传输矩阵法

传输矩阵法
一、 传输矩阵法概述 1. 传输矩阵
在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。

如图1(a)所示， 在(a)中若已知A 点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻R ，便可求出B 点电压。

传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。

(a)
(b)
图1 传输矩阵模型及电路模拟模型
如图1(b)所示，有这样的关系式存在：
E 0=M(z)E 1。

M(z)即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将A 、B 两点的电势联系起来的实质是相似的。

图2 多层周期性交替排列介质
传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质（如图2所示）， M(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用
j M 表示第j 层的特征矩阵，则有：
1 2 3 4 …… j …… N
（1）
其中， （2）
j δ为相位厚度，有 （3）
如公式（2）所示，j M 的表示为一个2×2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。

2. 传输矩阵法
在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义：
传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。

从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场和磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。

传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：求解矩阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。

二、 传输矩阵的基础理论——薄膜光学理论 1.麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组由四个场量：D 、E 、B 、H ，两个源量：J 、ρ以及反映它们之间关系的方程组成。

而且由媒质方程中的参数ε、μ、σ反映介质对电磁场的影响。

方程组的实质是描述电磁场的传播，即：一个变化的磁场引起邻近区域的电场变化，而此电场的变化又引起邻近磁场的变化，如此进行下去，便可抽象出电磁场的传播。

如图3 所示。

⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡==∏=D C B A M z M N
j j 1)(⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=j j j j j
j
j i i M δδηδηδcos sin sin cos j j j j d N θλπ
δcos 2=ε
图3 电磁场传播的模拟图
将媒质方程带入麦克斯韦方程组，并对方程组求解可得以下两个重要结论：
1) (4)
式（4）中，N 即为介质的光学导纳，单位为西门子特别说明：光波段时，
μ约等于1，N 数值上等于折射率。

自由空间导纳 。

2) (5)
(6)
式（5）为电场的波动方程，与经典波导方程（6）相比可得 ，通
常把光速c 和电磁波在介质中速度之比定义为折射率，即得折射率公式：
(7) 2.边界条件及反射折射
电磁波在介质交界处满足切向分量连续的边界条件。

垂直入射时，电场和磁场均与入射面垂直，则它们的切向分量既是本身。

根据边界条件可得： (8)
式（8）中，上标为+的代表入射波，-表示反射波。

又由导纳定义式（4）可得： (9）
(10)
将式（9）、（10）代入（8）中，整理可得反射系数定义式：
(11)
r 为反射系数，R 为反射率。

透射系数原理相同，在此不再推导。

E H H E E H H E
jk n v
c
E k H N -==⨯=00265.0377
1
0==ηt v 2
222
1∂∂=∇ϕ
ϕεμ
c
v =t
E
c E 2222∂∂=
∇μεμε
=n ⎪⎭
⎪
⎬⎫+=+=-+-+001001H H H E E E ⎪⎭
⎪
⎬⎫⨯-=⨯=--+
+)()(000000E k N H E k N H )(111E k N H ⨯=1
01000N N N N E E r +-==+-2
r R =
上面讨论的是垂直入射的情况，斜入射时情况类似，只是用修正导纳0η、1
η代替（11）中的0N 、1N 。

其实，无论电磁波入射情况如何，电磁波只有两种情况：一种是电场E 平行入射面即TM 波（P 分量），此时电场的切向分量θcos E E tg =（θ为入射角），而磁场的切向分量是其本身，因此由（4）式可得：
)(cos )cos ()(E k N
E k N E k N H H tg tg ⨯=
⨯=⨯==θ
θ (12) 将（12）式与（4）式对比可得到P 分量的修正导纳，同理可得TE 波（S 分量）的修正导纳：
(13)
可得一般情况下的反射、透射系数表达式：
(14) 介质的传光特性可以由反射、透射系数所表征，而由以上讨论可知，这两个参数与导纳紧紧联系。

因此，求解介质的传光特性就可以转换为求解导纳问题， 这也是传输矩阵法所解决的核心问题之一。

其实，传输矩阵法就是通过求得介质的导纳，从而得到介质的反射透射系数。

3. 传输矩阵
这一部分将应用薄膜光学理论详细推导介质的传输矩阵，以及如何求得介质导纳，根据第一部分传输矩阵的介绍可以知道，它其实是每层特征矩阵的乘积，所以，这一部分的推导就从单层薄膜的特殊矩阵入手，进而推广到整个介质空间推导出介质的传输矩阵。

下面就详细介绍单层薄膜的特殊矩阵。

电磁波通过厚度为d 1的单层薄膜过程如图4所示。

⎪⎭
⎪⎬⎫
==
θηθηcos cos N N s p 1
01
0ηηηη+-=
r 1002ηηη+=t
图4 电磁波通过单层薄膜
图5 单层薄膜等效为介质面的示意图
薄膜是存在一定厚度的，电磁波从0E 透过薄膜变为2E 的过程，与简单的穿
过介质面相比多了个1E 的中间变换，如果可以将0E 和2E 通过导纳直接联系起来，那么薄膜就可以等效为一个介质面（如图5所示），前面所介绍的反射透射公式便可用。

因此，我们第一步完成从薄膜到介质面的等效推导。

令薄膜导纳（介质面1和介质面2的组合导纳）为Y ，则可得到薄膜的透射反射系数：
(15)
由式（15）可知，求得Y 便可求得r 、t 。

由导纳定义并对薄膜的第一介质面应用边界连续条件可得：
(16)
+
0E -0
E
2
E 2
N +
0E -0
E
2
E 2
N 0
N Y
Y
r +-=
00ηηY
t +=
00
2ηη)
(00E k Y H ⨯=
(17)
图4中的+11E 、-11E 表示刚刚穿过介质面一的瞬时状态。

+12E 、-
12E 表示即将穿
过介质面二的瞬时状态。

这两个瞬时状态的唯一不同只是因为薄膜厚度引入的相位因子，即有：
(18)
将式（18）代入式（17）中可得式（19），并将其转为矩阵形式（20）：
(19)
(20)
同理，薄膜的第二介质面有如下关系式：
(21)
(22)
⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫⨯-⨯=+=+=⨯+⨯=⨯+=+=-
+-+-+-
+-+-+)(11111011110001111011
11000E k E k H H H H H H E k E k E k E E E E E η⎪⎭
⎪⎬⎫==---++11
11121112δδi i e E E e E E 1
111cos 2θλ
π
δd N =
⎪⎭
⎪
⎬⎫⨯-⨯=⨯+⨯=⨯--
+--+1111112112012120)()()()(δδδδηηi i i i e E k e E k H e E k e E k E k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+
--12121100111
1E k E k e e
e e H E k i i i i δδδδηη⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫
⨯-⨯=+=⨯+⨯=⨯+=-+-
+-
+-+)(121212121221212212
122E k E k H H H H E k E k E k E E E η⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬
⎫-⨯=⨯+⨯=
⨯-+
21212
2121221)(2121)(21H E k E k H E k E k ηη
(23)
式（20）、（23）分别表示介质面一、二两侧空间电磁场之间的联系，若将式（23）代入式（20）中相乘，则所得到的结果就表示整个薄膜两侧空间电磁场之间的联系，即：
(24)
从式（24）中得到了第一层的特征矩阵：
(25)
(26)
考虑到导纳定义有如式（26）的关系，则可对式（24）进一步化简：
(27)
令 为为膜系的特征方程，则有关系式：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎣⎡-
=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯-+
22111212212
12121H E k E k E k ηη⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=22111111cos sin sin cos H E
k i i δδηδηδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--221111
0021212121
11
1
1
H E k e e e
e H E k i i i i ηηηηδδδδ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=1111111cos sin sin cos δδηδηδi i M ⎪⎭
⎪
⎬
⎫⨯=⨯=)()(22200E k H E k Y H η)(1cos sin sin cos 1)(22111
1110E k i i Y E k ⨯⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯ηδδηδηδ⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B
(28)
对比式（24）等号左边的形式，由导纳定义可得整个单层薄膜的组合导纳：
B
C
Y = (29)
从而由式（15）可求得单层薄膜的反射、透射系数。

至此完成了第一步，即从薄膜到介质面的等效推导。

将将单层得到的结论推广到整个介质空间可得：
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111
1111cos sin sin cos ηδδηδηδi i C B ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡==∏=D C B A M z M N
j j 1)(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+11)(N z M C B ηB
C Y =
Y
t +=
00
2ηηY
Y r +-=
00ηη⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡
=j j j j j
j j i i
M δδηδηδcos sin sin cos j
j j j d N θλ
π
δcos 2=
式（30）为介质第j 层的特征矩阵，需要注意的是特征矩阵的行列式值为1。

由式（32）即可得到整个介质的传输矩阵。

至此，完成了多层介质传输矩阵的建模过程。

值得一提的是，在讨论单层薄膜时，得到单层薄膜的反射率后，若对薄膜的光学厚度H(H=nd ，n 为薄膜折射率，d 为薄膜实际厚度)求导，可得如图6的结果。

从结果中我们可以看出，在厚度为4
时，反射率根据折射率的不同可达到最大或最小值。

图6 反射率与光学厚度的关系
三、 传输矩阵法的应用举例
传输矩阵法的典型应用是对多层周期性交替排列介质的分析，具有这样结构的器件实例有：光子晶体、光栅、量子阱结构、DBR 结构器件等。

具体应用过程请参见文献《传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性》。

四、 小结
（1）传输矩阵法概念：将麦克斯韦方程组转换为传输矩阵的形式，应用传输矩
阵分析的计算方法。

（2）传输矩阵：形式为每层特征矩阵的乘积。

（3）典型应用：多层周期性交替排列介质。

（4）解决问题：传光特性（R 、T ）、场强度（E 、H ）。

注意：（3）、（4）共同决定传输矩阵法对所研究问题的适用性。

（5）重要结论：导纳N 、折射率定义 ，光波段下，导纳无意义，它就是折射率。

（6）传输矩阵的推导（薄膜光学理论）是繁琐的，但实际应用中可忽略推导，
直接应用结论式（30）—（35）。

（7）用传输矩阵法求解问题过程：
1）应用已有结论式（30）—（35）建立介质模型并求解： 2）建立实际问题的模型。

3）模型整合。

(8) 额外的结论：薄膜厚度选为4
λ
的原因。

参考文献
[1] 唐晋发，郑权. 应用薄膜光学. 上海科学技术出版社.1984: 1-51.
[2] 贾习坤. 基于传偷矩阵法对垂直腔半导体光放大器小信号增益特性的研究. 西南交通大学. 2002: 6-13
[3] 匡萃方,张志峰.传输矩阵法分析一维光子晶体的传光特性. 激光杂志. 2003, (24)4:
38-39.
εμ=n。