多重分形奇异谱的几何特性I_经典Renyi定义法_周炜星

多重分形奇异谱的几何特性I_经典Renyi定义法_周炜星
Vol.26No.42000-08华东理工大学学报
Journ al of East Chin a University of Science an d T echnology 基金项目:国家重点基础研究发展规划项目(G1999022103)E -mail:****************.cn收稿日期:1999-09-08
作者简介:周炜星(1974-),男,浙江诸暨人,博士生,现从事湍流中非
线性现象的理论和实验研究。

文章编号:1006-3080(2000)04-0385-05
多重分形奇异谱的几何特性
I .经典Renyi 定义法
周炜星*
, 王延杰, 于遵宏
(华东理工大学洁净煤技术研究所,上海200237)
摘要:研究了经典多重分形理论中广义维数和奇异谱的几何特性,通过严格的数学推导证明了
广义维数D ~q 、质量指数S ～(q )、奇异性指数A ～(q )和奇异谱f ～(A ～(q ))的单调性和极限,并提出了判定合理奇异谱f ～(A ～(q ))的准则。

关键词:多重分形;奇异谱;广义维数;经典Renyi 定义法中图分类号:O4;O184
文献标识码:A
Geometrical Characteristics of Singularity Spectra of Multifractals
I .Classical Renyi Definition
ZH OU W ei -x ing *
, W A N G Yan -j ie , YU Zun -hong
(I nstitute of Clean Coal T echnology ECUS T ,Shanghai 200237,China )
Abstract :It is w ell know n that multifractal theo ry is an
effective and w idely applied method to charac-terize a lot of nonlinear physical pheno mena in nature .In this paper ,the geometrical characteristics of sin-gularity spectra of multifractals defined via classical Reny i information are studied.The relev ant pr operties of the generalized dim ensio ns,scaling ex ponents,sing ularity str ength and singularity spectrum are derived rigo rously.It seems that the curve o f generalized dim ensions is sim ilar to that o f singularities w hen para-meter q tends to infinity .Especially ,we sho uld point o ut that singularity spectra cur ve lies in the first quadrant,w hose endpo ints are not necessary to be nought.An analy tical but simple pr ocedure to calculate the asym ptotic value at infinite is presented.It is found that different alg orithm s of first order derivative,and the com putation spacing as w ell ,lead to different multifractal spectrum .Therefore ,a criterion is sug-gested to determ ine the proper sing ular ity spectr um .T his is based on the fact that ,the curve of the m ulti-fractal spectrum is tangent to the diag onal of the first quadr ant,w hich implies that f ≤A for all q .Further-more,there is only one point o f intersection between tw o m ultifractal spectra arising from tw o different sy stems ,w hich is suppor ted by ex perimental and num er ical results .
Key words :multifractal;sing ularity spectrum;generalized dimension;classical Reny i definition
自从M andelbro t 在70年代提出分形概念以来,分形理论在物理、天文、地理、数学、生物、化
学[1～7]、计算机[8]
等科学领域得到了广泛的应用,并取得了大量富有新意的成果。

但是,随着理论研究和应用的深入,研究者们越来越清楚地意识到,对于大多数客观存在的分形物体而言,仅用一个分形维数并不能完全刻画其结构。

80年代初,Grassber ger 等系统地提出了多重分形理论,用广义维数和
多重分形谱来描述分形客体,考虑了物理量在几何支集的
385
空间奇异性分布[9～11],因而在湍流、DLA、地震[12～13]等几乎所有涉及分形的领域迅速地取得了广泛应用。

通过计算机模拟或实验测定,可以得到广义分维和多重分形谱,但对其中不少结论存在着争议,因而有必要系统地研究广义分维和多重分形谱的几何特性,提出实际数值计算中对奇异谱的判定准则。

本文以多重分形理论为基础,重新定义并研究了4个连续函数D~q、S～(q)、A～(q)和f～(A～(q))的几何特性,提出了计算多重分形谱f(A)的判定准则。

1 用Reny i信息量定义多重分形的基本原理
设F是d维分形空间(Fractal Space[8])上的分形集,一般地,我们可以用N个尺度为E i(i=1,2…N)的互不相交的d维微元C i将F覆盖,并在每个d维立方体C i上定义归一化概率测度P i。

命E= max{E i∶i=1,2…N},如果E足够小,那么可以认为P i在C i上的分布是均匀的,则可以定义奇异性标度指数A为
P i～E A i(1)其中测度的不同区域有一A与之对应。

特别地,用N 个具有相等尺度E的互不相交的d维立方体覆盖分形集F,假设A在区间[A′,A′+d A′]上取某个值的次数为
Q(A′)E-f(A′)d A′(2)其中,Q(A)表示奇异值A的密度,连续函数f(A)反映了A取值的次数。

为确定连续函数f(A),需要引入可测量的维数集合广义维数D q,Grassberg er、Hentschel和Pro-caccia等人将之定义为[9～10]
D q=lim
E→0
1
q-1
lg V(q)
lg E
(3)
其中
V(q)=∑N
i=1
P q i(4)是概率测度的q阶矩。

显然,D0是测度支集上的分
形维数D f,D1=lim
q→1
D q为信息维数R,D2是容量维数M。

将方程(1)和(2)代入(4),得到
V(q)=∫E q A′Q(A′)E-f(A′)d A′(5)假定Q(A′)非零,由于E很小,故式(4)的积分在q A′-f(A′)取极小值时对V(q)贡献最大。

因而我们可用A(q)代替A′,其中A(q)满足极值条件
d
d A′
[q A′-f(A′)]?A′=A(q)=0(6)
d2
d(A′)2
[q A′-f(A′)]?A′=A(q)>0(7)于是
f′(A(q))=q(8)
f″(A(q))<0(9)定义函数S(q)为
S(q)=q A-f(A)(10)则由式(3)得
D q=
S(q)
q-1(11) 所以,如果知道f(A)和A值的谱,便可以求出广义维数D q。

同样,如果知道了广义维数D q,由式(8)和(10)可得奇异值A的计算公式A(q)=S′(q)(12)并由式(10)求出f(A)。

在实际应用中,只要测定归一化概率测度P i,就可以计算广义维数D q,从而得到多重分形的奇异性谱f(A)。

但是实验研究发现,计算时对分形集F 的划分、计算步长及计算方法选择不同,可能得到存在某种相关性但具有完全不同的几何特性的一族奇异谱f(A)。

2 多重分形的几何特性
Hentschel和Procaccia首先较为系统地研究了奇怪吸引子的无穷
广义维数集合D q在q>0时的性质[10],本文将他们的结果进行推广,考察了更为一般的情况。

设多重分形集处于无标度区,对于一E∈(0,1),N=
[1/E]+1[1/E]<1/E
[1/E][1/E]=1/E
,任意给定测度P i∈(0,1),满足归一化条件∑
N
i=1
P i=1,记P max=
max
i=1,2…N
{P i},P min=min
i=1,2…N
{P i},-∞<q<+∞,[?]表示取整函数。

< bdsfid="138" p=""></q<+∞,[?]表示取整函数。

<>
2.1 广义维数D~q的性质
定理1 定义关于实数q的连续函数
D~q=
1
q-1
lg∑
N
i=1
P q i
lg E
(13)那么
(1)D~′q≤0,当且仅当所有P i相等时“=”成立;
(2)极限D~+∞和D~-∞都存在,并且
386 华东理工大学学报第26卷
D ~+∞>lim q →+∞D ~q =lg P max /lg
E (14)D ~-∞>lim q →-∞
D ~q =lg P min /lg
E (15)
证明(1)由推广的H lder 不等式[14～15]
知,对于任意给出的正数列{a i ∶i =1,2…N }及实数-∞<+∞,有<=""
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" (P
<+∞,有<="" i
<+∞,有<="" A s i
<+∞,有<="" )
<+∞,有<="" 1s
<+∞,有<="" ≤
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" (P
<+∞,有<="" i
<+∞,有<="" A t i
<+∞,有<="" )
<+∞,有<="" 1t
<+∞,有<="" 当且仅当A i 全相等时取等号。

命A i =P i ,则知∑N <+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" (P i ?P q -1
<+∞,有<="" i
<+∞,有<="" )
<+∞,有<="" 1q -1
<+∞,有<="" 关于q 单调递增,所以D ~q 关于q 单调递减,即
<+∞,有<="" D ~′q ≤0
<+∞,有<="" (16)
<+∞,有<="" 当且仅当所有P i 相等时“=”成立。

<+∞,有<="" (2)当q →+∞时,P q
<+∞,有<="" i ≤P q
<+∞,有<="" max ,q -1>0,于是
<+∞,有<="" P
<+∞,有<="" q
<+∞,有<="" max
<+∞,有<="" <
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P q i ≤N ?P
<+∞,有<="" q max
<+∞,有<="" (17)
<+∞,有<="" ∴lim q →+∞1q -1?lg (N ?P q
<+∞,有<="" max )lg E ≤D +∞≤ lim q →+∞
<+∞,有<="" 1q -1?lg P q max
<+∞,有<="" lg E (18)
<+∞,有<="" ∴ D ~+∞>lim q →+∞D ~q =lg P max /lg E 当q →-∞时,P q
<+∞,有<="" i
<+∞,有<="" ≤P
<+∞,有<="" q min
<+∞,有<="" ,q -1<0,于是
<+∞,有<="" P
<+∞,有<="" q
<+∞,有<="" min
<+∞,有<="" <
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P
<+∞,有<="" q i
<+∞,有<="" ≤N ?P q
<+∞,有<="" min
<+∞,有<="" (19)
<+∞,有<="" ∴lim q →-∞1
<+∞,有<="" q -1?lg P q
<+∞,有<="" min lg E ≤D -∞≤ lim q →-∞
<+∞,有<="" 1
<+∞,有<="" q -1?lg (N ?P q
<+∞,有<="" min
<+∞,有<="" )lg E (20)
<+∞,有<="" ∴ D ~-∞>lim q →-∞D ~q =lg P min /lg E 2.2 质量指数S ～
<+∞,有<="" (q )的性质
<+∞,有<="" 定理2 定义关于实数q 的连续函数
<+∞,有<="" S ～
<+∞,有<="" (q )=lg
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P q i
<+∞,有<="" /lg E
<+∞,有<="" (21)那么
<+∞,有<="" (1)S ～(q )=(q -1)D
<+∞,有<="" ~q ;(22)
<+∞,有<="" (2)S ～
<+∞,有<="" ′(q )>0;
<+∞,有<="" (3)S ～
<+∞,有<="" ″(q )≤0,当且仅当所有P i 相等时“=”成立;
<+∞,有<="" (4)极限S ～
<+∞,有<="" (-∞)和S ～
<+∞,有<="" (+∞)都不存在。

<+∞,有<="" 证明(1)比较D ~q 和S ～
<+∞,有<="" (q )的定义即得。

<+∞,有<="" (2)对式(21)求导,得
<+∞,有<="" d S ～
<+∞,有<="" (q )d q =1lg E
<+∞,有<="" ?∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" (P q
<+∞,有<="" i
<+∞,有<="" lg P i )
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P
<+∞,有<="" q i
<+∞,有<="" >0
<+∞,有<="" (23)
<+∞,有<="" (3)对式(23)求导并利用柯西不等式,得d 2S ～<+∞,有<="" (q )
<+∞,有<="" d q 2
<+∞,有<="" =∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P q i
<+∞,有<="" ?∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" [P q i
<+∞,有<="" (lg P i )2
<+∞,有<="" ]-∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" (P q
<+∞,有<="" i lg P i )
<+∞,有<="" 2
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P
<+∞,有<="" q i
<+∞,有<="" 2
<+∞,有<="" lg E
<+∞,有<="" ≤0
<+∞,有<="" (24)
<+∞,有<="" 当且仅当P q
<+∞,有<="" i (lg P i )2=K ?P q
<+∞,有<="" i 时,等号成立,此时P i =1/N 。

<+∞,有<="" (4)结果显然,可以用反证法和极限定义证明之。

<+∞,有<="" 2.3 奇异性指数A ～
<+∞,有<="" (q )的性质
<+∞,有<="" 定理3 定义关于实数q 的连续函数
<+∞,有<="" A ～
<+∞,有<="" (q )=
<+∞,有<="" 1lg E
<+∞,有<="" ?∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" (P
<+∞,有<="" q i
<+∞,有<="" lg P i )
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P
<+∞,有<="" q i
<+∞,有<="" 那么
<+∞,有<="" (1)A ～(q )=S ～
<+∞,有<="" ′(q );
<+∞,有<="" (26)
<+∞,有<="" (2)A ～
<+∞,有<="" ′(q )≤0,当且仅当所有P i 相等时“=”成
<+∞,有<="" 立;
<+∞,有<="" (3)极限A ～
<+∞,有<="" (-∞)和A ～
<+∞,有<="" (+∞)都存在,并且
<+∞,有<="" A ～min =A ～(+∞)>lim q →+∞
<+∞,有<="" A ～(q )=D
<+∞,有<="" ~+∞=lg P max
<+∞,有<="" lg E
<+∞,有<="" (27)
<+∞,有<="" A ～
<+∞,有<="" max =A ～
<+∞,有<="" (-∞)>lim q →-∞
<+∞,有<="" A ～
<+∞,有<="" (q )=D ~-∞=lg P min
<+∞,有<="" lg E (28)
<+∞,有<="" 证明(1)由A ～(q )和S ～
<+∞,有<="" (q )的定义可以验证之。

<+∞,有<="" (2)定理2已经给出证明,这里给出另一种更为普遍的方法。

d A ～
<+∞,有<="" (q )
<+∞,有<="" d q
<+∞,有<="" =∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" ?∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P q i
<+∞,有<="" (lg P i )2 <+∞,有<="" -∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" (P q
<+∞,有<="" i lg P i ) <+∞,有<="" 2
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P
<+∞,有<="" q
<+∞,有<="" i
<+∞,有<="" 2
<+∞,有<="" lg E
<+∞,有<="" =
<+∞,有<="" 1
<+∞,有<="" lg E ?∑N <+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P
<+∞,有<="" q i
<+∞,有<="" ?
<+∞,有<="" ∑
<+∞,有<="" N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P q
<+∞,有<="" i ?lg P i - <+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" (P q
<+∞,有<="" j lg P j )
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" j =1
<+∞,有<="" P
<+∞,有<="" q j
<+∞,有<="" 2
<+∞,有<="" ≤0(29)
<+∞,有<="" 387
<+∞,有<="" 第4期周炜星等:多重分形奇异谱的几何特性I.
<+∞,有<="" 当且仅当lg P i -∑N
<+∞,有<="" j =1
<+∞,有<="" (P q
<+∞,有<="" j lg P j )
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" j =1P
<+∞,有<="" q
<+∞,有<="" j
<+∞,有<="" =0,即P i =1N
<+∞,有<="" 时,等
<+∞,有<="" 号成立。

<+∞,有<="" (3)由定理2,lim q →+∞
<+∞,有<="" S ～
<+∞,有<="" (q )→+∞,由洛必塔法则,lim q →+∞A ～
<+∞,有<="" (q )=lim q →+∞d S ～
<+∞,有<="" (q )d q
<+∞,有<="" =lim q →+∞S ～
<+∞,有<="" (q )q -1=D ~+∞=lg P max lg E (30)
<+∞,有<="" 又A (q )单调递减,故A ～min =A ～(+∞)>lim q
→+∞
<+∞,有<="" A ～
<+∞,有<="" (q )=D
<+∞,有<="" ~+∞=lg P max lg E
<+∞,有<="" 。

同理可证,A ～max =A ～(-∞)>lim q →-∞A ～(q )=D ~-∞=lg P min
<+∞,有<="" lg E 。

<+∞,有<="" 2.4 多重分形谱f ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (q ))的性质
<+∞,有<="" 定理4 定义关于实数q 的连续函数
<+∞,有<="" f ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (q ))=
<+∞,有<="" 1lg E ?∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" (P
<+∞,有<="" q i
<+∞,有<="" lg P q i
<+∞,有<="" )
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1P
<+∞,有<="" q i
<+∞,有<="" -lg
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1P
<+∞,有<="" q i
<+∞,有<="" (31)
<+∞,有<="" 那么
<+∞,有<="" (1)f ～(A ～(q ))=q A ～
<+∞,有<="" (q )-S ～
<+∞,有<="" (q );(32)(2)f ～
<+∞,有<="" ′(A ～
<+∞,有<="" )=q ;
<+∞,有<="" (33)(3)f
<+∞,有<="" ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (q ))≥0;(34)
<+∞,有<="" (4)当P i 不全相等时
<+∞,有<="" d f ～(A ～
<+∞,有<="" (q ))
<+∞,有<="" d q
<+∞,有<="" <0q >0=0
<+∞,有<="" q =0>0
<+∞,有<="" q <0
<+∞,有<="" ;(35)
<+∞,有<="" (5)f ～
<+∞,有<="" ″(A ～
<+∞,有<="" )≤0
<+∞,有<="" (36)当且仅当所有P i 相等时“=”成立; <+∞,有<="" (6)极限f ～(A ～
<+∞,有<="" (+∞))和f ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (-∞))都存在,并且
<+∞,有<="" f ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (+∞))>lim q→+∞
<+∞,有<="" f ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (q ))=-lg 8/lg E (37)
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (-∞))>lim q →-∞
<+∞,有<="" f ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (q ))=-lg +/lg E (38)
<+∞,有<="" 其中,8=
<+∞,有<="" ∑
<+∞,有<="" N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" P i
<+∞,有<="" P max
<+∞,有<="" 乃值为P max 的P i 的个数,+=N
<+∞,有<="" i =乃值为P min 的P i 的个数。

证明(1)由定义容易验证。

<+∞,有<="" (2)d f ～(A ～
<+∞,有<="" (q ))d A ～(q )=d d A
<+∞,有<="" ～(q A ～
<+∞,有<="" (q )-S ～(q ))=q +
<+∞,有<="" A ～
<+∞,有<="" (q )?d q d A ～-d S ～
<+∞,有<="" (q )d q ?d q
<+∞,有<="" d A
<+∞,有<="" ～=q 。

(3)定义辅助函数
<+∞,有<="" L i (q )=P
<+∞,有<="" q
<+∞,有<="" i
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" j =1
<+∞,有<="" P q j
<+∞,有<="" 1,2…N (39)
<+∞,有<="" 那么
<+∞,有<="" f ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (q ))=1
<+∞,有<="" lg E ?∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" (L i ?lg L i )
<+∞,有<="" (40)
<+∞,有<="" 易证0<="" p="">
<+∞,有<="" ≤1,故f ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (q ))≥0。

<+∞,有<="" (4)d f ～
<+∞,有<="" d q =d d q (q A ～-S ～)=q ?d A ～<+∞,有<="" d q
<+∞,有<="" ,
<+∞,有<="" 由定理3,当且仅当q =0或P i =1
<+∞,有<="" N 时,d f ～
<+∞,有<="" d q =0。

<+∞,有<="" (5)因为f ～
<+∞,有<="" ″(A ～
<+∞,有<="" (q ))=d q /d A ～
<+∞,有<="" ,由定理3知命题为真。

<+∞,有<="" (6)∵lim q →+∞L i (q )=lim q →+∞<+∞,有<="" P q
<+∞,有<="" i
<+∞,有<="" ∑N j =1
<+∞,有<="" P
<+∞,有<="" q
<+∞,有<="" j
<+∞,有<="" =
<+∞,有<="" 1/8P i =P max 0
<+∞,有<="" P i ≠P max
<+∞,有<="" (41)
<+∞,有<="" ∴lim q →+∞f ～(A ～
<+∞,有<="" (q ))=1
<+∞,有<="" lg E
<+∞,有<="" ?lim q →+∞∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" [L i (q )lg L i (q )]=-lg 8
<+∞,有<="" lg E
<+∞,有<="" ∵lim q →-∞L i (q )=lim q →-∞<+∞,有<="" 1∑
<+∞,有<="" N
<+∞,有<="" j =1
<+∞,有<="" P i P j
<+∞,有<="" -q
<+∞,有<="" =
<+∞,有<="" 1/+P i =P min 0
<+∞,有<="" P i ≠P min
<+∞,有<="" (42)
<+∞,有<="" ∴lim q →-∞
<+∞,有<="" f ～(A ～
<+∞,有<="" (q ))=1
<+∞,有<="" lg E
<+∞,有<="" ?lim q →-∞∑N
<+∞,有<="" i =1[L i (q )lg L i (q )]=-lg +lg E
<+∞,有<="" 2.5 三种特殊情况
<+∞,有<="" (1)当物理量在几何支集上均匀分布时,属于
<+∞,有<="" 均匀分形。

此时P i =1/N ,8=+=N ,容易验证: <+∞,有<="" D ~q =A ～(q )=f ～(A ～(q ))=-lg N /lg
<+∞,有<="" E (43)显然,这是均匀分形的盒维数。

<+∞,有<="" (2)当q =0时,d f ～(A ～
<+∞,有<="" (0))/d A ～
<+∞,有<="" =0,对应于奇异
<+∞,有<="" 谱曲线的最高点,此时
<+∞,有<="" D ~0=f ～
<+∞,有<="" (A ～(0))=-S ～(0)=-lg N /lg E
<+∞,有<="" (44)
<+∞,有<="" 388
<+∞,有<="" 华东理工大学学报第26卷
<+∞,有<="" A ～
<+∞,有<="" (0)=d S ～
<+∞,有<="" (0)d q
<+∞,有<="" =
<+∞,有<="" ∑
<+∞,有<="" N
<+∞,有<="" i =1lg P i
<+∞,有<="" N lg E
<+∞,有<="" (45)
<+∞,有<="" (3)当q =1时,
<+∞,有<="" D ~1=A ～(1)=f ～(A ～
<+∞,有<="" (1))=
<+∞,有<="" ∑N
<+∞,有<="" i =1
<+∞,有<="" (P
<+∞,有<="" i
<+∞,有<="" lg P i )/lg E
<+∞,有<="" (46)S ～(1)=0(47)d f ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (0))/d A ～
<+∞,有<="" =1
<+∞,有<="" (48)
<+∞,有<="" 2.6 多重分形谱的判定准则
<+∞,有<="" 定理5 多重分形谱图象y =f ～(A ～
<+∞,有<="" )与直线y =A 相切于(A ～
<+∞,有<="" (1),f ～(A ～
<+∞,有<="" (1)))点处。

<+∞,有<="" 证明函数y =f ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" )过点(A ～
<+∞,有<="" (1),f ～
<+∞,有<="" (A ～
<+∞,有<="" (1)))处的切线斜率为f ～
<+∞,有<="" ′(A ～
<+∞,有<="" )=q =1,又f ～(A ～
<+∞,有<="" (1))=A ～
<+∞,有<="" (1),可见该切线为y =A 。

证毕。

需要指出的是,取
<+∞,有<="" D q =lim
<+∞,有<="" E →0D ~q
<+∞,有<="" (49)S (q )=lim E →0S ～
<+∞,有<="" (q )(50)A (q )=lim E →0A ～(q )(51)f (A (q ))=lim E →0
<+∞,有<="" f ～
<+∞,有<="" (A ～(q ))(52)
<+∞,有<="" 时,连续函数D q 、S (q )、A (q )和f (A (q ))与本文第一部分所综述的多重分形理论相一致。

容易证明,如果
<+∞,有<="" 将定理1～5中的D ~q 、S ～(q )、A ～(q )和f ～
(A ～(q ))的波浪线去掉换成D q 、S (q )、A (q )和f (A (q )),所有结论仍然成立。

而对实际多重分形谱的测定,并不总能做到使E 趋向零,而只能在一定的无标度区内计算,因而在很多情况下计算得到的是D ~q 、S ～(q )、A ～(q )和
<+∞,有<="" f ～(A ～(q ))。

可以认为,在该无标度区内,D ~q 、S ～
<+∞,有<="" (q )、
<+∞,有<="" A ～
<+∞,有<="" (q )和f ～(A ～
<+∞,有<="" (q ))和D q 、S (q )、A (q )和f (A (q ))是相等
<+∞,有<="" 的,在本文的其它部分并不严格区分它们之间的差异。

<+∞,有<="" 3 结论
<+∞,有<="" 研究了非均匀多重分形集的广义维数D q 、质量指数S (q )、奇异性指数A (q )和奇异谱函数f (A (q ))的单调性和极限等几何特性,为确定合理的奇异谱
<+∞,有<="" 提出了判定准则。

<+∞,有<="" (1)单调性。

广义维数D q 和奇异性指数A (q )是关于q 的严格单调递减函数,质量指数S (q )是关于q 严格单调递增的凸函数,奇异谱函数f (A )关于A
<+∞,有<="" 是凸的,在q >0部分单调递增,在q <0部分单调递减。

<+∞,有<="" (2)极限。

在参数q →±∞时,广义维数D q 和奇异性指数A (q )有相同的极限;质量指数S (q )趋向无穷,且分别与q A min 和q A max 同阶;奇异谱函数f (A )的极限则显示了最大和最小测度分布的相对比例。

<+∞,有<="" (3)判定准则。

对同一个多重分形集奇异谱的实际计算,往往因对一阶导数数值方法选择的不同而得到不同的结果,合理的奇异谱曲线应当和直线y =x 相切。

一个直接的推论是,在同一坐标系里的两个多重分形的合理的奇异谱曲线在其q >0部分有且只有一个交点,大量的数值模拟也证实了这一结论,而那些在q >0部分没有交点的谱
线是明显地和本“判据”相违背的。

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