第7章_生成函数

fn (x) C(n,0) C(n,1)x C(n, 2)x2 C(n, r)xr C(n, n)xn (1 x)n
通过对(1 x)n的运算，可能导出一系列组合数的关系式，例如：
n
i0
n i
2n
,
n
i0
i
n i
n
2n1,
. 由恒等式
(1 x)mn (1 x)m (1 x)n
23 14
10 1
17 8
10 2
11 2
10 3
2930455.
i=20 j=0
i=14 j=1
i=8
i=2
j=2
j=3
故所求概率为
2930455 610
0.0485.
7.1.2 形式幂级数
一个有限或无限数列 a0,a1,a2,
表达式 A(x) a0 a1x a2x2 称为 R 上的形式幂级数
(2) D( A(x) B(x)) A(x)DB(x) B(x)DA(x) (3) D( An (x)) nAn1(x)DA(x)
第7章 生成函数
又称母函数或发生函数，可求解组合计数问题。
在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时， 生成函数是组合数学中的基本而重要的手段和方法，它是连接 离散数学与连续数学的桥梁，组合数学中的问题能借助于生成 函数的方法、原理，获得统一的处理和解决方式。
生成函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级 数一一对应起来，从而把离散数列间的组合关系转换为多项式 或幂级数之间的运算。
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例 4 投掷一次骰子，出现点数 1，2，…，6 的概率均为1 ，问连续
6
投掷两次，出现的点数之和为 10 的概率有多少？
解 一次投掷出现的点数有 6 种可能，连续两次投掷到的点数构
成二元数组i, j1 i, j 6，共有62 36种可能，由枚举法，两次出现
的点数之和为 10 的有 3 种可能；（4，6），（5，5），（6，4），所以概 率为 3 1 .
, x 是 R 上的未定元，
anxn
这里 x 只是形式上的变量，一般情况下不考虑级数的收敛问题。
R 上的形式幂级数的全体记为 R[[x]] . 在 R[[x]] 中适当定义
加法和乘法运算，使它成为一个整环。
定义 5.2.1
设
A( x)
ak
xk
与
B(x)
bk
xk
是
R
上的两个形式幂级数，若对于
k 0
xm xn x10,
即m n 10，由此得出，展开式中 x10 的系数就是满足条件的方 法数。
同理，连续投掷 10 次，其和为 30 的方法数为
中 x30 的系数，而
(x x2 x 3 x 4 x 5 x ) 6 1 0
(x x2 x 3 x 4 x 5 x ) 6 1 0
x10 (1
A( x)
ak
xk
，
A(x)
有
k 0
乘法逆元当且仅当 a0 0 . 若设 A~(x) a~k xk 是 A(x) 的乘法逆 k 0
元，则有 a~0 , a01
a1 a2 a3 ak1 ak
a0 a1 a2 ak 2 ak 1
a~k
(1) k a0 (k1)
a
a
a
a
ak2
0 0 0 a1 a2 0 0 0 a0 a1
36 12
如果问题是连续投掷 10 次，其点数之和为 30 的概率有 多少？
用多项式
x x2 x3 x4 x5 x6
表示投掷一次可能出现点数 1，2，…，6，两次投掷表示为
(x x2 x3 x4 x5 x6 )(x x2 x3 x4 x5 x6 ).
若出现点数m, n，即从两个括号中分别取出 xm 和 xn ，使
k 0
任意 k 0，有 ak bk ，则称与相等，记作 A(x) B(x) 。
定义 5.2.2 定义 5.2.3
设
为任意实数
，
A(
x)
ak
x
k
R[[x]]，则将
k 0
A(x) (ak )xk k 0
叫做 与 A(x) 的数乘。
设
A( x)
ak
xk
与
B(x)
bk
xk
是
R
上的两个形式幂级数，
,
bk
}的
n
组合数
k
n n
1的生成函数。
解 该数列记作an，它的生成函数是 gk (x)，则
gk
(
x)
k
0
1
k 1
x
k
n n
1
xn
1 (1 x)k
(1 x)k
Ref:pp. 54 牛顿二项式
(1
x)k
n0
(1)n
k
n 1 n
xn , (1
x)k
k
n0
n n
1
xn
7.1 .1 引论
定义 设于一个有限或无限数列
做形式幂级数
a0,a1,a2, ,
A(x) a0 a1x a2x2 anxn
称 A（x）为序列a0,a1,a2, 的生成函数，并记为 Gan.
这里 x 只是形式上的变量，一般情况下不考虑级数的
收敛问题。
例 1 组合数序列C( n, r，) r 0 , 1 , 2 , n的, 生成函数是
k 0
k 0
将 A(x) 与 B(x) 的相加和相乘定义为
A(x) B(x) (ak bk )xk k 0
A(x) B(x) (ak b0 ak1b1 a0bk )x k k 0
定理 5.2.1 集合 R[[x]]在上述加法和乘法运算下构成一个整
环。
定理 5.2.2
对
R[[x]] 中的任意 一个元素
(k 1)
定义 5.2.4 对于任意 A(x) ak xk R[[x]] ，定义 k 0
DA(x) kak x k1 k 1
称 DA(x) 为 A(x) 的形式导数。
规定
D0 A(x) A(x)
Dn
A(x)
D(D
n1
A(
x))
(n 1)
形式导数满足一下规则：
(1) D( A(x) B(x)) DA(x) DB(x)
可以推导出 Vandermonde 恒等式
m
r
n
r k 0
m k
r
n
k
.….P43
(4.9)式
例 2 无限数列{1,1, , }的生成函数是 1 1 x x2 xn
1 x
例 3 求 数 列 a1, a2, , an , 的 生 成 函 数 ， 其 中 an 是 多 重 集
{ b1, b2,
x
x2
x3
x4
x5 )10
x10
xk
10
x
k
k0
k6
x10
k 0
xk
x6
k 0
xk
10
x10
k 0
xk
10
1 x6
10
x10 (1
x)10 (1
x6 )10
x10
i0
10
1 i i
xi
10
(1) j
j0
10 j
x6 j
所以， x30 的系数为
29 20