证明下列条件等价(精)

lim
n
Pn

P0
.
由 点 列 极 限 的 定 义,
0, N 0,n N , Pn U(P0; ), 即在 P0 的任意 邻域内，
都 含 有E中 无 穷 多 个 点.
⑶ ⑴ 显然
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P.105 习题6
6. 若 f (x, y) 在某一区域 G 内对变量 x 为连续，对
| f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
取

m
in
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{ L
,

1
}
,
当
|
x
x0
| ,|
y
y0
|
时,
| f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
| f ( x, y) f ( x, y0 ) | | f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ) |
1. 证明下列条件等价：
⑴ 在点 A 的任何空心邻域 Uo(A) 内都含有E 的点
即对任何 δ> 0 ，有 U 0( A; ) E
⑵ 存 在 各 点 互 不 相 同 的 点列{Pn } E,
Pn

P0 ,
lim
n
Pn

P0
⑶ 在点 A 的任何邻域 U(A) 内都含有E 的无穷多 个点.
变量 y 满足李普希兹条件，即对任何
(x, y) G, (x, y) G
有 | f (x, y) f (x, y) | L | y y |
其中 L 为常数，则此函数在 G 内连续。
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证 因 为 f ( x, y0 ) 对 变 量 x 连 续， 所 以 0, 1 0, 使 得 当| x x0 | 1 时，
L | y y0 | L 2
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证 ⑴ ⑵ 设 0, U 0 ( P0; ) E .
取 1

1 2
, 于 是 存 在P1
U
0 ( P0; 1 )
E;
令 2

1 min{22
,|
P1 P0
|},
取P2 U 0 ( P0; 2 ) E ,
于是有 : P2 P1 , P2 P0 ,
且
|
P2 P0
|
2

1 22
;
P0 P2

P1
1
22
1 2
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继续下去, 可得各点互不相同的点列:
{Pn }
E,
Pn

P0 , |
Pn P0
|
n

1 2n
,
所
以lim n
Pn

P0
.
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⑵ ⑶ 设存在互不相同的点列
{Pn }
E,
Pn

P0 ,