巴特沃兹滤波器的设计

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《数字图像处理的信号基础》
抽样信号的重构
抽样在频域中的效应
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
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《数字图像处理的信号基础》
抽样在频域中的效应
频率混叠:基带相邻的平移分量一部分翻褶回去或者混叠到 基带中, Gp ( j不W)可能通过滤波分离来恢复出 Ga ( jW)
称为折叠频率或奈奎斯特频率
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《数字图像处理的信号基础》
抽样定理
不同频率模拟正弦信号的抽样效应
对三个纯正弦信号以速率T=0.1s进行抽样,即抽样率为20*PI rad/s,则截止 频率为抽样率的一半,即
Wc = 10p
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《数字图像处理的信号基础》
k=- ¥
kWT -
l )dl
å ò å = 1 ¥
T k=- ?
¥
- ? Ga ( jl )d(W-
kWT -
l )dl
=
1¥ T k=- ?
Ga ( jW-
jkWT )
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《数字图像处理的信号基础》
抽样在频域中的效应
å Gp ( jW) =
1¥ T k=- ?
Ga ( jW-
jkWT )
幅Gp度( j缩W是)放频得率到的的W各一频个谱周分期量函之数和,由组成Ga的( jW通)过平移和
平移 的整数倍并且幅度缩放1/T
k=0的项称W为T
的基带部分,其它项称为频率平移部分
频率范围
Gp (2
T /2
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增益为T且截止频率 大于 小于
的理想低通滤波
器来完全恢复ga(t) Wc Wm WT - Wm
包含在ga(t)中的最高频率 通常称为奈奎斯特频率,用来确
定最小的抽样率 恢复信号.频率
称为奈以W奎m保斯证特从率ga(t)的抽样数据中完全
WT = 2Wm
2Wm
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< +?
=1/T
的连续时间傅里叶变换
ga (t)
g[n]的离散时间傅里Ga叶( j变W)换= ò-
¥ ?
ga (t)e-
jWt dt
与
的关G(系jw？) =
+?
å
g [n]e- jwn
n= - ?
Ga ( jW) G( jw)
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- T /2
jkWT t dt =
1 T
,
WT
=
2p
/T
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《数字图像处理的信号基础》
抽样在频域中的效应
p(t)可展开成
因此有
邋 ò p(t) = ゥ d(t - nT ) = 1 ¥ ee±jkjWxyTdt x = 2pd( y)
n= - ?
T k- -??
抽样在频域中的效应
抽样运算在数学上表示为 ¥ga和(t)周期冲激序列p(t)的乘积
p(t) = å d(t - nT )
相乘后产生一个冲激序n列= - ? g p (t) ¥ g p (t) = ga (t) p(t) = å ga (t)d(t - nT ) n= - ?
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《数字图像处理的信号基础》
例:对连续时间信号进行不同抽样率的抽样
连续时间信号为 信号的带宽大约为1Hz
jW¥nT
G
-?
e jq
H
e j(w- q)
dq
p(t)为周期为TG的p (序jW列)=,展21开p ò成- ¥?傅G里a (叶jq)级P数( j(为W- q))dq
其中
ゥ
p(t) = 邋 d(t - nT ) =
P(kWT )e jkWT t
n= - ?
k -?
ò P(kWT )=
1 T
T /2 d(t)e-
连续时间信号的抽样
将连续信号变成数字信号是在计算机上实现信号数字处理 的必要步骤
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《数字图像处理的信号基础》
抽样在频域中的效应
设 ga 是(t)连续时间信号,在t=nT时均匀抽样得到序列g[n]
T称为抽样周期,T的g[倒n]数= 为ga抽(n样t)率,-F?T,即FnT
邋 ò 将上式代入P到(调jW制) 定= 理1公式ゥ 中,有¥
T k=- ? - ?
e- jWt e jkWT t dt =
2p Tk
-?
d(W-
kWT )
å Gp ( jW)=
Ga
(
jW)*
轾犏犏臌2Tp
¥ k= -
?
d(W-
kWT )
ò å = 1 2p
2p T
¥
¥
-?
Ga ( jl ) d(W-
《数字图像处理的信号基础》
抽样定理
不同频率模拟正弦信号的抽样效应
考虑三个正弦信号:
它们的傅里g1叶(t)变=换co分s(别6p为t), g2 (t)= cos(14pt), g3 (t)= cos(26pt)
G1( jW)= p 轾 臌d(W- 6p)+ d(W+ 6p) G2 ( jW)= p 轾 臌d(W- 14p)+ d(W+ 14p) G3 ( jW)= p 轾 臌d(W- 26p)+ d(W+ 26p)
WT 2
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《数字图像处理的信号基础》
奈奎斯抽特样条定件 理
设ga(t)是一个带限信号,当 W> 时Wm,有 Ga ( jW)=.若0 WT 砏2 m
则ga(t)可以通过它的抽样ga(nT)唯一地确定, - ? n < ? .
其中,
给定{ga(t)}W,可T =以2通p 过/ T产生一个冲激序列gp(t),并把通过一个
抽样定理
若抽样率高于奈奎斯特率,则抽样运算称为过采样 若抽样率低于奈奎斯特率,则抽样运算称为欠采样 若抽样率等于奈奎斯特率,则抽样运算称为临界采样(Critical
Sampling) 典型抽样率
数字电话的带宽为3.4kHz,抽样率为8kHz 光盘CD音乐系统的带宽为20kHz,抽样率为44.1kHz 数字图像的下采样
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《数字图像处理的信号基础》
抽样在频域中的效应
由CTFT的时移特性,平移冲激函数 d(t - n的T )CTFT为
DTFT (d(t - nT )) = e- jWnT
则有
¥
å ò ( ) ( ) 由傅里叶变换的调G制p定( jW理g)[n,=]hn=[n- ]?
gaF (nT1)e-
2p