第2课时——正弦定理(2)(教、学案)

第2课时 正弦定理（2） 【学习导航】

知识网络 正弦定理→测量问题中的应用

学习要求

1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；

2．学会用计算器，计算三角形中数据。 【课堂互动】

自学评价

1．正弦定理：在△ABC 中，===C

c B b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=

（2）R a A 2sin =，R b B 2sin =，R

c C 2sin = 2．三角形的面积公式：

（1）C ab s sin 2

1==A bc sin 21=B ca sin 21 （2）s=C B A R sin sin sin 22

（3）R

abc s 4= 【精典范例】

【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）． 分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑

解△ＡＢＤ．

【解】

过点Ｄ 作ＤＥ ∥ＡＣ 交ＢＣ 于Ｅ，因为 ∠ＤＡＣ ＝２

０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°． 在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得21000sin sin =∠∠=ABD ADB AD AB （ｍ）．

在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１0002ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）． 答 山的高度约为８１１ｍ．

【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？

（819.055sin ,766.050sin 00≈≈）

分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ；

（2）求三角形的高。

【解】

（1）先分别沿A 、B 延长断边，确定交点C ，∠C=1800-∠A-∠B ，用

正弦定理算出AC 或BC ；sin sin AB AC B C

=⋅ 00120sin 55101.8sin 75

=⋅≈ （2）设高为h ，则

7850sin 8.101sin 0≈⋅=⋅=A AC h

【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。（请用计算器解答，精确到1.0）

【解】

连接BD ，设∠BDC=α，则由正弦定理知

DBC

DC BDC BC ∠=∠sin sin ，即 )

60sin(50sin 700αα-= 05.3517

37tan ≈⇒=⇒αα，从而有 0005.695.35105=-=∠BDA ，

4.1045

.35sin 120sin 00≈⇒=BD BC BD ，由 于BAD

BD BDA AB ∠=∠sin sin ，即 2.10175

sin 4.1045.69sin 00≈⇒=AB AB ， 而梯形的高

33560sin 70sin 0==∠=ABC BC h 所以有1()2

ABCD S CD AB h =+ 1

(50101.2)4583.02

=+⋅

注：本题也可以构造直角三角形来解，过C 作CE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F 即可。

【例4】已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、

∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a =4，b =5，S =35，求c 的长度。

【解】

由三角形的面积公式得：11sin 45sin

22S ab C C ==⋅⋅⋅ sin C ==

1cos 2

C c ⇒=±⇒=

=， 6121或=c 追踪训练一

1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( D

A.103海里

B.

3610海里 C. 52海里 D.56海里

2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( A )

A. 1公里

B. sin10°公里

C. cos10°公里

D. cos20°公里

3．如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ，求此山对于地平面的斜度θ

【解】在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒-15︒ = 30︒ 由正弦定理： 15

sin 30sin 100BC = ∴BC = 200sin15︒ 在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90︒ + θ 由正弦定理：

)

90sin(15sin 20045sin 50θ+=

⇒c os θ =13-, ∴θ = 4294︒

【选修延伸】

【例5】在湖面上高h 处，测得云彩仰角为α，而湖中云彩影的俯角为β，求云彩高.

【解】C 、C ’关于点B 对称，设云高C E = x ，

则CD = x - h ，C ’D = x + h ，