论第四次数学危机及其重大启示

论第四次数学危机及其重大启示
【摘要】实数轴负、零、正的一分为三与数学的极限只有有限与无穷两类的悖论形成的第四次数学危机启示我们，数学科学体系必须重建.数学是其它一切科学技术的基础，因此，科学技术体系必须重建.
【关键词】第三类极限第四次数学危机数学科学体系科学技术体系必须重建
1、引言
本文是在笔者于国内外发表的“THE AXIOM SYSTEM OF THE THIRD TYPE LIMIT AND ITS APPLICATION──SIMULTANEOUS VERIFICATIO N OF GOLDBACH CONJECTURE AND FERMAT CONJECTURE”[1]，“第三类极限──现代科学史上最重要的创新”[2]，“完美数猜想的证明”，“Polignac猜想的证明”,“孪生素数猜想的证明”，“数学科学以外的其它‘科学’都不是科学── 一分为三的严格证明”[3]，“论（9,9）、（7,7）、、（3,4）、（3,3）、（2,3），（1,b）,（1,5）、（1,4）、（1,3）、（1,2）与哥德巴赫猜想（1,1）的相互独立性”[4]，“哥德巴赫猜想的证明”[5]，“Pea no公理系统不完备性的再证明──费尔马猜想成立”[6]，“数字技术的应用──非传统数论”[7]，“敬答王世强教授和王兆新博士对‘哥德巴赫猜想的证明’一文的批评”[8]，“对《前沿科学》2007年第3期‘哥德巴赫猜想的证明’一文中有关G公理的几点说明”[9]，“哥德巴赫猜想和费尔马猜想为什么能够同时证明？”[10]，“非传统数论研究──费尔马猜想、PRC猜想、哥德巴赫猜想、斋藤慎二猜想等四个猜想的同时证明”[11]等14篇文章的基础上进行的，是从严格证明宇宙间的一切事物都是“一分为三”开始的，欢迎广大数学哲学工作者和广大读者以数学定理的形式提出批评.
极限理论是整个高等数学最基本的理论和基础，数学科学又是其它一切科学的基础.因此第三类极限的确立，必然使科学技术体系产生相应的一系列深层次的变革，建立与之相适应的新的数学体系和科学技术体系，必然由此引发人类历史上的第四次技术革命[12].第四次数学危机[13-15]比前三次数学危机在规模和深度上要大得多，它涉及到人类社会发展的一切领域，它的正确处理和解决，必然会使人类社会的发展在经济和文化等诸多方面上一个大台阶.用量子搜寻算法攻击密码体系，经典计算机需要1000年的运算量，量子计算机仅需小于4分钟的运算量.量子计算机比电子计算机为什么会有这么大的进步？根本原因是找到了存储的第三态.量子计算机除能像电子计算机那样分别存储0和1以外，还能同时存储0和1[16].找到了各学科的“三”就是一个重大突破，人们证实了与质子、反质子；中子、反中子；夸克、反夸克等等“对子”同时存在的“三”，就是一个重大发现.辩证法的三大规律都是基于矛盾规律的.既然矛盾事实上应为矛、中、盾，
辩证法的三大规律也应该有新的体系.因此，本文的发表，有助于建立与矛、中、盾相适应的新的数学体系、科学技术体系、新的文化体系、新的经济学体系和新的哲学体系，有利于人类社会跨入更高级的“一分为三”的文明.
作为第三类极限的应用，本文用第三类极限中的一个定理同时证明了距今已2500多年的完美数猜想和奇完美数猜想都成立.
自然数n的所有因数之和为2n就称n为完美数[17].完美数有无穷多个称为完美数猜想.奇完美数猜想就是不存在奇完美数.
本文是计算机科学、数学科学、哲学、宇宙学等多学科高端、高难度、大跨度的交叉，因而产生了强大的优势互补的集成效应，非常简单通俗易懂地用一个定理同时证明了完美数猜想和非完美数猜想这两个25个多世纪的世界数学难题都成立.且完美数猜想为什么成立的规律是可操作的、可见的、可重复的、可证实的.任何一位有识之士都可以用笔者提供的计算机程序在Visual C++6.0中运行，看到这一规律确实是存在的（完美数：6，28，496，8128，33550336，…，Wn,…很明显是一个严格增加的偶数子列.现在已经算出了第46个完美数.第12个完美数有77位，而第13就有314位，第46个完美数有1819050位.）从而使每一位读者对本文证明的正确性确信无疑.
非传统数论这一交叉科学的产生是数学科学“新的生长点、新的科学前沿”，“这里最有可能产生重大的科学突破，使科学发生革命性的变化。

”[18]
全世界的顶尖数学家为什么把完美数猜想证明了2500多年至今还未被证明？笔者认为最根本的原因是：（1）受了Peano公理系统不完备性的约束.（2）只用单一的纯数论的证明方法，没有学科交叉.没有一种全新的思想和方法能够证明这个猜想.让一个大汉用手举起五百公斤不可能，但是让四个大汉同时用手举起五百公斤却很简单，这就是问题的本质.
数学是无限[19-24]的科学.但是，人们只能通过有限来认识和把握无限.
在本文中，计算机运行所需空间都假定是足够的．
在笔者出版的著作及发表的论文中，若有与本文观点不一致的均以本文为准.
2、实数轴是一分为三的.
实数轴[25]是对人类社会的一切数量关系的抽象在数学科学上的反映.
定义2.1 事物的中间称为事物的第三极，分处于事物中间的两极称为事物的第一极矛和第二极盾，组成事物的这三极合称为“矛、中、盾”.
定义2.2 实数轴的负、零、正称为实数轴的矛、中、盾三极.
定义2.3 事物一分为三中的一称为统一体.
定义2. 4 事物分为矛、中、盾三极称为一分为三.
定理1：实数轴是一分为三的.
证明：由定义2.2和定义2.4可得结论.证毕.
3、第一类极限和第二类极限的定义.
3.1 第一类极限的定义
定义3.1 设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内（或函数f（x）当|x|大于某一正数时）有定义.如果存在常数A，对于任意给定的不论多么小的正数ε，总存在正数（或总存在正数X），使满足0＜|x-x0|＜（或满足|x|＞X）的x所对应的函数值f（x）都满足不等式
|f（x）-A|＜ε
那么就把常数A叫做函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限，记作
l i m f（x）=A
x→x0
（x→∞）
这类极限称为数学科学上的第一类极限[26].
3.2 第二类极限的定义
定义3.2 设函数f（x）在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）.如果对于任意给定的无论多么大的正数M，总存在正数（或正数X），只要x满足
0＜|（x-x0）|＜（或|x|＞X），
对应的函数值f（x）总满足
|f（x）|＞M，
则称函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限是无穷大.记作
l i m f（x）= ∞ （或l i m f（x）= ∞）
x→x0x→∞
这类极限称为数学科学上的第二类极限.
4、一分为三的严格证明——第三类极限必然存在.
定义4.1 物质是标志客观实在的哲学范畴.
定义4.2 规律是事物本身所固有的、内在的、本质的必然联系，是有关事物的共性.
定义4.3 公理是不能用数学方法证明的客观规律.
定义4.4 时间是物质运动过程的持续性、间隔性和顺序性.
定义4.5 空间是运动着的物质的伸张性、广延性.
定义4.6 时间、空间和事物的总和称为宇宙.
定义4.7 某一事物数不尽称为无限，否则称为有限.
定义4.8 矛盾是事物的既相互联系又互相对立的两极.
定义4.9 一分为二是指宇宙间的一切事物都能分为矛盾两极[27].
定义4.10 事物的中间称为事物的第三极，分处于事物中间的两极称为事物的第一极矛和第二极盾，组成事物的这三极合称为“矛、中、盾”.
定义4.11 事物一分为三中的一称为统一体.
定义4.12 数学科学中介于第一极与第二极之间的第三极称为数学三.
定义4.13 研究、发现客观规律，并应用客观规律解决实际问题，是公理化体系，有严密的逻辑性，对规律的无限性给出从有限到无限的严格数学证明，并被实践证实是正确的学问称为科学.
公理1 宇宙间的一切事物都是在时间、空间中运动的.
定理2 宇宙间的一切事物都是一分为三的.
证明：因为时间t是一维的，因此可用实数轴表示.用实数轴的正向表示时间t的正向，用原点o(实数0)表示现在,比0小的负方向表示过去，比0大的正方向表示将来.因此，时间是由过去（矛）、中、现在和将来（盾）三极组成的矛中盾统一体.
空间v用空间直角坐标系表示就是：xoy平面称为空间v的中.沿z轴的正向xoy平面的上方称为空间v的上.沿z轴的负方向的xoy平面的下方称为空间v的下.因此，空间是由上（矛）、中（中）、下（盾）三极组成的矛、中、盾统一体，根据定义4.10和4.11，时间、空间是一分为三的.
根据公理1，宇宙间的一切事物都是在时间空间中运动的，都拥有自己的时间t和空间v.即事物与它自身的时间t和空间v是同时存在的.一切事物的个性，都包含对它的时间、空间一分为三的共性.对事物时间、空间的一分为三，就是对事物自身的一分为三.根据定义4.10，4.11定理成立.证毕.
推论:数学科学必然要有第三类极限.
5、实数轴负、零、正的一分为三与极限只有两类有限与无穷的悖论所形成的第四次数学危机
定义5.1 实数轴负、零、正的一分为三，与极限只有有限与无穷两类所形成的悖论称为第四次数学危机.
定理 3 实数轴负、零、正的一分为三与极限只有有限与无穷两类是数学科学的悖论.
证明：由定理3可知，实数轴由负、零、正，矛、中、盾三极限组成，根据定义4.10，4.11，这是一分为三.而极限只有有限限与无穷两类这是与定理1、宇宙间的一切事物都是一分为三相悖的.因此，实数轴负、零、正的一分为三，与极限只有有限与无穷两类是数学科学的悖论.证毕.
6、第三类极限
6.1 第三类极限的定义和举例
定义6.1 同时具有第一类极限（有限）和第二类极限（无穷）的极限称为数学科学的第三类极限.
定义6.2 记自然数集为N. n、i∈N. S为数学命题.v1，v2，…，vn 为用计算机C验证命题S而存储的空间序列{vi}∈N，且v1０，总存在充分大的vm>０，使得当vn >vm时，总有s（vn）>pm，则称命题S成立．此极限就是第三类极限的一种，记作
l i m s（vn）= +∞,l i m p（An）=1
vn→+∞n→+∞
6.2 第三类极限的特点
（1）极限中所讲的趋势有三类，第一类是有限，第二类是∞，第三类是既有第一类极限又有第二类极限.命题成立这类极限就是其中的一个例子.第三类趋势既不是某一具体的数，也不是∞.这是第三类极限区别于前两类极限的一个重要特征.
（2）为什么在第三类极限的定义中同时具有有限和无穷大两种记号？这是因为第三类极限恰恰是第一类极限和第二类极限这一对矛盾的中间，而矛盾的中间同时兼有矛和盾两个方面的一些特征，子女既像爸爸又像妈妈就很形象地说明了这个问题.s（x1）（或s（x1，y1））表示在点（x1）（∈（0，+∞））（或（x1，y1）∈Ω）符合命题S（记此事件（必然事件）为A1）的概率是1，即p（A1）=1.同理，s（x2）（或s（x2，y2））表示在点（x2）（∈（0，+∞））（或（x2，y2）∈Ω）符合命题S（记此事件（必然事件）为A2）的概率也是1，即p（A2）=1.…s （xn）（或s（xn，yn））表示在点（xn）（∈（0，+∞））（或（xn，yn）∈Ω）符合命题S（记此事件（必然事件）为An）的概率还是1，即p（An）=1.极限
l i m s（x）= +∞（或l i m s（x，y）= +∞）
x→+∞x→+∞
y→+∞
表示命题S成立（记此事件（必然事件）为A）在（0，+∞）（或Ω）成立的概率是1，即
lim p（An）=p（A）=1.
n→+∞
上述事实说明，命题成立这类“趋势”兼有有限和∞两种特征（即第三类极限兼有第一类极限和第二类极限的特征），如本文定义的极限的趋势，
既有
l i m s（x）= +∞（或l i m s（x，y）= +∞）
x→+∞x→+∞
y→+∞
又有
lim p（An）=p（A）=1.
n→+∞
极限是有限的一面.即“命题成立”这类“趋势”是∞和有限并存.这正如0同时具有正数和负数的特征一样（（+a）+（-a）=0，a是实数）.这一特征是第三类极限区别于其它极限的主要特征.
（3）从第三类极限的定义可知，s（x）（或s（x，y））表示在点x（∈（0，+∞））（或（x，y）（∈Ω））符合命题S.在取极限过程中的每一点x（∈（0，+∞））（或（x，y）（∈Ω））上都符合命题S，且
l i m s（x）= +∞lim p（An）=p（A）=1.
x→+∞n→+∞
则命题S成立.
（4）第三类极限是描述一类数学问题在无限过程中的变化趋势的一个重要概念，它是人们从这类问题在有限的自然数范围内成立，到认识对趋向无穷大的自然数也成立、从近似认识精确、从量变认识质变的一个非常重要的数学方法.
（5）命题成立这类极限就某一具体问题而言是唯一的，但它是指的一类极限.
（6）定理4 第三类极限不具有加、减、乘、除等算术运算性质.
证明：在第三类极限的定义举例中，不同的数学命题S1、S2，…含义不同，所对应的函数s1（x）、s2（x），…的定义域不同，取值不同，对s1（x）、s2（x）…进行加、减、乘、除等算术运算是没有意义的.因此，第三类极限不具有加、减、乘、除等算术运算性质.证毕.
（7）命题成立这类极限其中的一个是单调增而上无界的特殊的序列的极限.
7、完美数公理——Peano公理系统不完备性的证明.
7.1 完美数公理
7.1.1 有关完美数猜想的定义及引理
定义7.1 自然数n的所有因数之和为2n就称n为完美数.
例6，28，496，8128，33550336都是完美数，因为它们的因数分别是6，3，2，1；28，14，7，4，2，1；496，248，124，62，31，16，8，4，2，1；8128，4064，2032，1016，508，254，127，64，32，16，8，4，2，1；33550336，16775168，8387584，4193792，2096896，1048448，524224，262112，131056，65528，32764，16382，8191，4096，2048，1024，512，256，128，64，32，16，8，4，2，1.根据定义7.1，它们都是完美数.
定义7.2 完美数有无穷多个称为完美数猜想.
定义7.3 奇完美数不存在称为奇完美数猜想.
定义7.4 公理是不能证明的客观规律.
定义7..5 公理A1、A2、…、An相互间是相容的，是指它们可以同时存在.
定义7.6 公理A1、A2、…、An相互间是独立的，是指从它们中的任意i（1≤i ＜n）个推不出其它n-i个.
定义7.7 公理系统A与公理A1、A2、A3、…、An属于同一学科，A与A1、A2、…、An相互间既是相容的又是相互独立的，则称公理系统A是不完备的.
引理7.1 不用通项证明数列是严格增加或减少的数学方法M是不存在的.
证明:若M存在,那么必须用M比较这个数列任意前后两项的大小,而“比较这个数列任意前后两项的大小”中的“任意前后两项”,指的就是用的该数列的“通项”.因此，M是不存在的.证毕.
7.1.2 计算机程序W.cpp
#include
using namespace std;
long l,b;
int main()
{
long a,j=0,k=0;
cout>b;
cout”之后，单击鼠标，使光标出现在W.exe后输入.在输入的>之后拖入“新建文本文档（2）.txt”，单击此处，使光标在拖入的“新建文本文档（2）.txt”之后回车，待黑屏上出现C：\Documents and Settings\new>后，打开（双击）保存的文档“新建文本文档（2）.txt”，即可看到运行结果.如需打印，可连上打印机，再执行打印的有关操作即可.
7.1.4 完美数公理
引理7.2 {Wn}=6,28,429,8128,33550336，…，Wn，…是一个数列.
证明：由2002年7月高等教育出版社出版、普通高等教育“十五”国家规划教材《高等数学》第五版上册同济大学应用数学系主编，2005年11月第17次印刷，关于实数数列的定义：“如果按照某一法则，对每个n N+,对应着一个确定的实数xn,这些实数xn按照下标从小到大排列得到一个序列
x1，x2，x3，…，xn，…
就叫做数列，简记为数列{xn}”可知，定理成立.证毕.
引理7.3 {Wn}的第n项Wn存在，但写不出来.
证明：因为n是有限的自然数，从理论上来说，总有一种算法使计算机能够算出这个数列的第n个实数.因此，{Wn}的通项存在.但因n没有给定，Wn是算
不出来的.因此，{Wn}的通项Wn存在，但写不出来.证毕.
引理7.4 {Wn}的通项Wn必须要能写成含有通项项数n的数学关系式，才能证明{Wn}的增减性.
证明：因为只有把Wn写成含有通项项数n的数学关系式，才能表示数列{Wn}的任意前后两项，才能比较{Wn}的任意前后两项的大小.因此，{Wn}的通项Wn 必须要能写成含有通项项数n的数学关系式，才能证明它的增减性.证毕.
定理5 {Wn}的增减性不能证明.
证明：根据引理7.3，{Wn}的通项Wn存在，但写不出来.因此，Wn不能写成一个含有通项项数n的数学关系式.根据引理7.4，数列{Wn}的增减性不能证明.证毕.
从上面的证明可知，{Wn}是完美数严格增加的偶数子列这个完美数的性质数学上不能证明，而事实上是完美数严格增加的偶数子列．要从数学上表述{Wn}是完美数严格增加的偶数子列这个客观规律，只能用公理.根据定义7.4可得
完美数公理{Wn}是由完美数组成的严格增加的偶数子数列.
7.2 Peano公理系统不完备性的证明
定理6 Peano公理系统是不完备的.
证明：因为完美数都是自然数，因此，完美数是{Wn}也是自然数数列N的真子集[28]，根据定义7.5,它们相互间是相容的.由定理5可知，用Peano公理推不出完美数公理.因为完美数公理不含加、减、乘、除等运算，因此，用完美数公理也推不出Peano公理，根据定义7.6,完美数公理与Peano公理相互间是独立的.Peano公理与完美数公理都是自然数的公理，都属于数论这一学科，它们既是相容的，又是相互独立的，根据定义7.7，Peano公理系统是不完备的.证毕.
本文对Peano公理组不完备性的证明与Gödel的不完备性定理是不同的.Gödel的证明在数学方面是一个很大的贡献，“是20世纪最深刻的数学定理”.但是Gödel的证明是一个一般性的证明.而本文的完美数公理给出的是自然数的具体性质.Gödel的巨大贡献是从数学界的实践总结上升到了理论高度，给出了严格的理论证明，“它扑灭了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望；”[29].而本文在此理论的基础上，给出了数论中的一个具体的完美数公理，使每一位读者都可以活生生地看到Peano公理系统确实是不完备的.
8、完美数猜想和非完美数猜想的同时证明
（6）第三类极限是科学史上最重要的创新.
（7）用第三类极限的一个定理可以同时证明完美数猜想和非完美数猜想都成立.
（8）数学科学以外的其它一切“科学”都不是科学.牛顿力学不是科学.爱因斯坦的《狭义相对论》和《广义相对论》都不是科学.《量子力学》也不是科学.
（9）《大爆炸宇宙学》是错误的学说.
（10）诺贝尔奖不是科学奖，应更明为诺贝尔贡献奖.
（11）牛顿和爱因斯坦关于宇宙有限的学说是错误的.
（12）一切科学，都必须建立公理化体系，以数学为基础，有严密的逻辑性
（13）数学科学体系、经济学体系等各种科学体系都必须重新构建.
（14）本文所提出的两个预言，肯定能被科学实践所证实是正确的.
为什么我们经常会听到、看到有的学者对牛顿、爱因斯坦和其他一些大家、名家的学说提出这样那样的质疑（例如《前沿科学》2009年第4四期、2010年第1期发表的华棣院士的文章：“爱因斯坦相对论的根本性修正——光速可变的相对论力学（上）、（下）”），最根本的原因是现在的物理学、化学和其它一些“科学”都还不是一个严密的逻辑系统，对在有限次实验、观察所发现的“规律”没有给出严格的从有限到无限的逻辑论证，就被认为在无限的范围内成立的规律了.因此，这些“科学”都不是科学.如爱因斯坦所说：“数学之所以比一切其它科学受到尊重，一个理由是因为它的命题是绝对可信的，而其它的科学经常处于被新发现的事实推翻的危险。

”（河北省数学会.河北省工业与应用数学学会.河北师范大学数学研究所于2008年制作的数学台历.）
本文的发表，有助于建立与矛、中、盾相适应的新的数学体系、自然科学体系、经济学体系、交叉科学体系、社会科学体系和哲学体系，有助于促使我国的国民经济高速、持续、稳定的发展，建设创新型国家，建立长期稳定的和谐社会.有助于人类社会的大踏步前进.
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