公共基础《概率论》期末考试试卷及答案

2011-2012学年第 1 学期 概率论（A 卷）

考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

一、 填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1、一位运动员投篮四次，已知四次中至少投中一次的概率为

0.9984，则该运动员投篮的命中率为________________ .

2、若事件A B C 、、相互独立，且()0.25,()0.5,()0.4P A P B P C ===，则

()P A B C =_____________________.

3、设随机变量X 的分布函数0,

0.4,()0.8,

1,F x ???=???? 111

13

3x x x x <--≤<≤<≥，则{13}P X ≤≤=_______. 4、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球.今有两人依次随机地

从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到黄球的概率是______________. 5、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则参数λ=__________________.

6、若随机变量ξ在[0，5]上服从均匀分布，则方程210X X ξ++=有实根的概率为_____________.

7、已知()0.5,(\)0.3,P B P A B ==则()P AB =__________________.

8、设随机变量X 的密度函数2

3,02()80,x x f x ?<

，则21E X ??

= ???___________.

二、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1、对于事件A B 、，不正确的命题是( ) (A) 若,A B 相容，则,A B 也相容 (B) 若,A B 独立，则,A B 也独立 (C) 若,A B 对立，则,A B 也对立 (D) 若,A B 对立，则,A B 独立

2、下列函数可以作为某随机变量的密度函数的为( )

(A) sin ,[0,]()0,x x f x π∈?=??其他 (B) 1,0

()00,0x

e x

f x x θ

θθ-?≥?=>??

(C) 2

2()2,0()0,0x x f x x μσ--?≥=

(D) ?????<=其他

,02,

2

1)(x x f

3、设随机变量2(,)X

N μσ,则随着σ的增大，概率(||)P X μσ-<( )

(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定

4、已知1

,(1,2,)!

k

P

X k c k k λ-===（）为随机变量X 的概率分布列，其中0λ>为

常数，则c =( )

(A) e λ- (B) e λ (C) 1e λ-- (D) 1e λ-

5、已知随机变量X 的分布函数为30,0

(),011,1x F x x x x

=≤

，则()E X =( )

(A) 1

303x dx ? (B) 1

40

1

x dx xdx +∞

+?

?

(C) 1

20

3x dx ?

(D)

40

x dx +∞

?

三、解答题（本大题共6 小题，共61 分）

2

50,100

N（），求：（1）测量误差的绝对值不超过150cm的概率；（5分）

（2）测得的距离不少于真实距离的概率.（5分）

（已知(0.5)=0.6915(1)=0.8412(2)0.9772

ΦΦΦ=

；；）

2、已知玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0、1、2只残次品的概率分别为0.8、0.1、0.1. 一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回. 求：（1）顾客买下该箱的概率α？（2）在顾客买下一箱中，确实没有残次品的概

率β？（10分）

3、设随机变量X服从标准正态分布，求2

f y.（10分）

Y X

=的概率密度函数()

Y

4、设一只昆虫所生的虫卵数X服从参数为λ的泊松分布，而每个虫卵发育为幼虫的概率为p，且各个虫卵是否发育为幼虫相互独立，试求一只昆虫所生的幼虫数Y的数学期望和方差.（6分）

5、设X 与Y 的联合概率密度函数为(2)e ,0,0

(,)0,x y A x y f x y -+?>>=??其它.

求：(1)常数A ；（2分） (2)分布函数(,)F x y ；（3分） (3){}P X Y <；（5分） (4)判断X 与Y 是否独立.（5分）

6、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在(0.5,0.5)

-上服从均匀分布.问：

(1)将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（5分）

(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0．90？

Φ=Φ=）

（5分）（已知()0.9099,(1.645)0.95

5

2011-2012学年第 1 学期 概率论 （A 卷）参考答案

考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

一、1、0.8 . 2、0.775. 3、0.6. 4、0.4. 5、1. 6、3/5. 7、0.2. 8、3/4. 二、1、A ，D 2、B 3、C 4、D 5、 A 三、1、解：（1）由题设可得：

{150}{150150}(150)(150)

1505015050

()()

100100

(1)(2)10.84120.977210.8184

P X P X F F ≤=-≤≤=-----=Φ-Φ=Φ+Φ-=+-=…………5分

（2）由题设可得：50

{0}1{0}1()(0.5)0.6915100

P X P X ≥=-<=-Φ-

=Φ=.…5分 2、解：设B={顾客买下该箱玻璃杯}，012A A A 、、分别表示该箱中含有0、1、2件残次品，则由题可知 ……………………………………1分

012()0.8;()0.1,()0.1.

P A P A P A ===

4200420(|)1;C P B A C ==41914204(|);5C P B A C ==418042012

(|).19

C P B A C == ……………4分

（1） 由全概率公式有

001122()()(|)()(|)()(|)

412448

0.810.10.10.94.

519475

P B P A P B A P A P B A P A P B A α==++=?+?+?=≈ …………7分

（2） 由贝叶斯公式有 000()(|)0.8

(|)0.85.()0.94

P A P B A P A B P B β==

== …………………10分

3、解

：22

(0,1),(),.x X N x x ?-

=

-∞<<∞

Y 的分布函数为

2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤ ……………………3分 当0y ≤时，()()0Y F y P Y y =≤=，从而()0.Y f y = ……………………5分

当0

y>

时，2

()(){(

Y

F y P X y P X

=≤=≤≤=Φ-Φ…7分

从而

2

()()((

(

Y Y

y

f y F y??

??-

'''

==Φ-Φ=

=+=

9分所以

20

()

0,0

y

Y

y

f y

y

-

?

≥

=

<

?

……………………………………………10分4、解：由题可知

(),0,1,2,

!

n e

P X n n

n

λ

λ-

==

=

(|)(1),0,1,2,,.

k k n k

n

P Y k X n C p p k n

-

===-=……1分

由全概率公式，得

()()(|).

n

P Y k P X n P Y k X n

∞

=

=====

∑…………2分

因为当n k

<时，()(|)0,

P X n P Y k X n

====所以

(1)

()()(|)

!

(1)

!!()!

()[(1)]

!()!

()

!

()

,0,1,2,

!

n k

n

k n k

n k

k n k

n k

k

p

k p

P Y k P X n P Y k X n

e n

p p

n k n k

p e p

k n k

p e

e

k

p e

k

k

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λλ

λ

λ

∞

=

-

∞

-

=

--

∞

=

-

-

-

=====

=-

-

-

=

-

=

==

∑

∑

∑………………4分

即，一只昆虫所生的幼虫数Y服从参数为p

λ的泊松分布，故

(),().

E Y p D Y p

λλ

==……………………………………6分

5、解(1) 由(2)

00

1d(,)d d e d

x y

x f x y y x A y

+∞+∞+∞+∞-+

-∞-∞

==

????

20

0e d e d 2

x

y A

A

x y +∞

+∞

--==

?

?． 得2A =．………………2分 (2) (,)d (,)d x

y F x y x f x y y -∞

-∞

=??

2002e d e d ,0,0,

0,x y

x y x y x y --?>>?=???

??其它.

2(1e )(1e ),0,0,

0,x y x y --?-->>=??

其它.…………………………5分

图1 图2

(3)如图1所示，{(,)|0}G x y x y =<<，故

{}{}(,)(,)d d G

P X Y P X Y G f x y x y <=∈=??

220

230

d 2

e e d 2e (1e )d 2e d 2e d 211.33

y x y y y y y y x y

y y

+∞+∞

----+∞+∞

--==-=-=-

=????? ……………………10分

(4) X 与Y 的边缘密度分别为

(2)02,0,0

()()0,00,0x y x X e

dy x e x f x f x y dy x x +∞

-+-+∞

-∞

??>>?===??

≤??≤???， (2)202,02,0

()()0,0

0,

0x y y Y e

dx y e y f y f x y dx y y +∞

-+-+∞

-∞

??>>?===??

≤??≤???

， 显然, (,)()()X Y f x y f x f y =成立,故X 与Y 独立. ……………………15分 6、解: 假设i X 表示每i 次计算时,所得到的误差,则

~(0.5,0.5)i X U -,1,2,

,1500i =,……………………1分

15001

i i X X ==∑表示1500个数相加,所得到误差总和,则1500

0,12512

EX DX ==

=,

根据中心极限定理, X近似地正态分布(0,125)

N.………………3分

(1)

{}{

}

15115151[(15)(15)]

122

2(10.9099)0.1802.

P X P X F F

>=--≤≤=---

?

=-Φ+Φ=-Φ

?

=-=

……………5分

(2)假设最多可有n个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90，则

1

100.90

n

i

i

P X

=

??

<≥?

??

??

∑

1

1010

n

i

n

i

i

X

P X P

=

??

??

??

-<<=<<

??

??

??

??

∑

∑

210.9

=Φ-≥……………………………………9分

解得443.45

n≤，即最多可有443个数相加.………………………10分