二项分布及其应用

第4讲二项分布及其应用

A 组

一、选择题

1．某人投篮一次投进的概率为

3

2

，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数ξ服从参数为（6，3

2

）的二项分布，记为ξ～)32,6(B ，计

算 ==)2(ξP （ ） A.

24320 B. 2438 C. 7294

D. 27

4

【答案】A 【解析】

由题意得，根据二项分布概率的计算可得==)2(ξP 224

62220

()(1)33243

C -=

，故选A ． 2．已知离散型随机变量X 服从二项分布X ～(,)B n p 且()12,()4E X D X ==，则n 与p 的值分别为 A ．218,

3 B ．118,3 C ．212,3 D ．112,3

【答案】A

【解析】

由二项分布的数学期望和方差公式可得⎩⎨⎧=-=4

)1(12p np np ,解之得32

,18==p n ,故应选

A.

3．随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ ，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ） A ．

23 B ．1

3

C ．1

D ．0 【答案】B 【解析】

由题意可得()300

1200

E np D np p ξξ==⎧⎪⎨=-=⎪⎩，解得1900,3n p ==，故选B.

4．若随机变量

，且()3E X =，则()1P X =的值是（ ）

A ．4

20.4⨯ B ．5

20.4⨯ C ．4

30.4⨯ D ．4

30.6⨯ 【答案】C

【解析】

由题意().063E X n ==，5n =，1

445(1)0.60.430.4P X C ==⨯⨯=⨯．故选C ．

5．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ） A.

3

2

B. 31

C. 1

D. 0

【答案】B

【解析】

由,200,300==ξξD E 可知()1300,12003

np np p p =-=∴= 6．已知随机变量X 服从二项分布1(6,)3

X B ，则(2)P X ==（ ） A ．

316 B ．4243 C ．13243 D ．80243

【答案】D 【解析】

由题意得，随机变量X

服从二项分布1(6,)3

X B ，则

22

461180(2)(

)(1)3

3243

P X C ==-=，故选D ． 二、填空题

7．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4

5

,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是 . （请用分数表示结果） 【答案】608

625

【解析】

由对立事件可知所求概率为0

41

3

014

44444608

1115555625P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

8．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：

请小王同学计算ξ的数学期望，尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同．据此，小王给出了正确答案E ξ=________． 【答案】2

【解析】

设!,?x y ==，则21x y +=，()42222E x y x y ξ=+=+=． 9．设随机变量2~(10,)5

B ξ,则D ξ= . 【答案】

125

【解析】：∵随机变量ξ服从二项分布，且2

~(10,)5B ξ，∴D ξ=10×

25×（1-25

）=

125,故答案为：12

5

三、解答题

10．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：

（Ⅰ）求a 的值和ξ的数学期望；

（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率． 【解析】

（1）由概率分布的性质有0.10.321a a +++=，解得0.2a =， ∴ξ的概率分布为

∴00.110.320.430.2 1.7E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.

（2）设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每月均被投诉1次”，则由事件的独立性得

1

12()(2)(0)20.40.10.08P A C P P ξξ====⨯⨯=，

222()[(1)]0.30.09P A P ξ====，

∴12()()()0.080.090.17P A P A P A =+=+=，

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.

11．某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者

（Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；

（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望． 【解析】

（Ⅰ）设“选手甲进入复赛”为事件A ，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：

或选手甲答了4个题，前3个2对1或选手甲答了5