求函数极限的几种方法及其应用

求函数极限的几种方法及其应用
作者：李宜丹
来源：《文存阅刊》2017年第01期
摘要：在数学分析中，函数极限思想贯穿于始末，求函数极限的方法也显得至关重要。

本文主要探讨、总结求函数极限的一般方法，而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明，并以实例加以例解。

由于本文通过总结、研究对求函数极限的各种方法的很多细节作了具体注解，使方法更具针对性、技巧性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点，能够做到游刃有余。

结合例题，本文阐述了求函数极限的几种方法，包括利用四则运算及性质、两个重要极限、洛必达法则求极限。

无论是在中学数学还是大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，从量变中认识质变，都要用到极限，因此，极限概念是研究函数的重要概念，具有一定的理论意义和现实意义。

关键词：函数；函数极限；洛必达法则
一、利用函数极限的四则运算及性质求函数极限
应用函数极限的四则运算法则，其前提条件是参加运算的函数首先是收敛函数，其次在做除法运算时，要求必先使分母的极限不为0，因此，为了利用四则运算定理计算函数极限成为收敛函数，需以原分子、原分母中随或增大最快的项除分子、分母，使恒等变形后的分子、分母为满足函数极限四则运算定理条件的收敛函数，值得我们注意的是在应用函数极限的四则运算前，先把所给的商式消去分子分母的公共零因子。

函数极限的四则运算：设，，则
（1）；
（2）；
（3）.
函数极限具有的性质：
性质1（唯一性）：如果存在，则必定唯一。

性质2（局部有界性）：若存在，则在的某空心邻域内有界。

性质3（保序性）：设.
性质4（迫敛性）：设，且在某内有，则.
例1 求，其中.
解分子分母均为无穷多项的和，应分别求和，再用四则运算法则求极限：，
原式 .
例2 求极限：.
解原式.
二、利用两个重要极限求函数极限
两个重要极限是和，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

一般常用的方法是换元法和配指数法。

例3 求极限： .
（分析第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分。

）
解 .
例4 求极限：.
（分析极限与形似，将函数化为，利用，即可求出函数极限。

）
解利用，得.
例5 求极限：.
（分析极限与形似，可以将函数构造上下都为，即可求出函数极限。

）
解利用：，得.
例6 求极限：.
（分析由，可以将极限上下构造，即可求出函数极限。

）
解，.
例7 求极限：.
（分析极限与形似，又有
，即可求出函数极限。

）
解利用：，得原式.
例8 求极限：.
（分析极限分子为，即可构造分母也为，即可求出函数极限。

）
解利用：，原式.
例9 求极限：.
（分析极限与形似，将函数的指数化为即可。

）
解利用：，得原式.
例10 求极限：.
（分析极限与形似，将函数的指数化为即可。

）
解利用：，得原式.
例11 求极限：.
（分析极限与形似，只是多了一个负号，只要将函数指数化为即可。

）解利用：，得原式.
例12 求极限：.
（分析极限与形似，只要将函数的指数化为即可。

）
解利用：，得原式.
例13 求极限：.
（分析极限的倒数与形似，即把指数化为即可。

）
解利用：，得原式.
例14 求极限：.
（分析极限中函数可以通分为与形似的函数，再将函数的指数化为即可。

）
解利用：，得原式.
三、利用洛必达法则求函数极限
洛必达法则为：假设当自变量趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是或都是无穷大；（2）和都可导，且的导数不为；（3）存在（或是无穷大），则极限也一定存在，且等于，即=。

利用洛必达法则求极限，由于分类明确，规律性强，且可连续进行运算，可以简化一些较复杂的函数求极限的过程，但运用时需注意条件。

当为或时，可由洛必达法则。

例15 求.
解由洛必达法则：.
例16 求极限：.
解由洛必达法则：
例17 求极限： .
解由和洛必达法则：
原式
例18 求极限：.
解由洛必达法则：令，原式….
例19 求极限：，其中，.
解由和洛必达法则：
原式
（令）
.
例20 设，证明：.
证明由洛必达法则：
.
例21 设是上的可谓函数，且当时.证明： .
证明是上的可谓函数；
由洛必达法则：
.即 .
例22 求极限：.
解原式，而
.
故原式.
结语：函数极限在的趋近值时，函数极限有多种形式的解法，有一些例题使求函数极限能够简单明了的表达出来。

一般的求函数极限的方法多种多样，有例题的解释能更好的理解这几种方法。

从上述的介绍中可以看出求函数极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。

参考文献：
[1]郝梅. 求函数极限的方法[J]. 福建教育学校学报，2006，34（5）：8-10.
[2]惠存阳. 函数极限定义证明[J]. 延安教育学院学报，2005，04（1）：1-8.
作者简介：李宜丹，（1994-），女，吉林白山人，吉林师范大学研究生部数学学院，研究生，专业是运筹学与控制论。