举重比赛运动员成绩与体重的关系

MinimizeS [di ( a bxi cxi )]2
m i 1
( xi )a ( xi 2 )b ( xi 3 )c xi di ;
( xi 2 )a ( xi 3 )b ( xi 4 )c xi 2 di ;
代入表中的数据的方程组：
392.5 402.5 379 400
316.5 329.5
从拟合效果看有可取之处。但单纯把成绩看作体重的一次线性函数过于简单， 从函数图来看，函数图呈凸状。成绩随体重的增长率逐渐减小。成绩函数 y(x)应该 具有更为复杂的形式。
四．
模型的建立与求解
1. 高阶多项式模型
由泰勒展开式，我们知道几乎所有函数都可以用一个有限项的多项式函数来拟 合。 根据我们已经学习到的知识，我们知道，唯一的一条直线 y=ax+b 能够通过两个给 定的数据点。按直线通过点（x1,y1）和（x2，y2）的条件确定 a 和 b，那么
y1 a bx1 ;
类似地，有唯一的一个最高阶为 2 的多项式 y a bx cx 2 能够通过三个不同 的点.解下列线性方程组可确定 a,b 和 c
y2 a bx2 ;
y1 a bx1 cx12 ;
y2 a bx2 cx2 2 ; y3 a bx3 cx32 ;
76 367.5 370
83 392.5 391.5
91 402.5 414.5
99 420 420
108 430 430
总成绩
20
40
60
80
100
120
体重
图3 由图表可以看出，除第一组数据，其他组的实际值与预测值基本吻合。这一模型十 分好的追踪了数据的趋势。 注意这一多项式虽然通过代入计算了的数据点（在计算机舍入误差的容忍限内） ， 在区间端点的附近，多项式有严重的摆动。如作为检验数据的第一组数据的预测值与实 际值相差 39.5， 这一点的估计甚至不如一次线性模型。 可见该模型某一个特定举重运动 员的能力预测存在区间上的局限性。 下面将考虑低阶多项式模型来改进发现的这个不足。
某届奥运会举重冠军成绩表 组别 最大体重 （kg） 54 59 64 70 76 83 91 99 108 >108 抓举 （kg） 132.5 137.5 147.5 162.5 167.5 180 187.5 185 195 197.5 挺举 （kg） 155 170 187.5 195 200 212.5 213 235 235 260 总成绩 （kg） 287.5 307.5 335 357.5 367.5 392.5 402.5 420 430 457.5
以此类推，由 N 个点可写出一个最高项为 N-1 的多项式，达到计算值与实际值 完全重合的效果。 现在选取 2,3,4,5,6,8,9 这 7 个点做计算数据来拟合一个最高阶为 6 的多项 式。第 1 组和第 7 组数据作为检验模型准确度的数据。 令
y a bx1 cx 2 dx 3 ex 4 fx 5 gx 6 ;
b = -379.1924794653903;
现在看一下经验模型拟合数据与实际数据的比较，得到：
体重 实际成绩 预测成绩
500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0
54 287.5 248
59 307.5 307
64 335 336.5
70 357.5 354.5
七个数据点要求常系数 a,b,c,d,e,f,g 满足线性代数方程组：
307.5 a 59b 592 c 593 d 594 e 595 f 596 g ; 335 a 64b 642 c 643 d 64 4 e 645 f 646 g ; 357.5 a 70b 702 c 703 d 70 4 e 705 f 706 g ; 367.5 a 76b 762 c 763 d 76 4 e 765 f 766 g ; 392.5 a 83b 832 c 833 d 834 e 835 f 836 g ; 420 a 99b 99 2 c 993 d 994 e 995 f 996 g ; 430 a 108b 1082 c 1083 d 1084 e 1085 f 1086 g ;
y3 y2 y2 y1 x3 x2 x2 x1 x3 x1
二阶均差
现在来计算成绩与体重数据的均差表：
体重 54 59 64 70 76 83 91 99 108
总成绩 287.5 307.5 335 357.5 367.5 392.5 402.5 420 430
一阶均差 4.0000 5.5000 3.7500 1.6667 3.5714 1.2500 2.1875 1.1111
2. 低阶多项式模型
为了保留高阶多项式的优点和改进其缺点，我们构造一个低阶多项式，低阶多项式 通常不会通过全部数据点。那么，现在的问题是，如何确定低阶多项式的最高阶，第二 根据何种准则来确定最佳拟合多项式的系数。
首先介绍一下确定阶数的方法： 回顾一下高等数学里高阶导数的知识，一个 N 次项的 N+1 阶导数值为 0. 导数的定义：
的敏感性。 在下面的模型中，x 表示运动员的体重，y 表示举重总成绩，a，b，c 是待定系数：
y ( x) a bx cx 2 ;
我们的是确定 a、b 和 c，产生最佳拟合数据的二次式模型。这里将极小化偏差平方 和求出二次形，即：
极小化的必要条件 (
s s s 0) ，产生下列方程： a b c
500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 20
成绩 — 体重散点图
40
60
80
100
120
图1
若认为举重成绩与体重呈近似线性关系，可使用 Excel 进行线性拟合.图 2 是 通过 Excel 得出的关于实际成绩散点与线性拟合值对比图。
500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 20 40 60
数学模型
主
题
举重比赛运动员成绩与体重的关系
专业、班 学 姓 号 名
自动化 1306 班
联系电话 指导教师 苏厚胜
举重比赛运动员成绩与体重的关系
摘要：利用 1996 年奥运会举重比赛冠军的成绩进行了成绩与体重之间关系的研究，利
用统计学、 高等数学的知识建立了线性， 高阶多项式和低阶多项式三个模型。 使用 Excel、 MATLAB 等软件进行拟合，其中低阶多项式模型最佳。利用 2008 年北京奥运会实际赛果 对模型进行了检验，效果较好。结论可用于举重运动员比赛成绩的预测和评估。
ma ( xi )b ( xi 2 )c d ;
9a 704b 57804c 3300;
704a 57804b 4962332c 265287.5; 57804a 4962332b 442911588c 22324322.5;
用 MATLAB 计算线性方程组得
y 1.1872 x 73.242( R 2 0.9288);
看一下经验模型拟合数据与实际数据的比较，如表：
体重 实际成绩 预测成绩
54 287.5 303.5
59 307.5
64 335
70 357.5 345
76 367.5 360.5
83
91
99 420 421
108 430 444.5
a 64.0111, b 8.5093, c 0.0366
因此经验二次形模型给定为
y -64.0111 + 8.5093x - 0.0366x 2
分析 y ( x ) 的拟合:
用二次多项式光滑化举重成绩
xi di yi di yi
54
59
64
70
76
83
91
99
108
287.5
dy y = lim dx x0 x
由于导数可以几何的解释为在 x 点的斜率，但是除非 x 很小，比例 y / x 不可能 是 dy / dx 的一个很好的估计。尽管如此，如果 dy / dx 处处均为零，那么 y 必须为零，
这样我们能在所列出的相继函数值间计算均差
yi 1 yi xi 1 xi
307.5
335
357.5
367.5
392.5
402.5
420
430
288.5
310.5
330.5
352.5
371.5
390
407
419.5
428
-1.0
-3.0
4.5
5.0
-4.0
2.5
-4.5
0.5
2.0
500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 20 40 60 80 100 120
关键词：Excel，MATLAB，数学模型，拟合. 一． 问题的提出
在现代奥运会举重比赛中，比赛前运动员都要称体重，并且最后运动员的成绩只计 算抓举和挺举的总成绩，如总成绩相同则赛前体重轻者列前。一般情况下，最终获奖级 别越高，体重越重，举起的重量也越大，那么可设想同一级别的运动员，体重越大的， 举起的重量应该越大。也就是说，运动员的体重与总成绩应该有着密切的关系。 下表是 1996 年亚特兰大奥运会竞赛的冠军成绩，试在一些合理、简化的假设下建 立比赛成绩与体重的关系。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二．
问题假设
1. 举重运动员的总成绩是生理条件，心理因素等众多因素共同作用的结果。 2. 本文的研究重点只考虑体重的因素，假设运动员其他条件相差不大。 3. 无差别级运动员体重差异大，模型将不考虑 108kg 以上级别.
三．
问题分析
将问题中所给的数据导入 Excel 中， 观察散点图， 可发现举重成绩是体重的增函数。
二阶均差 0.1500 -0.1591 -0.1736 0.1465 -0.1548 0.0586 -0.0633
三阶均差 -0.0193 -0.0008 0.0168 -0.0143 0.0093 -0.0049
四阶均差 0.0008 0.0007 -0.0012 0.0008 -0.0004
考察表可以发现三阶均差与数据相比量值很小，并且正负号交替出现。负号可能指 示在数据中存在测量误差或者低阶多项式不能追踪的变化.负号对剩余的列的差分也有 不利的影响.这儿我们可以决定使用一个二次式模型，理由是无法判断加进高阶项后能 大大消减偏差，但加入高阶项增加了模型的复杂性、它对摆动的易感性以及对数据误差
类似地，如果一阶导数仍是一个函数，可重复上述过程估计二阶导数。也就是说， 能通过计算一阶导数的相继估计值间的差分来近似二阶导数，以此类推，通过 N 阶导数 的相机估计值间的差分来近似 N+1 阶导数。
数据
一阶均差
x1
y1
y2 y1 x2 x1
x2 x3
y2 y3
y3 y2 x3 x2
观察实际成绩与预测成绩的曲线图，两者几乎重合，且具有相同的趋势，这个低阶 多项式模型很好的修正了高阶多项式的缺点。 低阶多项式模型可以说是目前我们获得的最好的一个模型， 为了验证其是否具有普 适性。我们拿 2008 年北京奥运会的各重量级的举重成绩来进行验证。
体重 实际成绩
56 292
62 319
69 348
借助 MATlAB 获得上述方程组的解
a -29.4168871592129; c = 23.9685211965220; d = -0.5890935000542; e = 0.0071518715259; f = -0.0000429503502; g = 0.0000001020930;
y = 1.4187x + 89.362 R² = 0.9362 y = 1.1872x + 73.242 R² = 0.9288
y = 2.6153x + 162.1 R² = 0.9516
80
100
120Байду номын сангаас
图2
抓举、挺举、总成绩与体重线性拟合的结果分别为：
y 1.4187 x 89.362( R 2 0.9362); y 2.6153x 162.1( R 2 0.9516);