微分代数方程理论

I 0 PAQ 0 N ,
C 0 PBQ 0 I ，
这里 N 是 k 幂零阵， I 是单位阵。 N 0 ，则 k 1 。 上述变换应用到原方程，得
y1 'Cy1 f 1 Ny 2 ' y 2 f 2
第一个方程是 ODE，且对于任何初始值 y1 和任何连续函数 f 1 ，解存在。将第二个方程写成
线性变系数 DAE 线性变系数 DAE 的一般形式为
A(t ) x' (t ) B(t ) x(t ) f (t )
定义在区间 I 上。 它有许多特性在常系数方程中未出现， 而在非线性方程中却存在着， 所以， 变系数 DAE 是认识一般 DAE 的重要方程。而线性情形可用来帮助作出分析，如正则束的 问题。 假设 A, B 为 m m 阶矩阵，一个线性变系数 DAE 称为在区间 I 上是可解的，如果对每 一个 m 次可微函数 f ，至少存在一个满足其解的连续可微的解。这个解定义于整个 I 上且 由 I 中任意 t 的值唯一确定。 若一个线性变系数 DAE 在 I 上是可解的，为了确定 x' 作为 x ， t 的唯一的连续函数所 需的最少微分次数称为这个 DAE 的指标。
因 det(A B ) 1 。然而它是不可解的，因为解不能被初值唯一确定。这个例子也因为对
于所有的 f 解不存在而不可解，因为 f 必须满足 ( 1 t ) f ' 0 ，才有可能存在一个光滑
T
解。 对于线性常系数 DAE，指标有几个等价的定义。但对于变系数 DAE，就不是这样了。 如果一个线性变系数 DAE 是正则的，则在 t 的局部指标，称为 A(t ) B (t ) 的指标， 记为 l (t ) 。 我们已经知道，确定一个系统的指标，要通过下列过程： 利用坐标变换，重新整理 DAE，得出显式代数约束；然后对代数约束微分，直至系统 被降低指标，化为显式 ODE。 对于线性变系数系统来说，这个过程要求导数项系数矩阵，即 A(t ) 的秩为常数，如果 这个过程能够进行，重复次数仍是指标。然而有些可解系统，指标完全是确定的，但降指标 过程却无法执行。这是可能的，因为并不要求系数矩阵 A 的秩为常数，也不要求零空间的 基底是光滑的。看一个例子。 设 (t ) 任意次可微， t 0 ，则 (t ) 0 ； t 0 ， (t ) 0 。设 (t ) 也是一任意次可微的 函数， t 0 时， (t ) 0 ， t 0 时， (t ) 0 ，则
系数矩阵中的幂零阵的幂零数 k 1 ，而这个 DAE 的指标 k 。再看下例，
1 Hale Waihona Puke Baidu0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 x' x f ， 1 0
系数矩阵中的幂零阵的幂零数 k 2 ，而这个 DAE 的指标 k 。由此可得， 假设 Ax' Bx f 是指标大于等于 1 的可解的常系数 DAE，那么，解出其显式约束和对其 求微分是一个迭代过程。每一次迭代降低一次指标， 次微分后，DAE 被降低指标成为一 个 ODE。进一步来说，DAE 的指标 ，是幂零阵 N 的幂零数。 显然，用降低指标的方法导出的解只有某些是原 DAE 的解。
( ND I ) y 2 f 2 ，
这里 D
d k ，而 ( ND ) 0 ，于是 dt y 2 ( ND I ) 1 f 2 (1) i N i f 2
i 0 k 1 (i )
，
这里 f 2
(i )

d i f2
dt i
。我们得到了原 DAE 的解的表达式。需要注意以下几个关键点：
f1 0 x ' x 0 f 2
1 0 0 x1 0 0 1 x1 f 1 0 1 0 x 2 1 0 0 x 2 f 2 ， 0 0 0 x 0 1 0 x f 3 3 3
它是一个指标为 2 的可解的线性常系数 DAE，特别， Ax' Bx f 是可解的。 第二个例子： 设
t t 2 A 1 t ,
那么， x(t ) (t )t
T
1 0 B 0 1 I，
1 对于任何纯量函数 (t ) ，满足 Ax' Bx 0 。该 DAE 是正则的，
2 m 1
中连通的开子集， F 是从Ω到 R 的可微函数。那么称
m
m
一个 DAE F (t , y, y ' ) 0 （ t R, y R ）于 中 I 上可解的，若存在一个定义在连通开 集 I ， R 上的 r 维解族 (t , c) ，使得：
r
~
~
1． 对于每个 c ， (t , c) 定义在整个区间 I 上； 2． 对于 (t , c) I ， ( t ,
（1） 当原系统是一个高指标 DAE 系统时，其解要涉及到函数 f 的 k 1 阶导数； （2）
k 1 时，并不是所有的初始条件被允许获得一个光滑解。允许获得光滑解的初始条
件称为相容性初始条件；
（3） 高指标 DAE 可以含有隐藏着的代数约束。 我们举例说明最后一点，考虑下列半显式 DAE，
微分代数方程理论
微分代数方程理(DAEs)已被指明在许多科学与工程问题的数学模型中扮演着重要的角 色。这些科学与工程问题包含如多体力学，工程控制论，电力设计，化学反应系统，生物学 及生态学，生物医学等等。DAE 和 ODE 在几个关键方面是不同的，历史上对于 DAE 的理 解已经由简单逐渐演变到了更一般的情形。特别地，像指标（index）和可解性（solvability） 等关键概念日趋成熟。为更好地理解 DAE 和 ODE 之间的差异，我们考虑从常系数 DAE 开 始的一系列逐渐一般化的系统。首先考察两个重要概念，即，可解性和指标。 可解性定义（solvability） ： 设 I 是 R 中的开区间， 是 R
若 g y 非奇异，那么第二个方程组是一个隐式 ODE，此时我们说原 DAE 方程，即第一个方 程组的指标为 1。否则，假设通过代数运算和坐标变换，第二个方程组又写成了第一个方程 组的形式，再对约束方程求导数，若出现一个隐式 ODE，那么称原方程指标为 2，若新方 程不是隐式 ODE，则再重复这个过程。整个过程所需微分的次数就是指标。一般来说，指 标是把一个 DAE 化为 ODE 时，对方程全部或部分关于 t 求导的最少次数。 这里要说明的是我们并不把这种一系列的求导和坐标变换作为一般求解过程，但在理 解一个数值方法的性态时，所需的微分次数是一个重要的方面。 如果 DAE 的指标为 ，那么它的解仍然满足某个 ODE 的解，当然，并不是 ODE 的所 有解都是原 DAE 的解。然而，这个 ODE 在理论上和某些一般数值求解过程中是有用的。 指标的概念起初被称为全局指标。那么根据此定义，一个隐式 ODE 的指标为零。指标 为 0 和 1 的 DAE 一般比指标为 2 或更高的 DAE 要容易理解得多。我们常常把指标大于 1 的 DAE 叫做高指标系统。 以下，我们按线性常系数 DAE；线性变系数 DAE；以及非线性 DAE 分类讨论 DAE 系 统的理论。 线性常系数 DAE 对线性常系数 DAE 的研究已进行了许多年，特别是在电子工程和控制论文献中有记载。 考虑线性常系数 DAE
1 t A(t ) 0 0 ,
0 0 B(t ) 1 t ，
那么 A(t ) B (t ) 对所有 ， t 都是奇异的，所以 Ax' Bx f 不是一个正则的 DAE 。令
t 1 x 1 0 y ，则 Ax' Bx f 成为 0 1 1 0 0 0 y ' y f ， 0 1
( An hB n ) x n An x n 1 hf n
给定 x n 1 ，为唯一确定 x n ，对一个小 h ， A(t n ) hB (t n ) 需非奇异。因此，对每个 t I ，
A(t ) B(t ) 是正则的，称这样的方程为 I 上的正则 DAE。
对于线性常系数 DAE 来说，可解性和正则是等价的。但对变系数 DAE，这两个概念是 相互独立的。看下面 2 个例子。 第一个例子： 设
~
~
( t , c ), ' ( t , c ))
；
3． 若 (t ) 是 (t , (t ), ' (t )) 的一个任意其它解，那么，存在某个 c ，成立
~
(t ) (t , c) ；
4． 作为 (t , c) 的函数， 的图是一 r 1 维流形。 我们给出几个注解： 首先，DAE 和 ODE 的不同之处在于方程 F (t , y, y ' ) 0 中含有代数约束，迫使我们必须在 某乘积空间的一个线性或非线性流形上寻找方程的解；其次，作为 DAE 的解 y ，实际上隐 含 y 的某个部分比其余部分更可微，余下部分仅仅连续而已，一般我们只假设 y 是充分光 滑的； 此定义说的是存在局部的 r 维解族， 在任意时间 t 0 I ， 初始条件形成了一个 r 维 流形 (t 0 , c) ，并且 r 与 t 0 无关。这些解是在这个流形上（或等价地说 c 上）的初始条件的 连续函数。由于对所有 t I 解存在，且（3）成立，就不存在分支解。 指标的定义（index） ：
x1 ' x 3 f 1 x 2 ' x1 f 2 ， x f 3 2
第三个方程为一个显式的代数约束，然而这个系统只有一个解：
x1 f 2 f 3 ' x2 f 3 ， x f f ' f 1 2 3 3
因为在原方程中隐含着另外两个约束。我们可以把原方程写成
先考虑一个半显式 DAE 的特殊情况，
x ' f ( x, y , t ) 0 g ( x, y , t )
若对第二个约束方程的两边关于 t 求一次导数，得
x ' f ( x, y , t ) g x ( x, y, t ) x' g y ( x, y, t ) y ' g t ( x, y, t )
Ax' Bx f
这里 A, B 为 m m 矩阵。若 是一复参数，那么称 A B 为一矩阵束。若假设 x Qy ， 并左承 P 于上述方程， P, Q 为 m m 非奇异矩阵，方程变为
PAQy ' PBQy Pf 。
新的矩阵束为 PAQ PBQ 。原方程的解由新矩阵束的标准形决定。然而，在实际中这种
形式用得很少。我们用一种较弱的形式。 对于一般 DAE 而言，要获得用来确定其可解的判别条件是困难的。但对于线性常系数 DAE 来说，有一个较好的描述。首先，若行列式 A B 作为 的函数不恒为 0，那么称这 个矩阵束是正则的。那么，线性常系数 DAE 可解的充要条件为 A B 是正则的。 假设 A B 是一正则束，则存在非奇异矩阵 P, Q ，使得
如果在点 t 0 用常数步长的隐式 Euler 方法解方程，设 t n t 0 nh ， x n 为 x(t n ) 的近似 值， c n c(t n ) 。当 c f ， A ， B ，将隐式 Euler 法应用于上述方程，得
An
或
x n x n 1 Bn x n f n h