高二数学教案8.6抛物线的简单几何性质(一)

课题：8．6抛物线的简单几何性质（一）教学目的：

1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；

2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；

3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化

教学重点：抛物线的几何性质及其运用

教学难点：抛物线几何性质的运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占

本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一

对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要

研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p

本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3

教学过程：

一、复习引入：

1．抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程：

相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的

距离都等于一次项系数绝对值的

4

1

，即242p p =

不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为x （2）开口方向在X 轴（或

Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴

二、讲解新课： 抛物线的几何性质 1．范围

因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性

以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对

称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点． 4．离心率

抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1． 对于其它几种形式的方程，列表如下：

()

022>=p py

x

()0,0

y 轴

⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,0p 2

p

y -

= 1=e ()

022>-=p py

x

()0,0

y 轴

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-2,0p

2

p

y =

1=e

注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离

抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线

通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率

附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法） 假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋

n ，A （x ，y ）为抛物线上一点，

A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图， 则有px y 2±=和y 1＝mx ＋n ．

x

y

A 0A

O

∴ px n mx y y 21 +=-

x

p

x

n m x 2 +

⋅= 当m ≠0时，若x →＋∞，则+∞→-y y 1

当m ＝0时，px n y y 21 =-，当x →＋∞，则+∞→-y y 1 这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线

三、讲解范例：

例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点

)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．

分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．

解：由题意，可设抛物线方程为px y 22=，因为它过点)22,2(-M ， 所以 22)22(2⋅=-p ，即 2=p 因此，所求的抛物线方程为x y 42=．

将已知方程变形为x y 2±=，根据x y 2=计算抛物线在0≥x 的范围内几个点的坐标，得

描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一

点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线． 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．

分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．

设抛物线的标准方程是px y 22 (p ＞0)．