第五章图像编码(2)
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值直接编码。那么，对误差编码果真可以压缩数据率
吗？下面先定性地分析一下其可能性。
xi
ei
s(n) s(n)
ei
编码
译码
xi
xi
xi
Baidu Nhomakorabea
1 2 3
n
x1 x 2 x3
xn
n
3 2 1
xn
x3 x 2 x1
（a）
(b)
图5—21 预测编码原理
假如直接对样值 x 编码，那么正如前面谈到的那样， 代码平均长度有一个下限 N min ，这个下限就是信 源的熵 H(X) ，即
(5—43)
将式(5—38)代入，则
E[(xi xˆi )2] j
E[(xi (1x1 2x2 nxn))2] j
2E[(xi (1x1 2x2 nxn))xj ]
(5—44)
为求极小值可令式(5—44)等于0，即
E [ ( x i (1 x 1 2 x 2 n x n ) ) x j] 0
0 2E[x0 2x0x 0]
将 x 0 1 x 1 2 x 2 n x n
(5—48) (5—49)
代入式(5—49)，并引入协方差之定义，则
0 2 R 0 0 (1 R 0 12 R 0 2 n R 0 n ) (5—50)
式中 R 00 是原序列X的方差。由式(5—50)可见，
令式中 j 1 ,2 ,3 , ,n ;i 0 则
R01 1R11 2R22nRn1 R02 1R12 2R22nRn2
R0n 1R1n 2R2nnRnn
(5—47)
这是一个n阶线性联立方程组，当协方差 R ij 都已
知时，那么各个预测参数 i 是可以解出来的。
另外，由上面的讨论可知，如果 xi 是 x i 的最佳
或
E[(xi xi )xj ]0 j 1, 2, 3, , n
(5—45)
因为信号x是平稳的随机过程，并且均值为零，
所以可将任意两个像素的协方差定义为 R ij
Rij E[xixj]
(5—46)
展开式（5—45）得
E [ x ix j 1 x 1 x j 2 x 2 x j a n x n x j] 0
数字图像处理
第5章 图像编码（2）
阮秋琦教授
5.5 预测编码
在20世纪40年代，Weiner提出了最佳线性预 测理论，1952年Oliver 和Harrison 等人认识 到了线性预测在通信中的作用，并建议把它用 于降低冗余度。多年来，人们在大量的试验的 基础上成功地试制了多种设备。在我国，70年 代就已经研制了采用预测编码的可视电话设备。
5.7.1 预测编码的基本原理
预测编码的基本原理如图5—21所示。假设有一个平
均值为零，均方根值为 的平稳信号 X(t) 在时 刻 t1,t2,,tn 被取样，而且其相应的样值
为 x1,x2,x3,,xn 。
编码原理图中，xi 是下一个样值。根据前面出现 的n个样值，可以得到 xi 的预测值 。
关键一步在于预测系数 i 的求解。预测误差信
号是一个随机变量，它的均方误差为
2 i
。
i2E [(xi x i)2] (5—42)
这里E[ ]表示数学期望。通常把均方误差最小的预
测称为最佳预测。通过最小均方误差准则可求解预
测系数，即
E[(xi xi )2 ] 0 j
j 1, 2, 3, , n
相邻像素间差值信号分布密度曲线
在第二章关于图像信号性质的讨论中可知， 帧内像素相关系数在0.85左右，帧间相关系 数在0.95左右。由此可见，图像像素间的相 关性是很大的，其压缩潜力也是很大的。由 上面的定性分析可知，预测编码是可以压缩 码率的。
一般情况，使用线性预测器，预测值与前面的n个
已出现样值的关系如式(5—38)所示。线性预测的
预测编码法是一种设备简单质量较佳的高效编码 法。预测编码方法主要有二种。一种是(Delta modulation)或DM编码法，另一种是DPCM (Differential Pulse Code Modulation)编码法。 本节主要介绍这两种方法的原理及其在图像编码 中的应用。
5.5.1 预测编码的基本原理 5.5.2 △Ｍ（DM）编码 5.5.3 DPCM编码
线性估计值，则
E[(xi xi )xj ]0 j 1, 2, 3, , n
而其均方误差为
i2 E[(xi xˆi )2]
E[(xi xˆi )(xi xˆi )] E[(xi xˆi )xi (xi xˆi )xˆi ] E[(xi xˆi )xi ]E[(xi xˆi )xˆi ]
N m iH n (X ) p ( i)lo p ( i)g (5—40)
同样道理，如果对误差信号进行编码，那么，它也应 该有一个下限，设为 H(E) 。显然，预测编码可以压 缩数码率的条件是
H (E )H (X )
(5—41)
熵是概率分布的函数，分布越均匀熵越大。熵值 大，则其平均码长之下限必然会加大，码率就会 增高。反之，分布越集中熵值越小，而其平均码 长之下限就会越短，码率就会降低。
如果预测比较准确，那么误差就会集中于不 大的数值内，从而使 H(E) 小于 H(X) 。由于 图像信号中样值的高度相关性，使得相邻样 值之间的差别总是十分微小的，所以其差值 分布十分集中。预测前后的概率分布情况如 图5—22所示。
样值
差值
0
图5—22预测前后的概率密度分布示意图 （a）为图像信号概率密度分布 （b）为差值信号概率密度分布
E[(xi xˆi )xi ]E[(xi xˆi )(1x1 2x2 nxn)] E[(xi xˆi )xi ]E[1(xi xˆi )x1] E[2(xi xˆi )x2]
E[n(xi xˆi )xn] E[(xi xˆi )xi ]
由此可得 i2E[x(i xˆi)xi] 当 i 0 时，则
x i 1 x 1 2 x 2 3 x 3 n x n
(5—38)
式中 x1,x2,x3, ,xn 是 x i
n个样值。 1 , 2, 3 , , n
是预测参数。设 e i 为 x i 与 xi
的误差值，则
的前 之间
ei xi xi
(5—39)
预测编码就是要对误差 e i 进行编码，而不是对样
吗？下面先定性地分析一下其可能性。
xi
ei
s(n) s(n)
ei
编码
译码
xi
xi
xi
Baidu Nhomakorabea
1 2 3
n
x1 x 2 x3
xn
n
3 2 1
xn
x3 x 2 x1
（a）
(b)
图5—21 预测编码原理
假如直接对样值 x 编码，那么正如前面谈到的那样， 代码平均长度有一个下限 N min ，这个下限就是信 源的熵 H(X) ，即
(5—43)
将式(5—38)代入，则
E[(xi xˆi )2] j
E[(xi (1x1 2x2 nxn))2] j
2E[(xi (1x1 2x2 nxn))xj ]
(5—44)
为求极小值可令式(5—44)等于0，即
E [ ( x i (1 x 1 2 x 2 n x n ) ) x j] 0
0 2E[x0 2x0x 0]
将 x 0 1 x 1 2 x 2 n x n
(5—48) (5—49)
代入式(5—49)，并引入协方差之定义，则
0 2 R 0 0 (1 R 0 12 R 0 2 n R 0 n ) (5—50)
式中 R 00 是原序列X的方差。由式(5—50)可见，
令式中 j 1 ,2 ,3 , ,n ;i 0 则
R01 1R11 2R22nRn1 R02 1R12 2R22nRn2
R0n 1R1n 2R2nnRnn
(5—47)
这是一个n阶线性联立方程组，当协方差 R ij 都已
知时，那么各个预测参数 i 是可以解出来的。
另外，由上面的讨论可知，如果 xi 是 x i 的最佳
或
E[(xi xi )xj ]0 j 1, 2, 3, , n
(5—45)
因为信号x是平稳的随机过程，并且均值为零，
所以可将任意两个像素的协方差定义为 R ij
Rij E[xixj]
(5—46)
展开式（5—45）得
E [ x ix j 1 x 1 x j 2 x 2 x j a n x n x j] 0
数字图像处理
第5章 图像编码（2）
阮秋琦教授
5.5 预测编码
在20世纪40年代，Weiner提出了最佳线性预 测理论，1952年Oliver 和Harrison 等人认识 到了线性预测在通信中的作用，并建议把它用 于降低冗余度。多年来，人们在大量的试验的 基础上成功地试制了多种设备。在我国，70年 代就已经研制了采用预测编码的可视电话设备。
5.7.1 预测编码的基本原理
预测编码的基本原理如图5—21所示。假设有一个平
均值为零，均方根值为 的平稳信号 X(t) 在时 刻 t1,t2,,tn 被取样，而且其相应的样值
为 x1,x2,x3,,xn 。
编码原理图中，xi 是下一个样值。根据前面出现 的n个样值，可以得到 xi 的预测值 。
关键一步在于预测系数 i 的求解。预测误差信
号是一个随机变量，它的均方误差为
2 i
。
i2E [(xi x i)2] (5—42)
这里E[ ]表示数学期望。通常把均方误差最小的预
测称为最佳预测。通过最小均方误差准则可求解预
测系数，即
E[(xi xi )2 ] 0 j
j 1, 2, 3, , n
相邻像素间差值信号分布密度曲线
在第二章关于图像信号性质的讨论中可知， 帧内像素相关系数在0.85左右，帧间相关系 数在0.95左右。由此可见，图像像素间的相 关性是很大的，其压缩潜力也是很大的。由 上面的定性分析可知，预测编码是可以压缩 码率的。
一般情况，使用线性预测器，预测值与前面的n个
已出现样值的关系如式(5—38)所示。线性预测的
预测编码法是一种设备简单质量较佳的高效编码 法。预测编码方法主要有二种。一种是(Delta modulation)或DM编码法，另一种是DPCM (Differential Pulse Code Modulation)编码法。 本节主要介绍这两种方法的原理及其在图像编码 中的应用。
5.5.1 预测编码的基本原理 5.5.2 △Ｍ（DM）编码 5.5.3 DPCM编码
线性估计值，则
E[(xi xi )xj ]0 j 1, 2, 3, , n
而其均方误差为
i2 E[(xi xˆi )2]
E[(xi xˆi )(xi xˆi )] E[(xi xˆi )xi (xi xˆi )xˆi ] E[(xi xˆi )xi ]E[(xi xˆi )xˆi ]
N m iH n (X ) p ( i)lo p ( i)g (5—40)
同样道理，如果对误差信号进行编码，那么，它也应 该有一个下限，设为 H(E) 。显然，预测编码可以压 缩数码率的条件是
H (E )H (X )
(5—41)
熵是概率分布的函数，分布越均匀熵越大。熵值 大，则其平均码长之下限必然会加大，码率就会 增高。反之，分布越集中熵值越小，而其平均码 长之下限就会越短，码率就会降低。
如果预测比较准确，那么误差就会集中于不 大的数值内，从而使 H(E) 小于 H(X) 。由于 图像信号中样值的高度相关性，使得相邻样 值之间的差别总是十分微小的，所以其差值 分布十分集中。预测前后的概率分布情况如 图5—22所示。
样值
差值
0
图5—22预测前后的概率密度分布示意图 （a）为图像信号概率密度分布 （b）为差值信号概率密度分布
E[(xi xˆi )xi ]E[(xi xˆi )(1x1 2x2 nxn)] E[(xi xˆi )xi ]E[1(xi xˆi )x1] E[2(xi xˆi )x2]
E[n(xi xˆi )xn] E[(xi xˆi )xi ]
由此可得 i2E[x(i xˆi)xi] 当 i 0 时，则
x i 1 x 1 2 x 2 3 x 3 n x n
(5—38)
式中 x1,x2,x3, ,xn 是 x i
n个样值。 1 , 2, 3 , , n
是预测参数。设 e i 为 x i 与 xi
的误差值，则
的前 之间
ei xi xi
(5—39)
预测编码就是要对误差 e i 进行编码，而不是对样