圆形隧道应力场弹性解 (2)

(25)
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11.抗力常数求解
位移协调即在隧道的整个施工过程中，围岩的变形和衬砌结构变形之间的关系。为了 讨论方便，对初始地应力(12) 中释放荷载的径向应力，假设可分为两部分考虑：
一部分为均布压力：（σz+σx）/2;
一部分为呈余弦变化的径向压力：-（σz-σx）/2。
均布压力将在洞室周围产生对称的径向位移和轴向压力;对与余弦变化的径向压力,如果令
(30)
(b4)
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(c1) (d1) (31)
由于均布荷载是圆形衬砌产生轴向压力的主 要因素，令P0'=（σz+σx）/2，衬砌受到的弹 性抗力为ΔP，则地层受到的释放荷载为P0'ΔP，由式(20) 求得在均布释放荷载作用下 的洞周径向位移为（c1）:
(32)
(33)
弹性抗力作用下产生的径向位移为（d1）:
由变形协调条件得：（c1）= （c2），可解 得ΔP=S0为（31）：
由此产生的衬砌轴向压力为（32）: (34)
衬砌内力为（33）： St≠0时，内力为（34）：
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如果衬砌和岩层间存在少量空隙u0，则洞室开挖后地层可发生少量的 自由变形,使结构承受较小的压力。使地层与衬砌间的径向压力由ΔP减少到 ΔP0'，记P1= ΔP - ΔP0' ,意味着在地层与衬砌间施加均布拉力P1 ，使地层 与衬砌间的空隙弥合，由式（c1） 、（d 1）得（e1）：
P0= σz-σx，则从式(20) 可得由释放荷载产生的洞周径向位移及切向位移。 (12)
(a1)
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假设此时衬砌与围岩之间的 径向相互作用力为SnCos2θ、切 向相互作用力为Stsin2θ，则用 结构力学的方法，可求出在径向 相互作用力与切向相互作用力的 共同作用下衬砌各截面变形和内 力计算公式:
(12)
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5.圆形洞室开挖扰动应力函数
地下洞室开挖扰动，实际为 孔口效应问题（半无限体中的空 洞），如下图所示： 将一次应力状态作为孔口远 场应力，（根据初始应力分量形 式），设开挖扰动应力函数为： (a) 将（a）式带入控制方程 （10），得（b）：
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圆形隧道应力场弹性解
报告人：李国锋 2013年11月22日
0.基本内容
1.弹性力学基本方程 2.圆形隧道应力状态分类及基本假设 3.圆形隧道弹性力学基本方程 4.圆形隧道一次应力状态 5.圆形洞室开挖扰动应力函数 6.扰动应力函数中的常数计算 7.叠加求二次应力场应力 8.求二次应力场位移 9.弹性抗力场求解 10.叠加求三次应力场应力及位移 11.抗力常数求解
(e1)
可解得： (35) 那么，衬砌和岩层间存在少量空隙u0下，衬砌的压力为： (36)
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(l)
再将（j）带入应力分量式（14），得：
(k)
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(m) 上方程组联立可解得（n）：
(n)
将常数式（l）和（n）带入扰动应力分量式（14）得开挖后扰动应力分量表达式：
(15)
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7.叠加求二次应力场应力
令λ=σx / σz，水平竖直应力比， 则（16）简化为：
如果不计切向抗力（St = 0 )，则由式 (23)得在径向抗力SnCos2θ作用下洞室周边 各点的径向位移： (b1)
根据围岩和衬砌之间的变形连续条件，应有：
(b2) 由式( a1 )、(26)和( b )得弹性抗力参数：
(26) (27) (b3)
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(28)
(29)
将Sn代入(26),即得仅在法向抗力作用下圆环 衬砌的内力（28）: 如果St≠0，此时变形协调条件必须同时考虑 环向和切向的位移连续，用同样的方法最终 可导出Sn和St的值（29）： 与之相应的衬砌内力为（30）: 最大内力为（b4）:
Airy 应力 函数 控制 方程
(8)
则式（6-8）终简化为一个控制方程： (10)
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4.圆形隧道一次应力状态
由于地层中初始应力的存在， 地下洞室开挖过程破坏原有平衡状
地层任一点初始应力：
态，使得毛洞周边及附近地层应力
重分布，下图为围岩初始应力状态：
(11)
应力分量坐标变换，得极坐 标下初始应力：
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(v)
(w)
则弹性抗力场应力分量为（21）：
(21)
(23)
弹性抗力位移表达式为（22）： (22)
洞室周边（r=a）弹性抗力产生的位移（23）：
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10.叠加求三次应力场应力及位移
三次应力=二次应力+衬砌抗力——（24）=（16）+（21）
(24)
三次位移=二次位移+抗力位移——（25）=（19）+（22）
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1.弹性力学基本方程
平衡 方程 几何 方程 物理 方程 (1) (2) (3)
应力 边界
位移 边界
(4)
(5)
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2.圆形隧道应力场分类及基本假设
由于地层中初应力的存在，地下洞室在开挖的过程中破坏了地层中原有的平 衡状态，使得开挖的毛洞周边以及附近地层中的应力重新分布。如果定义地层中 的原始初应力场为一次应力状态，则洞室开挖后，经应力重新分布，洞室周围的 应力状态称为二次应力状态。衬砌修筑周围地层的变形必然受到衬砌结构的约束， 这又使得二次应力状态有所改变，所以将衬砌后的洞室周围地层的应力状态称为 三次应力状态。即： ①一次应力=原始初应力
②二次应力=一次应力+扰动应力
③三次应力=二次应力+衬砌抗力
基本假设： 1.围岩连续、均质、各相同性， 2.地下工程无限长，可简化为平面问题， 3.埋深问题，影响圈内岩体自重可忽略， 4.初始应力场仅考虑自重应力等。
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3.圆形隧道弹性力学基本方程
平衡 方程 (6) 几何 方程 物理 方程 (7) (9) 由于圆形洞室的纵向长度远大于其横向截 面尺寸，故可将其简化为平面问题。对于圆形 洞室，极坐标系相对直角坐标系简便，则三方 程简化如左所示： 为求解方便引入Airy函数φ（r，θ），使得：
二次应力场 = 一次应力场 （16） （12）
+
扰动应场力 （15）
(17)
经计算分析，毛洞不出现 拉应力条件为： (18)
(16)
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8.求二次应力场位移
扰动应力分量式（15）带入物理方程（8），再带入几何方程（7）积分得（p、q）：
(p)
(q) 联立上两式，并积分得：
(r)
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6.扰动应力函数中的常数计算
洞室开挖后，洞边应为零应力状态，由于初始地应力的存在，为满足 洞边的零应力状态，那么就意味着必须沿洞口周边施加与初始地应力相反 的荷载，即得洞口（r=a）应力边界条件：
(i) 将式（k）带入应力分量式（14），得：
(j)
洞室开挖是一个局部效应，那 么远端应力没有影响，则有：
(s)
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由上可得围岩二次应力的位移表达式：
(19)
则洞口边沿位移（r=a）： (20)
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9.弹性抗力场求解
(t) (u) 当对毛洞施做衬砌后，衬砌和岩层形 成一个整体。由于围岩的变形受到衬砌的 限制，衬砌对围岩产生弹性抗力，使其达 到三次应力状态。 设圆形衬砌与围岩的接触面上任意一 点的弹性抗力为（t）或（u），其中S0， Sn,，St均为常数，且S0为均匀抗力;Sn为变 化抗力的最大幅值;St为切向抗力的幅值。 由洞口边界条件为（v），远端边界条 件（k）得应力分量常数： (x) 若St=0，得（w）： 若St≠0，得（x）：
(b)
上式中，要是θ任意角成立，那么有：
(cd)
上两个欧拉方程经计算可得扰动应力函数： (13)
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(13) 根据（9）式可将上式写成扰动应力分量形式：
(14)
其中A、B、C、D、G、F、C’、D‘为待定系数。 若将上式带入本构方程可得应变分量，在带入几何方程积分 可得位移分量。