(1)多元函数微分学复习课PPT课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多元函数微分学复习课
一、内容提要 二、典型例题
首页
返回
下页
结束
典型例题
例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形.
(1 )zy x 2 ln (2 x y );
(2 )z ln (y x )4 x 2 y 2 .
解 (1) D { ( x ,y ) |y x 2 0 ,2 x y 0 }
z y
2 xy z2 1
y2z22x(z2(1z)221x)y2(2zzy)
2x(z2(z12)21)83x2y2z
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例6 求曲线 x2y2z26, xyz0 在点(2, 1, 1)处的切线 及法平面方程.
解 令Fx2y2z26, Gxyz, 则切向量
i jk
i jk
T Fx Fy Fz
y
xy2
y x2
O
x
首页
上页
返回
下页
结束
典型例题
例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形.
(1 )zy x 2 ln (2 x y ); (2 )z ln (y x )4 x 2 y 2 . 解 (2) D { ( x ,y ) |y 0 ,y x 0 , 4 x 2 y 2 0 }
z2y21dxz22xy1dy
y2z22x(z2(1z)221x)y2(2zzy)
2x(z2(z12)21)83x2y2z
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例5
z33z3xy21,Hale Waihona Puke Baidu求 d z
和
2
y
z
2
.
解2 方程两边求微分得
3 z2 d z 3 d z 3 y 2 d x 6 x y d y dzz2y 21dxz22xy1dy
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例5
z33z3xy21, 求 d z
和
2
y
z
2
.
解1 设 F (x ,y ,z ) z 3 3 z 3 x y 2 1 ,则
Fx 3y2, Fy 6xy, Fz 3z23
z Fx x Fz
z
y
2
2
1
,
z y
Fy Fz
2 xy z2 1
dz
z x
dxz y
dy
n ( 2 x ,4 y ,2 z )( a ,b ,c ) ( 2 a ,4 b ,2 c )
已知平面法向量 n 1(1 , 1 ,2).由题设 n // n1, 得
2a 4b 2c , a 2 b ,c 4 b 1 1 2
代入椭球面方程, 求得 b 2 2 . 切平面方程为 22
( x 2 b ) ( y b ) 2 ( z 4 b ) 0
e
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例9 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积. 解1 设长方体的三棱长为x, y, z, 则
2xy2yz2xza2
V xyz xy(a2 2xy) (x,y0) 2(x y)
Vx y2(a22(x2xy2)24xy), Vy x2(a22(x2yy2)24xy)
4 2 2 (0,6,6)
Gx Gy Gz (2,1,1) 1 1 1
所求切线方程为
x2y1z1 0 6 6
法平面方程为 6(y1)6(z1)0, 即 yz0.
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例7 求椭球面 x22y2z21 上平行于平面 xy2z 0 的 切平面方程.
解 设所求切点为(a, b, c), 法向量
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求 2 z . xy
解 记 u12x3y, u2 x2 y, u xy 2
x zfu 1 u x1fu 2 u x2gu u x2f1 2xyf2 y2g
2z xy
2
f1 y
2xf2
2xy
f2 y
2yg y2 g y
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例3 求函数 z(x2的y)偏xy导数. 解 令 u x 2 y ,v x y ,则 z u v
zzuzv x u x v x vuv 11uvlnuy y ( x 2 y ) x y 1 [ x ( x 2 y ) l n ( x 2 y ) ] z zuzv y u y v y vuv 12uvlnux x ( x 2 y ) x y 1 [ 2 y ( x 2 y ) l n ( x 2 y ) ]
y
x y O
x2 y2 4 x
首页
上页
返回
下页
结束
例2
f(x,y)x2(y1)arctan
y, 求 x
fx (2,1).
解1 fx(x,y)2x(y1)11y( xy)x x
2x(y1) x 1 xy 2
xy(xy)x
2x(y1) x 1 xy 2
x y(xy2)
fx(2,1)4
解2 f (x,1) x2, fx(x,1)(x2)x2x, fx(2,1)4.
令
V V
x y
0 0,
得唯一驻点 x
y
6 a, 此处V 取最大值 6
Vmax
6 36
a3
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例9 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积. 解2 设长方体的三棱长为x, y, z, 则问题就是求函数Vxyz 在条件2(xyyzxz)a2下的最大值.
作拉格朗日函数 F(x, y, z)xyz(2xy2yz2xza2),
A
f xx
, x
B fxy 2y,
Cfyy2(1x)
在点 (1,1) 处, ACB240, f (1, 1) 不是极值；
在点 (1,1) 处, ACB240, f (1, 1) 不是极值；
在点 ( 1 , 0 ) 处, ACB22(e1)0, 且 Ae 0,
e
所以 f (1, 0) 1为极小值.
e
即
x y 2 z 1 1 b 0
代入 b 的值, 得 xy2z 220 2
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例8 求函数 f(x, y) x ln x (1 x)y2 的极值.
解
令
fx ln x1 y2 0 fy 2(1x)y 0
得驻点 (1, 1), (1, 1), ( 1 , 0 )
e
1
2[f11uy1
f12
u2] y
2
xf
2
2xy[f21uy1f22 uy2]
2 yg y 2 ( g u ) y
2[3f11x2f12] 2 xf2 2xy[3f2 1 x2f2 2 ] 2 yg 2 xy3g
6f1 1 (2 x2 6 xy)f1 2 2 xf2 2x3yf22 2 yg 2 xy3g
F x ( x , y , z ) y 2 ( z y z ) 0 解方程组 F F z y ( ( x x , , y y , , z z ) ) x x 2 2 ( ( y z x y z x ) ) 0 0 ,
一、内容提要 二、典型例题
首页
返回
下页
结束
典型例题
例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形.
(1 )zy x 2 ln (2 x y );
(2 )z ln (y x )4 x 2 y 2 .
解 (1) D { ( x ,y ) |y x 2 0 ,2 x y 0 }
z y
2 xy z2 1
y2z22x(z2(1z)221x)y2(2zzy)
2x(z2(z12)21)83x2y2z
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例6 求曲线 x2y2z26, xyz0 在点(2, 1, 1)处的切线 及法平面方程.
解 令Fx2y2z26, Gxyz, 则切向量
i jk
i jk
T Fx Fy Fz
y
xy2
y x2
O
x
首页
上页
返回
下页
结束
典型例题
例1 求下列函数的定义域, 并画出定义域的图形.
(1 )zy x 2 ln (2 x y ); (2 )z ln (y x )4 x 2 y 2 . 解 (2) D { ( x ,y ) |y 0 ,y x 0 , 4 x 2 y 2 0 }
z2y21dxz22xy1dy
y2z22x(z2(1z)221x)y2(2zzy)
2x(z2(z12)21)83x2y2z
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例5
z33z3xy21,Hale Waihona Puke Baidu求 d z
和
2
y
z
2
.
解2 方程两边求微分得
3 z2 d z 3 d z 3 y 2 d x 6 x y d y dzz2y 21dxz22xy1dy
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例5
z33z3xy21, 求 d z
和
2
y
z
2
.
解1 设 F (x ,y ,z ) z 3 3 z 3 x y 2 1 ,则
Fx 3y2, Fy 6xy, Fz 3z23
z Fx x Fz
z
y
2
2
1
,
z y
Fy Fz
2 xy z2 1
dz
z x
dxz y
dy
n ( 2 x ,4 y ,2 z )( a ,b ,c ) ( 2 a ,4 b ,2 c )
已知平面法向量 n 1(1 , 1 ,2).由题设 n // n1, 得
2a 4b 2c , a 2 b ,c 4 b 1 1 2
代入椭球面方程, 求得 b 2 2 . 切平面方程为 22
( x 2 b ) ( y b ) 2 ( z 4 b ) 0
e
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例9 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积. 解1 设长方体的三棱长为x, y, z, 则
2xy2yz2xza2
V xyz xy(a2 2xy) (x,y0) 2(x y)
Vx y2(a22(x2xy2)24xy), Vy x2(a22(x2yy2)24xy)
4 2 2 (0,6,6)
Gx Gy Gz (2,1,1) 1 1 1
所求切线方程为
x2y1z1 0 6 6
法平面方程为 6(y1)6(z1)0, 即 yz0.
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例7 求椭球面 x22y2z21 上平行于平面 xy2z 0 的 切平面方程.
解 设所求切点为(a, b, c), 法向量
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例4 设 zf(2x3y, x2y)g(xy2), 求 2 z . xy
解 记 u12x3y, u2 x2 y, u xy 2
x zfu 1 u x1fu 2 u x2gu u x2f1 2xyf2 y2g
2z xy
2
f1 y
2xf2
2xy
f2 y
2yg y2 g y
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例3 求函数 z(x2的y)偏xy导数. 解 令 u x 2 y ,v x y ,则 z u v
zzuzv x u x v x vuv 11uvlnuy y ( x 2 y ) x y 1 [ x ( x 2 y ) l n ( x 2 y ) ] z zuzv y u y v y vuv 12uvlnux x ( x 2 y ) x y 1 [ 2 y ( x 2 y ) l n ( x 2 y ) ]
y
x y O
x2 y2 4 x
首页
上页
返回
下页
结束
例2
f(x,y)x2(y1)arctan
y, 求 x
fx (2,1).
解1 fx(x,y)2x(y1)11y( xy)x x
2x(y1) x 1 xy 2
xy(xy)x
2x(y1) x 1 xy 2
x y(xy2)
fx(2,1)4
解2 f (x,1) x2, fx(x,1)(x2)x2x, fx(2,1)4.
令
V V
x y
0 0,
得唯一驻点 x
y
6 a, 此处V 取最大值 6
Vmax
6 36
a3
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例9 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积. 解2 设长方体的三棱长为x, y, z, 则问题就是求函数Vxyz 在条件2(xyyzxz)a2下的最大值.
作拉格朗日函数 F(x, y, z)xyz(2xy2yz2xza2),
A
f xx
, x
B fxy 2y,
Cfyy2(1x)
在点 (1,1) 处, ACB240, f (1, 1) 不是极值；
在点 (1,1) 处, ACB240, f (1, 1) 不是极值；
在点 ( 1 , 0 ) 处, ACB22(e1)0, 且 Ae 0,
e
所以 f (1, 0) 1为极小值.
e
即
x y 2 z 1 1 b 0
代入 b 的值, 得 xy2z 220 2
首页
上页
返回
下页
结束
知识点
例8 求函数 f(x, y) x ln x (1 x)y2 的极值.
解
令
fx ln x1 y2 0 fy 2(1x)y 0
得驻点 (1, 1), (1, 1), ( 1 , 0 )
e
1
2[f11uy1
f12
u2] y
2
xf
2
2xy[f21uy1f22 uy2]
2 yg y 2 ( g u ) y
2[3f11x2f12] 2 xf2 2xy[3f2 1 x2f2 2 ] 2 yg 2 xy3g
6f1 1 (2 x2 6 xy)f1 2 2 xf2 2x3yf22 2 yg 2 xy3g
F x ( x , y , z ) y 2 ( z y z ) 0 解方程组 F F z y ( ( x x , , y y , , z z ) ) x x 2 2 ( ( y z x y z x ) ) 0 0 ,