超静定结构与弯矩分配法

-17.2 -167.2
-34.3 -25.7 115.7 -115.7
0
M B C 0.429 (60) 25.7
0 (3) 最后结果。合并前面两个过程
A MAB
多结点的弯矩分配 ——渐近运算
B
C C
B
MBA MBC
MCB
MCD
D
MB
MC
放松，平衡了
mBA
mBC
-MB
mCB MC’
局部的内力幅值和位移幅值。
P
P
P
P
Pl/4 P
P Pl/4 l/2 l/2
l
μ =1
μ =1/2
多余约束约束的存在， 使结构的强度、刚度、稳 定性都有所提高。
第二节 超静定结构的计算方法概述
1.力法是将超静定结构的多余未知力作为首先解决的对象，通 过把多余未知力计算出未成为已韧力以后，剩下的问题便可归 结为静定结构的计算。
A
EI
B
EI
3m
3m
6m
（1）B点加约束
MAB=

200 8
6

150kN

m
C
MBA= 150kN m
MBC=

20 62 8

90kN m
200kN 60 20kN/m
MB= MBA+ MBC= 60kN m
（2）放松结点B，即加-60进行分配
A -150
A -17.2 A -150
小结：
1、超静定结构是有多余约束的几何不变体系； 2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还 必须考虑变形条件；
如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计
算。再由M=∑MiXi+MP 叠加内力图。如只考虑平衡条件画出单 位弯矩图和荷载弯矩图，Xi是没有确定的任意值。
因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。 3、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征
-4.65 -0.25 -4.90
F
例3. 带悬臂杆件的结构的弯矩分配法。
A
EI=常数
B
C
50kN D
1m
5m
1m
A
EI=常数
B
50kN·m C
50kN D
1m
5m
1m
5/6 1/6
25
50
-20.8 -4.2
-20.8 +20.8
+50
M
A
B
M/2
用弯矩分配法计算，作M图。 10kN/m
取EI=5
有关，即与刚度有关。 荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静
定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内 力重新选择截面。
另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力的目的。
5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较
高的防御能力。
6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小
适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、转动刚度S ： 表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力
SAB=4i
矩。
SAB=3i
1
1
SAB=i
1
SAB=0
SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远 端支承有关， 而与近端支承无关。
二、分配系数 设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD
四、杆端弯矩 :支座对靠近支座的杆件这一端的弯矩 1.计算杆端弯矩的目的 2.近端弯矩和远端弯矩 3.杆端弯矩一律以顺时 针方向为正
五、固端弯矩
固端弯矩：对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩，称为
固端弯矩，用 M表示。
M
M
将每相邻两节点之间的杆件视为一根两端支座为固定支座 的单跨梁，这样的梁在各种外荷载作用下的杆端弯矩叫做固 端弯矩。
0.3 B 0.4
0.445 C 0.333
0.3
0.222
40
-41.7 -41.7
D
-9.3 -18.5 -9.3 -13.9
3.3 3.3 4.4
2.2
-0.5 0.15 0.15 0.2 43.45 3.45 -46.9
1.65 0.07 1.72
E
-1.0 -0.5 -0.7 24.4 -9.8 -14.6
-7.3 2.9 4.4
-0.7 0.3 0.4
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2
-1.5 -0.7
Mij -43.6 43.6
92.6 -92.6 92.6
41.3 -41.3
0
41.3
A 21.9
B
133.1
C
D
M图（kN·m）
1 iAB 6
iBC

2 8

1 4
iCD
SAB = 4i
D
MA
B
如用位移法求解：
于1 是可得
iAD
i A AB
iAC
M AB 4iAB A SAB A
M AC iAC A S AC A
SAB= 3i
M A1B
S AB M S
SAB= i A

MAD
C
M
MAB
m0
M AD 3iAD A SAD A
0.263 0.316 0.421 0.615 0.385
0
0
0
31.25 －20.83 20.83 0 0
－1.37 －2.74 －3.29 －4.39 －2.20
0.42 0.84 0.53 0.27
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
结点 杆端
μ
m
A
E
B
C (-20) F
0.03 0.06 0.03 0.02
－0.01 －0.01 －0.01
M 0 －1.42 －2.85 27.80 －24.96 19.94 0.56 0.29
计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。 有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中
力偶(顺时针为正)
i
i
结点 杆端
2.位移法是通过向原结构中沿独立位移方向人为地添加约束， 并引入未知位移作为首先解决的现象，当把未知的节点位移 计算出来以后，剩下的问题就可以把杆件的杆端弯矩求出， 又使问题成为静定结构的计算。
3. 有限元法或称结构矩阵分析。
4.渐进法
弯矩分配法的基本概念
理论基础：位移法；
弯矩分配法
计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法；
B
150
-90
-60 0.571 0.429
-34.3 B -25.7
0.571 0.429 150 B -90
=
+
0
C 设i =EI/l
计算转动刚度：
SBA=4i
SBC=3i
C
分配系数：BA

4i 4i 3i

0.571
BC

3i 7i

0.429
分配力矩:
C
M B A 0.571 (60) 34.3
1C
1
4
1
E
2
F
4m 5m
4m
43.5 46.9 3.45
A
24.5 14.7 9.8
1.7 4.89
M图 (kN m)
2m 4m
BBA 0.3
BC 0.4 BE 0.3
C CB 0.445

CD

0.333
CF 0.222
mBA= 40kN·m mBC= - 41.7kNwk.baidu.comm mCB= 41.7kN·m

B 3C 200 0
(1)
将上式改写成
B 24 0.3C

C

66.67
0.334
B

(2)
余数
B C

0.3C 0.334B

(3)
第一次
B
近似值
24
20
2.4
2
0.24
结果 精确值
0.2
B=48.84
48.88
C
-66.67 -8
100kN
A EI=1 6m
43.6
B EI=2 4m
92.6
C 4m
41.3
A 21.9
B
C 133.1
EI=1 D 6m
D M图（kN·m）
51.8
56.4
A
B
68.2
求支座反力
B 68.2 56.4
6.9 C
Q图（kN） D
43.6
124.6
上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：
10B 3C 240 0

1 6
B SBA

4
1 6

2 3
S BC

4
1 4
1

2
BA

3 1 2
3

0.4
BC 0.6
C SCB

4
1 4
1
SCD

3 1 6

1 2
CB

1 1 1
2

0.667
CD 0.333
20kN/m
单结点的弯矩分配 ——基本运算
A M AB
B
M BA
M BC
固端弯矩带本身符号 C
MB
=
MB
M BA
M BC
A M AB
M BA B M BC
+
C
-MB
M B M BA M BC
-MB
A
M AB
M B A B M B C
最后杆端弯矩：
C 0
MBA = M BA M B A
MBC = M BC M B C
K1

P 1
Kd

P d
静定梁
超静定梁
1 d
K1

P 1

Kd

P d
2)超静定结构与静定结构相比具有较低的应力 连续性
2.超静定结构的缺点 连续性
1）支座沉降会引起内力和变形
超静定三跨连续梁 支座B相对沉降
可能导致超载
对于超静定结构，可以导致结构变形的任何原因，如相
对的沉陷、温度改变引起的杆件长度变化或者制造误差等， 都会使整个结构产生内力。
-6.67
-0.8
-0.67
-0.08
C=-82.89
-82.06
MBC=
4iBCB+2
iBCC-100
=
4

1 4

48.84

2

1 4

(82.96)

100

92.6
弯矩分配法小结：
1）单结点弯矩分配法得到精确解；多结点弯矩分配法得到渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。 3）结点不平衡力矩要变号分配。 4）结点不平衡力矩的计算：
μ
m
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2i
i
i i
3m
A
AG
AC
0.5
0.5
－15
3m
3m
20kN/m A↓↓↓↓↓↓
4i
G
i
对称结构的计算 SAG=4i SAC=4i SCA=4i SCH=2i SCE=4i
C
2i H i
μAG=0.5 μCA=0.4 μCE=0.4
μAC=0.5 μCH=0.2
A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4i=E4I B
20kN20kN 20
4i=E4I C
4m
MB=31.25－20.83=10.42 MC=20.83－20－2.2=－1.37
2i=E2I.5 i=22E.5I
E
5m
F
5m
1m
结点 杆端
μ
m
A
E
B
C (－20) F
AB EB BE BA BC CB CF FC
AB EB BE BA BC CB CF FC
0.263 0.316 0.421 0.615 0.385
0
0
0
31.25 －20.83 20.83 0 0
－1.37 －2.74 －3.29 －4.39 －2.20
0.42 0.84 0.53 0.27
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
固定
固定 放松，平衡了
-MC’
放松，平衡了
固定
例1.用弯矩分配法列表计算图示连续梁。
20kN/m
100kN
A EI=1 6m
m -60
B EI=2 4m
0.4 0.6 60 -100
C EI=1 D
4m
6m
0.667 0.333 100
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
-33.4 29.4 44
M (S AB S AC S AD ) A
1
M AC

S AC M S
A
MAC
A
A

M S AB S AC
S AD

M S
M AD

S AD M S
A
Aj
S Aj S
A
M Aj Aj M
A
1
分配系数
三、传递系数
MAB = 4 iAB A
固端弯矩之和 （第一轮第一结点）
结点不平 衡力矩
固端弯矩之和 （第一轮第二、三……结点） 加传递弯矩
传递弯矩
（其它轮次各结点）
总等于附加刚臂上的约束力矩
5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
例2. q=20kN/m
D
A
1B 3
M B A
M B C
M B A BA (M B ) M B C BC (M B )
MAB= M AB M AB 然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
例1. 用弯矩分配法作图示连续梁
的16弯7.2矩图。 200kN 115.7 300
M图(kN·m) 20k9N0/m
近端 A
A l
MAB = 3iABA
A
A
MBA = 2 iAB A
远端 B
CAB

M BA M AB

1 2
B
CAB

M BA M AB
0
MAB= iABA
A
A
MBA = - iAB A
B
C AB

M BA M AB

1
在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端 弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
第一节 超静定结构和静定结构的差别
一、几何组成分析 静定梁：
几何可变
静定结构是没有多余约束的几何不变体系
超静定梁：
有多余支座
超静定结构是有多余约束的几何不变体系
二、超静定结构的优缺点
1.超静定结构的优点 1）超静定结构在抵抗外荷载时具有较大的刚度。 刚度：力在所作用点产生单位位移时所需的力。
1 d