三重积分的计算方法与例题

三重积分得计算方法：

三重积分得计算就是化为三次积分进行得。其实质就是计算一个定积分（一重积分)与一个二重积分。从顺序瞧:

如果先做定积分,再做二重积分,就就是“投影法”,也即“先一后二”。步骤为:找及在ｘｏy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定ｚ得积分限,完成了“先一”这一步(定积分);进而按二重积分得计算步骤计算投影域D上得二重积分,完成“后二”这一步。

如果先做二重积分再做定积分,就就是“截面法”,也即“先二后一”。步骤为:确定位于平面之间,即,过z作平行于xｏy面得平面截,截面。区域得边界曲面都就是ｚ得函数。计算区域上得二重积分，完成了“先二”这一步(二重积分）;进而计算定积分,完成“后一”这一步。

当被积函数ｆ（z)仅为z得函数(与x,y无关),且得面积容易求出时,“截面法”尤为方便。

为了简化积分得计算,还有如何选择适当得坐标系计算得问题。可以按以下几点考虑:将积分区域投影到xｏy面,得投影区域D(平面) （1）D就是X型或Y型,可选择直角坐标系计算(当得边界曲面中有较多得平面时,常用直角坐标系计算)

（2）Ｄ就是圆域(或其部分)，且被积函数形如时,可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时,常用柱面坐标计算）

(3)就是球体或球顶锥体,且被积函数形如时,可选择球面坐标系

计算

以上就是一般常见得三重积分得计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出得情形不赘述。

三重积分得计算方法小结:

１、对三重积分,采用“投影法”还就是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z ）

得情况选取。

一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握;

截面法(先二后一): 就是在z 处得截面,其边界曲线方程易写

错,故较难一些。

特殊地，对积分时,f(ｘ,y ，z)与x,y 无关，可直接计算。因而中只要, 且

f(x,y,z)仅含z 时,选取“截面法”更佳。

2、对坐标系得选取,当为柱体，锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲面所围

成得形体；被积函数为仅含z 或时,可考虑用柱面坐标计算。

三重积分得计算方法例题:

补例1：计算三重积分,其中为平面与三个坐标面围成得闭区域。 解1“投影法” 1、画出及在ｘoy 面投影域D 、 2、 “穿线”

X 型 D: ∴： ３、计算

⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰-----Ω

+---=--===1

0103221

10

10

1

10

2]3

1)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dy

dx zdxdydz I x x

y

x x

解2“截面法”1、画出。2、 过点z 作垂直于z 轴得平面截得。 就是两直角边为ｘ,y 得直角三角形，

3、计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰====Ω

1

1

1

0][][z

z z

D D D dz zS dz dxdy z dz zdxdy zdxdydz I

⎰⎰⎰=+-=--==1

0321010241

)2(21)1)(1(21)21(dz z z z dz z z z dz xy z

补例2:计算,其中就是与ｚ=1围成得闭区域。

解1“投影法”

1、画出及在xo ｙ面投影域Ｄ、 由消去z,

得即Ｄ:

2、 “穿线”，

X 型 D: ∴ 3、计算

⎰⎰⎰

⎰

⎰⎰⎰

⎰Ω

---+-----=

+-+=+=+x x y x x x dy y x y x dx

dz y x dy

dx

dv y x 1111

1

1122222211

222

2

22

2

6

)1(π

注：可用柱坐标计算。 解２“截面法”

1、画出。

2、 过点z 作垂直于z 轴得平面截得:

:

用柱坐标计算 ３、计算

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰Ω

=

===+=+1

01020010

1

03032

2

2

2

2632]31[2][][z

D z z dz z dz r dz dr r d dz dxdy y x dv y x ππ

ππθ

补例3:化三重积分为三次积分,其中:所围成得闭区域。 解:1、画出及在x ｏy 面上得投影域D 、 由 消去ｚ,得

即D: 2、“穿线” X 型 Ｄ:

:

3.计算

注:当为已知得解析式时可用柱坐标计算。 补例４:计算,其中为所围成得闭区域。 解1“投影法”

1、画出及在ｘoy 面投影域Ｄ， 用柱坐标计算

由 化得边界曲面方程为:z ＝６－ｒ２,ｚ=r ２、解 ∴D ： 即 “穿线” ∴

3．计算

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰---Ω

===D

r r

r r

r r

dr z r zdz rdr

d rdrd zdz zdv 2

2

2

620

2

62

62]21[2][

π

πθθ 。

解2“截面法”

1、画出。如图：由围成。

2、

由z=ｒ与z=2围成; ,: :

由z=2与z=围成; ,:

：

3、计算 =