后继函数与极限环的稳定性

后继函数与极限环的稳定性

1 Poineare 映射与后继函数

设平面系统

()(),,,k dx

P x y dt

P Q C dy Q x y dt

⎧=⎪⎪∈⎨

⎪=⎪⎩

（1）

k 为足够大的正数，并设Γ是系统(1)的一条闭轨线，其方程为

()(),x x t y y t ==

()x t 与()y t 是周期为T 的函数.

在Γ上任意一点0P 作Γ的外法向量，在Γ的足够小的邻域(),δΓU 内的法线短设为AB ，选取AB 上任意一点0Q ,B 并设从0P 到0Q 的有限距离为0n ，由解对初值的连续依赖性可知，从0Q 出发的轨线环绕闭轨一周后，必将再次与法线短

AB 相交于1Q 点。记0P 与1Q 的有向距离为n ，于是n 将是0n 的函数，并记为

()0n n n =，如图(1)所示。

图1

定义1 称1Q 为0Q 的后继点; ()0n n 为后继函数，有时也称()()00N n n n n =-为后继函数。

当后继函数()00N n =时，即()0n n n =表示过0Q 点的轨线是一条闭轨线。通

过对后继函数的几何理解，很容易得出下列有关极限环稳定性的重要结论

若对法线段AB 上任意一点均有()000n N n >或()'00N >，则Γ为不稳定的极限环；

若()000n N n <或()'00N <，则Γ为稳定的极限环；

若()()0000N n n <≠，则Γ为外稳定而内不稳定的半稳定极限环； 若()()0000N n n >≠，则Γ为外不稳定而内稳定的半稳定极限环； 若()00N n ≡，则Γ为周期环。

根据后继函数()0N n 的零点个数，可以定义极限环的重数 定义2 若

()()()()'k-1000=0,00k N N N N ===≠

则称Γ为k 重极限环。特别地，1k =称Γ为单重极限环或简单极限环。

显然这里的k 重极限环对应于后继函数的k 重根。通过后继函数()0N n 在零点泰勒展开很容易的到这个结论。 2 曲线坐标与极限环的稳定性

设有系统(1)的闭轨线Γ，逆时针方向，其房程为

()(),x f t y g t ==

f 与

g 均为周期为T 的周期函数. 在Γ的足够小的邻域(),δΓU 内，建立曲线坐标如下图2，(),Q δ∀∈ΓU ，过Q 点作Γ的法线与Γ相交于P 点。取法线方向向外为正。在Γ任意固定一点0P 作为度量弧长的起点，顺时针方向为正，并记弧长0PP s =，法线上的有向距离PQ n =。于是()U ,δΓ内的点Q 与数组(),s n 构成一一对应的关系，称(),s n 为Q 点的曲线坐标。

图2

设Q 点的直角坐标为(),x y ，曲线坐标为(),s n ，Γ以弧长s 为参数的参数方程为

()(),0x s y s s l ϕψ==≤≤，

其中l 为Γ的弧长，从而P 点的直角坐标为()()(),s s ϕψ. Γ 在P 点的单位法向量为()()()0'',n s s ψϕ=-，于是

()()()'',PQ n s s ψϕ=-

又由于

OQ OP PQ =+

所以可以得到直角坐标与曲线坐标的关系

()()()()

'

'0x s n s s l y s n s ϕψψϕ⎧=-⎪≤≤⎨=+⎪⎩ （2）

从而可以利用公式(2)把给定的直角坐标下的坐标(),x y 转化为曲线坐标下的坐标(),s n ，得到

()()''''''

''

,Q P n P Q dn F s n ds P Q ϕψϕψϕψ--+==+ (3)

显然极限环Γ对应于它的零解0n =，并将上式分离出线性项得

()()',0dn

F s n o n ds

=+

其中

()()()

()2'''2200000000'32

220

,0y y x x

n P Q P Q P Q Q P F s H x P

Q

--+=

+

(4)

所以方程(3)的一次近似方程为

()dn

H s n ds

= （5）

方程(5)满足初始条件()00n n =的解为

()()00

exp

s n n H u du =⎰

从而对极限环的稳定性，有如下定理

定理1 当()0

0s

H s ds <⎰时极限环Γ是稳定的；当()0

0s H s ds >⎰时，极限环Γ

是不稳定的，其中l 是极限环Γ的弧长.

证 对Γ足够小邻域内的任意一点0n ，考虑后继函数

()()()()()()00000

exp

1l N n n n n n H s ds o n =-=-+⎰

显然，当()()0

00l H s ds <>⎰时，有()()0000n N n <>，从而Γ是稳定（不稳定）极限环。

对于定理1，里面表达式是在曲线坐标下的，用起来不方便，现在把它转化为直角坐标下的表达式，有如下定理

定理2 若沿着系统(1)的极限环Γ有

()0

00T

P Q dt x y

∂∂+<>∂∂⎰

则Γ的极限环是稳定（不稳定），其中T 是极限环Γ的周期

证明过程利用曲线坐标与直角坐标的关系就可以直接得到定理中的两式子是相等.

定义3 沿系统（1）闭轨线Γ的下述表达式

01T P Q

h dt T x y

∂∂+∂∂⎰