第4.1讲：纳什均衡应用举例：库诺特(Cournot)寡头竞争模型

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我们用 qi 0, 代表第 i 个企业的产量， C i qi 代 表成本函数，P P q1 q2 代表逆需求函数 （ P 是价 格； Q P 是原需求函数） 。
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第 i 个企业的利润函数为：
i q1, q2 qiP q1 q2 Ci qi , i 1,2
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第4.1讲：纳什均衡应用举例：
——库诺特（Cournot）寡头竞争模型
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von Neumann, John and Oskar Morgenstern. 1944. Theory of Games and Economic Behaviour. Princeton: Princeton University Press.
Q
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容易算出，垄断企业的最优产量为：
1 2 * * Q a c q1 q 2 a c 2 3
*
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垄断企业的利润为：
1 2 2 2 * * * * a c 1 q 1, q 2 2 q 1 , q 2 a c 4 9




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找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于零：
P q1 q 2 C 1 q1 1 P q1 q 2 q1 0 q1 q1 q1
P q1 q 2 C 2 q 2 2 P q1 q 2 q 2 0 q 2 q 2 q 2
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上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数（reaction function） ：
q1 R1 q 2
*
q
* 2
R q
2 1
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反应函数意味着每个企业的最优战略 （产量） 是另一 个企业产量的函数。两个反应函数的交叉点就是纳 什均衡 q q1, q 2 ，如图所示。
* * *


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为了得到更具体的结果，让我们来考虑上述 模型的简单情况。
假定每个企业具有相同的固定单位成本，即：C1 q1 q1c ，C 2 q2 q2c ，需求函数取 如下线性形式： P a q1 q 2 。那么，最优化的一阶条件分别为：
1 q a q1 q 2 q1 c 0 1 2 a q q q c 0 1 2 2 q 2
1 q q a c 3
* 1 * 2
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每个企业的纳什均衡利润分别为：
1 q ,q 2
* 1 * 2



1 2 q , q a c 9
* 1 * 2

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为了与垄断情况相比较，让我们计算一下垄断企业的最优产量和均衡利润。
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垄断企业的问题是：
max Q a Q c
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q , q 是纳什均衡产量意味着：
* 1 * 2
q arg max 1 q1, q q1P q1 q C1 q1
* 1 * 2 * 2




q arg max 2 q , q 2 q 2P q q 2 C 2 q 2
* 2 * 1 * 2
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反应函数为：
1 * a q2 c q1 R1 q 2 2 q* R 2 q 1 a q c 1 1 2 2

Leabharlann Baidu

i 将减少 1 2 单位的产量。 就是说，j 每增加一个单位的产量，
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求解两个反应函数，我们得纳什均衡为：
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库诺特（Cournot）寡头竞争模型
张维迎. 博弈论与信息经济学[M]. 上海：格致出版社•上海三联出版社•上海人民出 版社，2012. 第43-45页
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库诺特（Cournot，1838）寡头竞争模型可以说是纳什均衡最早的版本，它比纳什 （Nash，1950）本人的定义早了100多年。在库诺特模型里，有两个参与人，分别 称为企业1和企业2；每个企业的战略是选择产量；支付是利润，它是两个企业产量 的函数。
m




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寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己的最优产量时， 只考虑对本企业利润的影响，而忽视对另一个企业的负外部效应。这是典型的囚 徒困境问题。
The birth of game theory is usually dated back to John von Neumann and Oskar Morgenstern (1944), a classic work upon which modern-day game theory is based. However, there are several forerunners much earlier on. In 1713, Francis Waldegrave provided the first minimax mixed strategy solution to a two-person game. In 1838, Augustin Cournot solved a quantity choice problem under duopoly using a restricted version of the NE (Nash Equilibrium) concept. In 1871, Charles Darwin gives the first (implicitly) game theoretic argument in evolutionary biology. In 1883, Joseph Bertrand generalized Cournot’s model to price rivalry.