(X ＝1)＝P(Y ＝0)＝C 40
23⎛⎫ ⎪⎝⎭013⎛⎫ ⎪⎝⎭4＝
181. P(X ＝2)＝P(Y ＝1)＝C 41
23⎛⎫ ⎪⎝⎭113⎛⎫ ⎪⎝⎭3＝
881. P(X ＝3)＝P(Y ＝2)＝C 42
23⎛⎫ ⎪⎝⎭213⎛⎫ ⎪⎝⎭2＝
827. P(X ＝4)＝P(Y ＝3)＝C 43
23⎛⎫ ⎪⎝⎭313⎛⎫ ⎪⎝⎭
1＝
3281
. P(X ＝5)＝P(Y ＝4)＝C 44
23⎛⎫ ⎪⎝⎭413⎛⎫ ⎪⎝⎭
0＝16
81. ∴X 的分布列为
B 组
一、选择题
1．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==
，则p =（ ）
A ．
13 B ．23 C ．15 D ．2
5
【答案】A 【解析】
由题意得，根据二项分布的期望与方差的公式可知：
()()30,(1)20E X np D X np p ===-=，解得13
p =，故选A.
2．已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班车至少有2天准时到站的概率为（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
此班车正好有2天准时到站的概率为=．
此班车3天都准时到站的概率为
=
，
故他在3天乘车中，此班车至少有2天准时到站的概率为 +=，
故选C ．
3．在高三的一个班中，有
1
4
的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生数ξ～B(5，1
4
)，则P(ξ＝k)取最大值的k 值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】B
【解析】依题意，5k C (
34)5－k (14)k ≥15k C -(34)5－(k －1)·(14)k －1且5k
C (34
)5－k (14)k ≥15k C +(34)5－(k ＋1)(14)k ＋1
，解得12≤k≤32
，∴k ＝1，故选B ． 4．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()
P A B ，()
P B A 分别是（ ）
A.
6091，12 B.12，6091 C.518，6091 D.91216，1
2
【答案】A
【解析】
由题意得事件A 的个数为654120⨯⨯=，事件B 的个数为3
3
6591-=，在B 发生的
条件下A 发生的个数为123560C A =，在A 发生的条件下B 发生的个数为12
3560C A =，
所以()
6091p A B =
，()601
1202
P B A =
=.故正确答案为A. 5．若随机变量1~62X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，则(3)P X =等于（ ）
A ．
516 B ．316 C ．58
D ．716 【答案】A 【解析】
：∵随机变量X ～B （6，
12），∴P （X=k ）=6611()()22k k k C -=6
61()2
k C ， ∴P （x=3）=36
61
()2
C =
5
16。

6．某人射击一次击中目标的概率为0．6，经过3次射击，设X 表示击中目标的次数，则(2)P X ≥等于（ ） A ．
81125 B ．54125 C ．36125 D ．27125
【答案】A 【解析】
至少有两次击中目标的对立事件是最多击中一次，有两类情况：一次都没击中、击中一次。

一次都没击中：概率为（1-0．6）^3=0．064；击中一次：概率为C3,1 ⨯0．6 ⨯ （1-0．6）^2=0．288．
所以最多击中一次的概率为0．064+0．288=0．352，所以至少有两次击中目标的概率为1-0．352=0．648．
7．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0．9，0．9，0．8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ） A ．0．998 B ．0．046 C ．0．002 D ．0．954 【答案】D 【解析】
设A k 表示“第k 架武装直升机命中目标”．k=1，2，3．
这里A 1，A 2，A 3独立，且P （A 1）=0．9，P （A 2）=0．9，P （A 3）=0．8． ①恰有两人命中目标的概率为 P （ A 1•A 2• 3A +A 1•2A •A 3+1A •A 2•A 3
=P （A 1）P （A 2）P （3A ）+P （A 1）P （2A ）P （A 3）+P （1A ）P （A 2）P （A 3）
=0．9×0．9×0．1+0．9×0．1×0．8+0．1×0．9×0．8=0．306 ②三架直升机都命中的概率为：0．9×0．9×0．8=0．648 ∴目标被摧毁的概率为：P=0．306+0．648=0．954． 二、填空题
8．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________________. 【答案】625
96
【解析】
由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有2
615C =种结果，
两个球的号码之积是4的倍数，共有(1,4)，(3,4)，(2,4)，(2,6)，(4,5)，(4,6)，
∴摸一次中奖的概率是
1565
2
=，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次发生的概率是52，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是625
9653)52(33
4=⨯⨯C .
9．投掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验
中，成功次数X 的期望是________． 【答案】
509
【解析】在一次试验中成功的概率为1－
46×46＝59
，
∵X ～B 510,9⎛⎫ ⎪⎝⎭
，∴E(X)＝np ＝10×
59＝509
. 10．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”，即五局中先胜三局为赢，若每场比赛甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是1
3
，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为________． 【答案】
8
27
【解析】甲三胜一负即前3次中有2次胜1次负，而第4次胜， ∴P ＝C 32
23⎛⎫ ⎪⎝⎭2·13⎛⎫ ⎪⎝⎭
·
23＝827
， ∴甲三胜一负而结束的概率为
827
. 11．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________． 【答案】0.24 0.96
【解析】每个人是否达标是相互独立的，“三人中至少有一人达标”的对立事件为“三人均未达标”，设三人都达标为事件A ，三人中至少有一人达标为事件B ，则P(A)＝0.8×0.6×0.5＝0.24，P(B)＝1－0.2×0.4×0.5＝0.96. 12．有一道数学难题，在半小时内甲能解决的概率是
12，乙能解决的概率为1
3
，两人试图独立地在半小时解决，则两人都未解决的概率为________． 【答案】
1
3
【解析】都未解决的概率为112⎛⎫- ⎪⎝⎭×113⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝13.
三、解答题
13．甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示(01)p <<：
若三人各射击一次，恰有k 名选手击中目标的概率记为()0123k P P X k k ===，，，，． （1）求X 的分布列；
（2）若击中目标人数的均值是2，求P 的值． 【解析】
（1）201(1)2P p =-；2
21
1111(1)2(1)2222P P p p p =-+-=-+·， 2221112(1)222P p p p p p =-+=-+··，2
3
12
P p =，。