§47单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

§4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

一.直纹曲面的概念:

直纹曲面的概念:由一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面.

直母线的概念:,构成直纹曲面的那族直线叫做这曲面的一族直母线.

显然,柱面和锥面都是直纹曲面.

二.单叶双曲面的直母线

定理 单叶双曲面Σ 122

2222=−+c z b y a x 是直纹曲面,它有两族直母线

u 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)

1()(1()(1221

b y

u c z a x u b y

u c z a x u l u 其中21,u u

不全为零.

v 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧

+=−−=+)

1()()

1()(1221b y v c z a x v b y

v c z

a x v l v 其中21,v

v

不全为零.

证明:由单叶双曲面方程 122

2222=−+c z b y a x 得 22

22221b y c z a x −=− 有 )1)(1())((b y

b y

c z

a x

c z

a x

+−=+− 设 21:)1(:)()(:)1(u u b y

c z

a x c z a x

b y =−−=++ 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)

1()()

1()(1221

b y u

c z

a x

u b y

u c z a x u l u 其中2

1,u u 不全为零.

对于21,u u 一组确定的值,u l 表示一条直线,当21,u u 变化取不同的值时, u l 就确定

了一族直线.

下证直线族u l 中的任何一条直线上的点都在曲面Σ上.

设点),,(1111z y x P 是满足u l 的点,则

⎪⎩⎪⎨⎧−=−+

=+)1()()1()(1111212111b

y u c z a x u b y u c z a x u )1()(2212122122121b

y u u c z a x u u −=− 所以 1221221221=−+c

z b y a x 因此,满足u l 方程的点在曲面Σ上,所以直线族u l 中的任何一条直线上的点都在曲面Σ上.

再证

点),,(0000z y x P 是单叶双曲面Σ上的任一点,则

12

20220220=−+c z b y a x 有 )1)(1())((000000b

y b y c z a x c z a x +−=+− 不妨设010≠+b

y (因为b y 01+与b y 01−不可能同时为零,否则有b y =0和b y −=0,所以0=b ,这与0>b 矛盾) ①若000≠+c

z a x ,取21,u u ′′使得 )1()(02001b

y u c z a x u +′=+′ 则有 )1()(01002b

y u c z a x u −′=−′ 所以),,(0000z y x P 在直线族u l 中的一条直线u l ′上 ②若000=+c z a x ,则010=−b

y 即 ⎪⎩

⎪⎨⎧=−=+010

000b y c z a x

所以),,(0000z y x P 在直线族u l 中的一条直线上.

因此曲面Σ上的任一点在直线族u l 中的某一条直线上.

这就证明了曲面Σ由直线族u l 构成,因此单叶双曲面Σ是直纹曲面,而u l 是曲面的一族直母线,称为u 族直母线 同理可设 21:)(:)1()1(:)(v v c

z a x b y b y c z a x =+−=+− 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+)1()()1()(1221b y v c

z a x v b y v c z a x v l v 其中21,v v 不全为零. 定理:单叶双曲面上有两族直母线,每一族都能产生整个曲面,在曲面上每一点都是的两条不同的直母线经过.

推论:对于单叶双曲面上的点,两族直母线中各有一条通过这点.

三.双曲抛物面的直母线

定理 双曲抛物面Σz b

y a x 222

22=−是直纹曲面,它有两族直母线为 u 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+z b y a x u u b y a x l u )(2; v 族直母线： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=−z b

y a x v v b y a x l v )(2 证明 由z b

y a x 22222=−得,z b y a x b y a x ⋅=−+2))((, 设 u b

y a x z b y a x =−=+)(:2:)( 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+z b

y a x u u

b y a x l u )(2 同理可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=−z b

y a x v v

b y a x l v )(2 定理:双曲抛物面上有两族直母线,每一族都能产生整个曲面,在曲面上每一点都是的两条不同的直母线经过.

推论:对于双曲抛物面上的点,两族直母线中各有一条通过这点.

四.单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的性质

1.单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面,而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交.

2.单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线,而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面.