压缩感知-----介绍.
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T T
，展开系数向量为
( , ,..., )
1 2 N
T
假设系数向量θ 是K稀疏的，即其中非零系数的个数K<<N，那么采用另一个 与正交基不相关的矩阵Φ：M×N（M<<N）（这里Φ的每一行可以看作是
一个传感器，它与系数相乘，获取了信号的部分信息），对信号Ⅹ执行一个
压缩观测：
y x
压缩感知概述
Introduction to Compressive Sensing
2018/8/13
1
目录
一、背景与现状
理论产生背景 研究现状
二、压缩感知理论介绍
压缩感知的基本思想 压缩感知的数学模型 压缩感知要解决的问题
三、应用与展望
压缩感知的初步应用
压缩感知研究的公开问题 压缩感知的总结与展望
N i 1 i
i
（1）
T i i
其中，展开系数
x, x
i
写成矩阵形式可以得到：
x
（2）
13
2018/8/13
2、压缩感知理论介绍
2.2 压缩感知的数学模型
这里
( , ,..., ) R
1 2 3
N N
为正交基字典矩阵，
满足
I
2018/8/13
5
1、背景现状
1.1 理论产生背景
ห้องสมุดไป่ตู้
大部分冗余信息在采集后被丢弃 采样时造成很大的资源浪费 能否直接采集不被丢弃的信息？
2018/8/13
6
1、背景现状
1.1理论产生背景
被感知对象
压缩感知
重建信号
名词解释：压缩感知—直接感知压缩后的信息
基本方法：信号在某一个正交空间具有稀疏性（即可压
2018/8/13
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1、背景现状
1.1 理论产生背景 原始图像
采样
采样数据 恢复图像
压缩
数据传输
解压缩
通过显示器 显示图像
另一方面， 在实际应用中, 为了降低存储、处理和传输的成本, 人
们常采用压缩方式以较少的比特数表示信号, 大量的非重要的数据被抛
弃。这种高速采样再压缩的过程浪费了大量的采样资源。
缩性），就能以较低的频率（远低于奈奎斯特采样频率） 采样该信号，并可能以高概率重建该信号。
2018/8/13
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1、背景现状
1.2 研究现状 2006《Robust Uncertainty Principles： Exact Signal Reconstruction from Highly Incomplete Frequency Information》 Terence Tao、Emmanuel Candè s 2006《Compressed Sensing》David Donoho 2007《Compressive Sensing》Richard Baraniuk 上述文章奠定了压缩感知的理论基础。
2018/8/13 2
一、背景现状
2018/8/13
3
1、背景现状
1.1 理论产生背景
一方面， 在奈奎斯特( Nyquist) 采样定理为基础的传统数
字信号处理框架下，若要从采样得到的离散信号中无失真地恢
复模拟信号，采样速率必须至少是信号带宽的两倍。然而，随着 当前信息需求量的日益增加，信号带宽越来越宽，在信息获取中 对采样速率和处理速度等提出越来越高的要求，因而对宽带信号 处理的困难在日益加剧。例如高分辨率地理资源观测， 其巨量数据 传输和存储就是一个艰难的工作。
2018/8/13 10
二、压缩感知理论介绍
2018/8/13
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2、压缩感知理论介绍
2.1 压缩感知的基本思想
压缩感知理论与传统奈奎斯特采样定理不同， 它指出，只要信 号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的， 那么就可以用一个与变换基 不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后
通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原
国内也将其翻译成压缩传感或压缩采样。
2018/8/13 8
1、背景现状
1.2 研究现状
理论一经提出，就在信息论、信号处理、图像处理等
领域受到高度关注。 在美国、英国、德国、法国、瑞士、以色列等许多国 家的知名大学(如麻省理工学院、斯坦福大学、普林斯 顿大学、莱斯大学、杜克大学、慕尼黑工业大学、爱 丁堡大学等等)成立了专门的课题组对CS进行研究。 此外，莱斯大学还建立了专门的CompressiveSensing 网站，及时报道和更新该方向的最新研究成果。
信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息。在该理论框 架下，采样速率不决定于信号的带宽， 而决定于信息在信号中的结构 和内容。
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2、压缩感知理论介绍
2.2 压缩感知的数学模型
若将N维实信号
xR
N 1
在某组正交基
下进行展开，即：
N i i 1
x
（3）
14
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2、压缩感知理论介绍
2.2 压缩感知的数学模型
就可以得到M个线性观测（或投影）y R ，这些少量线性投影中则
M
包含了重构信号X的足够信息，如下图所示：
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2、压缩感知理论介绍
2.2 压缩感知的数学模型
从y中恢复x是一个解线性方程组的问题，但从方程（3）上看，这似乎是 不可能的，因为这是一个未知数个数大于方程个数的病态方程，存在无穷多个 解。但是，将式（2）带入式（3），记CS信息算子
A 可以得到：
CS
y A
CS
（4）
虽然从y中恢复θ 也是一个病态问题，但是因为系数 θ 是稀疏的，这样未 知数的个数就大大减少，使得信号重构成为可能。那么在什么情况下式（4） 的解是存在的呢？？？
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2、压缩感知理论介绍
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1、背景现状
1.2 研究现状 西安电子科技大学石光明教授在《电子学报》发表综述 文章，系统地阐述了压缩传感的理论框架以及其中涉及到 的关键技术问题。燕山大学练秋生教授的课题组针对压缩 感知的稀疏重建算法进行了系统深入的研究，提出一系列 高质量的图像重建算法。中科院电子所的方广有研究员等 ，探索了压缩感知理论在探地雷达三维成像中的应用。 除此之外，还有很多国内学者在压缩感知方面做了重要 的工作，如清华大学、天津大学、国防科技大学、厦门大 学、湖南大学、西南交通大学、南京邮电大学、华南理工 大学、北京理工大学、北京交通大学等等单位，在此不一 一列举。
，展开系数向量为
( , ,..., )
1 2 N
T
假设系数向量θ 是K稀疏的，即其中非零系数的个数K<<N，那么采用另一个 与正交基不相关的矩阵Φ：M×N（M<<N）（这里Φ的每一行可以看作是
一个传感器，它与系数相乘，获取了信号的部分信息），对信号Ⅹ执行一个
压缩观测：
y x
压缩感知概述
Introduction to Compressive Sensing
2018/8/13
1
目录
一、背景与现状
理论产生背景 研究现状
二、压缩感知理论介绍
压缩感知的基本思想 压缩感知的数学模型 压缩感知要解决的问题
三、应用与展望
压缩感知的初步应用
压缩感知研究的公开问题 压缩感知的总结与展望
N i 1 i
i
（1）
T i i
其中，展开系数
x, x
i
写成矩阵形式可以得到：
x
（2）
13
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2、压缩感知理论介绍
2.2 压缩感知的数学模型
这里
( , ,..., ) R
1 2 3
N N
为正交基字典矩阵，
满足
I
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1、背景现状
1.1 理论产生背景
ห้องสมุดไป่ตู้
大部分冗余信息在采集后被丢弃 采样时造成很大的资源浪费 能否直接采集不被丢弃的信息？
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1、背景现状
1.1理论产生背景
被感知对象
压缩感知
重建信号
名词解释：压缩感知—直接感知压缩后的信息
基本方法：信号在某一个正交空间具有稀疏性（即可压
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1、背景现状
1.1 理论产生背景 原始图像
采样
采样数据 恢复图像
压缩
数据传输
解压缩
通过显示器 显示图像
另一方面， 在实际应用中, 为了降低存储、处理和传输的成本, 人
们常采用压缩方式以较少的比特数表示信号, 大量的非重要的数据被抛
弃。这种高速采样再压缩的过程浪费了大量的采样资源。
缩性），就能以较低的频率（远低于奈奎斯特采样频率） 采样该信号，并可能以高概率重建该信号。
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1、背景现状
1.2 研究现状 2006《Robust Uncertainty Principles： Exact Signal Reconstruction from Highly Incomplete Frequency Information》 Terence Tao、Emmanuel Candè s 2006《Compressed Sensing》David Donoho 2007《Compressive Sensing》Richard Baraniuk 上述文章奠定了压缩感知的理论基础。
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一、背景现状
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1、背景现状
1.1 理论产生背景
一方面， 在奈奎斯特( Nyquist) 采样定理为基础的传统数
字信号处理框架下，若要从采样得到的离散信号中无失真地恢
复模拟信号，采样速率必须至少是信号带宽的两倍。然而，随着 当前信息需求量的日益增加，信号带宽越来越宽，在信息获取中 对采样速率和处理速度等提出越来越高的要求，因而对宽带信号 处理的困难在日益加剧。例如高分辨率地理资源观测， 其巨量数据 传输和存储就是一个艰难的工作。
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二、压缩感知理论介绍
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2、压缩感知理论介绍
2.1 压缩感知的基本思想
压缩感知理论与传统奈奎斯特采样定理不同， 它指出，只要信 号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的， 那么就可以用一个与变换基 不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后
通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原
国内也将其翻译成压缩传感或压缩采样。
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1、背景现状
1.2 研究现状
理论一经提出，就在信息论、信号处理、图像处理等
领域受到高度关注。 在美国、英国、德国、法国、瑞士、以色列等许多国 家的知名大学(如麻省理工学院、斯坦福大学、普林斯 顿大学、莱斯大学、杜克大学、慕尼黑工业大学、爱 丁堡大学等等)成立了专门的课题组对CS进行研究。 此外，莱斯大学还建立了专门的CompressiveSensing 网站，及时报道和更新该方向的最新研究成果。
信号，可以证明这样的投影包含了重构信号的足够信息。在该理论框 架下，采样速率不决定于信号的带宽， 而决定于信息在信号中的结构 和内容。
2018/8/13
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2、压缩感知理论介绍
2.2 压缩感知的数学模型
若将N维实信号
xR
N 1
在某组正交基
下进行展开，即：
N i i 1
x
（3）
14
2018/8/13
2、压缩感知理论介绍
2.2 压缩感知的数学模型
就可以得到M个线性观测（或投影）y R ，这些少量线性投影中则
M
包含了重构信号X的足够信息，如下图所示：
2018/8/13
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2、压缩感知理论介绍
2.2 压缩感知的数学模型
从y中恢复x是一个解线性方程组的问题，但从方程（3）上看，这似乎是 不可能的，因为这是一个未知数个数大于方程个数的病态方程，存在无穷多个 解。但是，将式（2）带入式（3），记CS信息算子
A 可以得到：
CS
y A
CS
（4）
虽然从y中恢复θ 也是一个病态问题，但是因为系数 θ 是稀疏的，这样未 知数的个数就大大减少，使得信号重构成为可能。那么在什么情况下式（4） 的解是存在的呢？？？
2018/8/13
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2、压缩感知理论介绍
2018/8/13 9
1、背景现状
1.2 研究现状 西安电子科技大学石光明教授在《电子学报》发表综述 文章，系统地阐述了压缩传感的理论框架以及其中涉及到 的关键技术问题。燕山大学练秋生教授的课题组针对压缩 感知的稀疏重建算法进行了系统深入的研究，提出一系列 高质量的图像重建算法。中科院电子所的方广有研究员等 ，探索了压缩感知理论在探地雷达三维成像中的应用。 除此之外，还有很多国内学者在压缩感知方面做了重要 的工作，如清华大学、天津大学、国防科技大学、厦门大 学、湖南大学、西南交通大学、南京邮电大学、华南理工 大学、北京理工大学、北京交通大学等等单位，在此不一 一列举。