合作博弈理论初步

合作博弈
• 合作博弈简介 • 两人讨价还价问题 • 联盟博弈
博弈的分类
1、博弈方的数量： 单人博弈、两人博弈和多人博弈
2、博弈方策略的数量：有限博弈 无限博弈 3、得益情况：常和博弈 变和博弈 4、信息结构：（不）完全信息博弈
（不）完美信息博弈 5、博弈方的理性和行为逻辑差别：
完全理性博弈 有限理性博弈 合作博弈 非合作博弈
博弈的分类
博弈方决策行为的目标： 理性经济人假设人们的决策和行为是以
个体自身利益最大化为根本目标的。 “个体理性”与“集体理性”
集体理性最大化本身不是博弈方的根本目标。 “有约束力的协议” 有效补偿博弈方采取符合集体利益最大化
而不符合个体利益最大化的决策
合作博弈和非合作博弈
我们将（不）允许存在有“约束力协议”的博弈称为 “（非）合作博弈”
• 可以用非合作博弈理论进行分析。 • 两种方法的比较：
1、非合作博弈中博弈方选择的是自身策略 2、 讨价还价中，重要是作为协议对象的，同时 包含双方利益的分配方案
两人讨价还价问题
分配协议：是个二元组S=（s1
,s 2
)，描述了每
个人所得到的利益
效用偶：是个二元组U (u1,u2 ) ，分别描述了双
可以得到Nash解
两人讨价还价问题纳什解导出
命题：
同时满足帕累托效率、对称性、线性变换
不变性、对立与无关选择公理的两人讨价还
价问题的唯一解，就是下列约束最优化问题 的解：
ms1as2x[(u1(s) u1(d ))(u2 (s) u2 (d ))]
S.T.(s1, s2 ) S
(s1, s2 ) (d1, d2 )
两人讨价还价问题纳什解导出
2、对称性公理：如果 B(S, d;u1,u2 )是一个对称的讨价
还价问题，满足(u1, u2 ) U 的条件是 (u2,u1) U ，且 d1 d2 ， 则作为博弈的解必须满足 u2* u1* 。
图示：纳什解必须落在对称线上的
红色部分。
两人讨价还价问题纳什解导出
3、线性变换不变形公理：
这个分类是博弈论最基本的一个分类
合作博弈和非合作博弈的比较
1、个体理性和集体理性 2、二者的联系 3、研究合作博弈的难度大 4、“合作”的意义：前者是博弈的一部分
而后者是结果
合作博弈
“协议”产生的本质原因：
博弈方之间既存在共同利益但利益又不完全一致。 如果博弈方之间的利益完全对立或完全一致，就不
能产生这样一个“协议”。
• 可行分配集：分配协议受问题条件和基本 理性要求的约束--- -可行分配协议
• 效用配置集：可行分配集在效用函数下的 像。
• 以上两个集一般是凸紧集。
• 两人讨价还价问题可以是对称的或不对称 的。
两人讨价还价问题纳什解导出
• 分配满足效率和公平两个基本要求。 1、帕累托效率公理
效率要求是与个体理性没有 矛盾的帕累托效率。
“协议”的内容：
约定行为 利益分配：
关于利益分割的讨价还价，是合作博弈的共同 特征。
达成“协议”的前提：
通过讨价还价就利益分割达成一致。
合作博弈问题本质上都是关于利益分割的讨价还价
两人讨价还价问题
• “联盟博弈”和“两人讨价还价博弈”是合 作博弈理论的两大研究对象。
• “两人讨价还价博弈”是博弈论最早研究的 问题之一，是合作博弈理论的理论基础。
如果 (s1* s2*) 是一个两人讨价还价问题的解，那么当讨 价还价问题中的效用变换为ui' ai biui 时，(s1* s2*) 仍然是 讨价还价的解。
两人讨价还价问题纳什解导出
4、独立于无关选择公理：
如果B(S, d; u1, u2 ) 和B(S ', d ';u1,u2 )是两个讨价还价
这个解被称为讨价还价的“纳什解”，或者
“纳什讨价还价解”
两人讨价还价问题的K-S解法
• 假设某公司破产清算时有剩余资产K，有两 个债权人持有债券分别为 D1、D2 且 D1 D2 K 1、 D1 D2 2、D1 D2
问题且满足：S
的合作博弈解 (
s1*
S'
s2*
且d d'
) （对应(u1*,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
那么，若 u2* )）落在
B(
S'
S, d;u1, u2 )
中，则(s1* s2*
)
一定也是 B(S ', d ';u1, u2 ) 的解。
两人讨价还价问题纳什解导出
用仿射变换： 1、先通过仿射变换使 原问题的效用集 与扩 展问题的帕累托边界 在解处正好相切。 2、再用逆仿射变换
方对分配协议的主观效用评价。其中ui是局中
人i的期望效用，是可行分配协议集S到实数集 的实值函数，ui : S R
谈判破裂点：二元组d (d1, d2) ，任何谈判都有
破裂的可能，di 表示谈判破裂时局中人i能得到
的利益
两人讨价还价问题
•
一般用 问题
B(
S
,
d
;
u1,
u2
)
表示一个两人讨价还价