大学医用高等数学习题

习 题二
第二章：一元函数微分学
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3. 设 f(x) 在 x=x0 点处可导, 试计算下列极限.
(1) lim x0
f
(x0
2x) x
f
( x0 )
lim 2
2x0
f
(x0
2x) 2x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
( x0 )
2f
( x0 )
(2) lim x0
f
(x0) f (x0 x
x)
lim
2x0
f
(x0
x) x
-2-2x0+x03 =-2x03 +3x03 x03 =-1, x0=-1, y0=-1
切线方程: y+1=-x-1 即 x+y+2=0 法线方程: y+1=x+1 即 y=x
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12.(5)求导数 y x x x
1 1 (x x ) y (x x x ) 2 x x
2 x x x
y
1
ey xe
y
y´=sec2(x+y)(1+y´)
[1-sec2(x+y)]·y´=sec2(x+y)
y sec2 (x y) sec2 (x y) csc2 (x y)
sec2 (x y) 1 tan2 (x y)
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14. (3) x y=y x
两边取对数：y ln x=x ln y
lim n[ln
n
f
( x0
1 )ln n
f
( x0
)]
[ln
f
(
x0
1 n
)ln
f
( x0 )]
lim
1
en
n
f ( x0 )
e e [ln f ( x0 )]
f ( x0 )
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8. 设曲线 y=2x-x3
(1) 求 (1, 1) 点处的切线方程及法线方程; (2) (x0, y0) 点处的切线通过 (0, -2) 点, 求 (x0, y0)
lim f (x) a b
x1
x=1 处左导数: 2xx=1=2 右导数: a
因此有 a=2, b=-1
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*7. 若函数 f(x) 在 x0 点可导, 且 f(x0)≠0, 试计算极限
lim[
f
( x0
1) n ]n
n f (x0 )
e e ln{
lim
[
f
( x0
1) n
]n }
n f ( x0 )
(8) y (x sin x) 1 ex
ln y=1/2[ln x+lnsin x+1/2ln(1-ex)]
y 1 2
xsinx
1-
ex
[
1 x
cot
x
ex 2(1
ex
] )
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14.求由下列方程确定的隐函数的导数.
(1) y=1+xey y´=ey+xeyy´ (1+xey)y´=ey
(2) y=tan(x+y)
点及该点处的切线方程、法线方程.
(1) y'=2-3x3
y´|x=1=2-3=-1
切线方程: y-1= - (x-1) x+y-2=0
法线方程: y-1= x-1 x-y=0
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8.(2)
解: 过 (x0, y0) 的切线方程: y-y0=(2-3x02)(x-x0) 因 y0=2x0-x03 y-(2x0-x03)=(2-3x03)(x-x0) 过 (0,-2), x=0, y=-2 代入:
两边求导数：y ln x y ln y x y
x
y
(4) xy=ex+y
y
ln y ln x
y
x x
y(x ln y y) x( y ln x x)
y
y+xy´=ex+y(1+y´)
y
exy y x exy
xy y x xy
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15.试证明曲线 x y a 上任一点处的切线,
x0
x
3
x2 sin
1
0
1
lim
x lim x2 sin
1
0
x0
x
x0
x
因此函数 f(x) 在 x=0 点处可导.
4
x
(2)
f
(
x)
1
1
ex
0
x0 x0
f(x) 在 x=0 处连续, 由导数定义有:
x
1
0
lim f (0 x) f (0) lim 1 ex
x0
x
x0 x
lim x0
f
( x0 )
f
( x0 )
(3)
lim
n
n[
f
(
x0
1) n
f
(
x0
)]
lim
n
f (x0
1) n 1
f (x0 )
f (x0 )
n
2
(4) lim f (x0 t) f (x0 t)
t 0
h
lim f (x0 t) f (x0 ) [ f (x0 t) f (x0 )]
t 0
t
lim f (x0 t) f (x0 ) lim f (x0 t) f (x0 )
t 0
t
t 0
t
( ) f (x0 )
3
5. 讨论下列函数在点是否可导?
(1)
f
(x)
3 x2
sin
1 x
0
x0 x0
f(x)在 x=0 处连续. 由导数定义有:
f (0) lim f (0 x) f (0)
1
1
1 ex
lim
x0
1 1 1,
而 lim x0
1 1 0
1 ex
1 ex
因此 f(x) 在 x=0 处不可导.
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6. 确定 a, b 的值, 使
f (x)
x2
x 1
在 x=1点处可导.
ax b x 1
解: f(x) 在 x=1 处连续,
lim f (x) 1,
x1
因此有 a+b=1
2 x x x
1 1 (1 1 )
2 x x
2x
2 x x x
4 x x x 2 x 1
8 x x x x x x
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13. (1) y=xlnx
y´=[elnxlnx]´=elnxlnx·2lnx·1/x=xlnx·2lnx/x (5) y = x2x+(2x)x
y´=[e2xlnx+exln(2x)]´ =e2xlnx(2xlnx)´+exln(2x)[xln(2x)]´ = 2x2x(lnx+1)+(2x)x[ln(2x)+1]
y xx (ln x 1)2 xx 1 xx (ln x 1)2 xx1 x
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16.(4) ln x2 y2 arctan y
x
xy y
两边对 x 求导:
1 2
2x 2 yy x2 y2
x2 1 ( y )2
x yy xy y
x
x2 y2 x2 y2
截两个坐标的截距之和为 a
解: 对方程两边求导: 1 1 y 0, y y
2x 2y
x
切线方程:
y y0
y0 x0
(x
x0 )
y
y0 x0
x
y0
x0 y0
y0 ( x0
y0 )
a
y0
化为截距式:
y x 1 a y0 a x0
截距之和为
a( x0 y0 ) a
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16.求下列函数的二阶导数 (3) y=xx ln y=x ln x 1/y·y´=ln x+1 y´=xx(ln x+1)