一种MEMS陀螺随机漂移的高精度建模方法_王可东

时间序列分析法在陀螺仪随机漂移分析中有 ［13 ］ 。 随机漂移常被建模为带观测 着广泛的应用 Ｒegressive Moving 噪声的自回归滑 动 平 均 （ AutoAverage ， AＲMA ） 模型， 一般先估计自回归 （ AＲ ） 参数和观测噪声方差， 再估计滑动平均 （ MA ） 参 数和驱动噪声方差。 Walker 方程的 AＲ 参数估计， 基于 Yule已经 ［46 ］ ［ 4 ］ 。 较为完善 提出重复计算观测数据 文献 自协方差以抑制观测噪声的影响并提高 AＲ 参数 56］ 估计精度。文献［ 通过对噪声补偿修正 YuleWalker （ NoiseCompensated Modified YuleWalker， NCMYW） 方程求解特征值和特征向量， 同时得到 观测噪声方差和 AＲ 参数的估计值。 MA 参数估计可分为 2 种： ① 等效为高阶 AＲ MA 参数估计精度与等效 AＲ 模型的阶次和 模型， AＲ 参数估计精度有关， 从理论上看这种估计是有 ； ② 直接估计， 根据 采用的序列统计量不同衍生出不同的方法。 偏的， 常见的有 Durbin 方法
得样本自协方差为 N ^ （ k） = 1 ∑ x（ t） x（ t － k） r N t=k +1
k = 0， 1， …， K （ 3）
为了得到自协方差函数的有效估计 ， 实际上， 至少需要 50 个观测值， 待估的自协方差函数中， K 一般不超过 N / 4［8］。 当数据长度 N 由变差系数法
［8］
0731 ； 录用日期： 20150906 ； 网络出版时间： 20150918 11 ： 25 收稿日期： 2015网络出版地址： www． cnki． net / kcms / detail /11． 2625． V． 20150918． 1125． 001． html * 通讯作者： Tel． ： 01082339586 Email： wangkd@ buaa． edu． cn
N 对于给定的 MA （ q ） 序列 ｛ x （ t ） ｝ t=1 ， 实际上， 根据式 （ 3 ） 可 计 算 直 到 K 阶 的 自 协 方 差 估 计 值。记 q
{
q －k 2 θ i θ i +k σ e ∑ i =0
1， …， q k = 0， k ＞ q
0
N 由序列可 设有一零均值平稳序列 ｛ x （ t ） ｝ t = 1 ，
2016 年 8 月 第 42 卷 第 8 期
北京航空航天大学学报 Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics
August 2016 Vol． 42 No. 8
http： ∥bhxb． buaa． edu． cn
jbuaa@ buaa． edu． cn
［ 7 ］
在基于 1 阶统计量的 MA 参数估计方法中 ， 以序列估 计 值 与 真 实 值 之 差 最 小 作 为 目 标 ， 常 该目 见形式有 条 件 平 方 和 或 非 条 件 平 方 和 ， 标函数非 线 性 度 较 高 ， 且一般适用于无观测噪 910］使用非条件平方和作为 声的模型 。 文献［ 指标函数 ， 分别使用遗传算法和共轭梯度法求 解包括 MA 参数在内的模型参数 ， 算法精度高但 。 耗时长 在基于 2 阶统计量的 MA 参数估计方法中， 以序列自协方差估计值与理论值之差最小作为目 1112］对 标， 适用于有观测噪声的模型。 文献［ GeversWouters （ GW） 算法在应用上加以推广， 该 13］ 算法收敛快精度高； 文献［ 利用 AＲ 参数和序 列倒频谱递推求解 MA 参数。这些方法的参数估 计精度与自协方差估计值的精度密切相关 。基于 更高阶统计量估计 MA 参数需要的样本数较长， ［14 ］ 且估计精度不高 。 MA 序列的自协方差估计值一般取为 目前 ，
{
r =［ r（ 0 ） ^ =［ ^（ 0） r r
r（ 1 ） ^（ 1） r
… …
T r（ q） ］ T ^ （ q） ］ r T
（ 9）
^ （ q +1 ） r γ =［
（ 4） p ＜∞。 式中： 0 ≤k， 则有 假设｛ x（ t） ｝ 为高斯过程，
∞
σ kp = ∑ （ r（ τ） r（ τ + k － p） + r（ τ － p） r（ τ + k） ）
1 ∑ （ N －| τ | ） （ r（ τ） r（ τ + k － p） + N2 τ=－N r（ τ － p） r（ τ + k） ） p = 0， 1， …， q N。 且 k， 式中： k，
∞ k =0
（ 6）
假设｛ x（ t） ｝ 为线性过程， 即有 x（ t） = ∑ h k · e1 （ t － k ） ， e1 （ t ） 为独立随 h k 为线性过程的系数， e1 （ t） ］ = 0， E［ e1 （ t ） e1 （ s） ］ = 机变量序列， 满足 E［ t = s 其值为 1 ， 否 λ δ t， δ t， s， s 为离散狄里克莱函数 ， e1 （ t ） 4 ］ ， 则为 0 。设 μ = E［ 则有
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DOI： 10． 13700 / j． bh． 10015965． 2015． 0510
一种 MEMS 陀螺随机漂移的高精度建模方法
* 王可东 ，武雨霞 （ 北京航空航天大学 宇航学院，北京 100083 ）
摘 要： 为补偿 MEMS 陀螺随机漂移， 采用时间序列分析法对其进行自回归滑动平 均（ AＲMA） 模型辨识， 提出一种滑动平均 （ MA ） 参数估计的新方法。 先将陀螺随机漂移建模 为带观测噪声的 AＲMA 模型， 在估计出自回归（ AＲ） 部分的参数后， 针对 AＲ 滤波后的残差， 推 Wouters （ GW ） 导出一种方差小的 MA 自协方差估计值， 并将该估计值作为输入， 利用 GeversMA 参数估计精度得到提升的同时， 算法估计出 MA 部分的参数。仿真结果表明， 参数估计可 靠性也得到了增强。MEMS 陀螺的随机漂移补偿实验进一步验证本文所提算法的补偿精度高 于改进前。 词： MEMS 陀螺； 随机漂移； 滑动平均 （ MA ） ； 自协方差函数； 时间序列； 自回 归滑动平均（ AＲMA） 关 键 中图分类号： V241． 62 ； V19 5965 （ 2016 ） 08158409 文献标识码： A 文章编号： 1001-
τ=－ ∞
（ 5） ^ （ k） 和 r ^ （ p） 的协方差近似为 并且 r ^ （ k） － r（ k） ） （ r ^ （ p） － r（ p） ） ］≈ E［ （r
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北 京 航 空 航 天 大 学 学 报
q
2016 年
^ ≈ 1 W ∑ （ N －| j | ） · kp N2 j =－q ^ （ j） r ^ （ j + k － p） + r ^ （ j － p） r ^ （ j + k） ） （ 10 ） （r 权矩阵取为协方 根据加权最小二乘的一般形式， 差阵的逆矩阵， 则 MA（ q） 参数估计的目标函数为 T ^ －r ^ r － r ^ －1 r （ 11 ） W f= γ γ 将矩阵行列按 1 → q + 1 和 q + 2 → m + q + 1 分块，
第8 期
王可东， 等： 一种 MEMS 陀螺随机漂移的高精度建模方法
N
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样本自 协 方 差 ， 而 该 估 计 值 的 方 差 较 大， 导致 MA 参数估计的方差较大 ， 单次估计结果可靠性 低 。 本文 推 导 了 一 种 方 差 小 的 自 协 方 差 估 计 值， 作为 GW 算法的输入 ， 仿真纯 MA 过程的参 数估计 ， 并实际应用到陀螺仪的随机漂移补偿 2 组结果均验证了改进算法能提高参数估计 中， 精度 。
4 ［17 ］ 式（ 5 ） 相差（ μ / λ － 3 ） r （ k ） r （ p ） ， 为较小的数 ， 也可近似使用式（ 6 ） 衡量自协方差估计值的估计
MA（ q） 的理论自协方差为 记 θ0 = 1 ， r（ k） = E［ x（ t） x（ t － k） ］=
精度。 （ 2） 根据 MA（ q） 理论自协方差的结构， 即大于 q 阶延迟的为 0 ， 将式（ 6 ） 简化为 ^ （ k） － r（ k） ） （ r ^ （ p） － r（ p） ） ］≈ E［ （r 1 ∑ （ N －| j | ） （ r（ j） r（ j + k － p） + N2 j =－q r（ j － p） r（ j + k） ） （ 8）
［15 ］
确定时， 估计
式（ 3 ） 可认为是无偏的。 自协方差估计值的协方 16］ 差阵在文献［ 中有详细推导， 下面直接给出结 ^ ^ （ p） 的协方 论。设变量 σ kp 用于近似表示 r（ k） 和 r 差， 其定义为 ^ （ k） － r（ k） ） （ r ^ （ p） － r（ p） ） ］ （r σ kp lim N·E ［
（ 7） （ μ / λ4 － 3 ） r（ k ） r（ p ） MA 过 程 作 为 线 性 过 程 的 特 例， 其 σ kp 符 合 式（ 7 ） 。式（ 7 ） 中涉及驱动噪声的二阶矩和四阶 矩， 在参数估计前无法使用， 可用于事后分析自协 方差估计值和参数估计值的精度。如果 MA 过程 满足高斯假设， 则自协方差估计值的协方差采用 式（ 6 ） 近似； 如果不满足高斯假设， 由于式 （ 7 ） 与
N→ ∞
^ （ q +m） ］ … r ^ 并不包含数据 样本 自 协 方 差 的 前 q 阶 r N ｛ x（ t） ｝ t=1 中所有关于未知 MA 参数的信息， q阶 ^ （ q +2 ） r ^ 的协 延迟以后的 m 个样本自协方差 γ 通过与 r 方差不为 0 影响前 q 阶自协方差估计精度。 数据 长度有限时， 高阶延迟的自协方差估计精度低且 ， m 计算量变大 不宜取过高； 低阶延迟的自协方差 ^ 的 相 关 度 高， m 不 宜 取 过 低； 一 般 估计 与 r 取m≈5 q。 取直 到 q + m 阶 延 迟 的 自 协 方 差 估 计 值 ^ 为 （ m + q + 1） × ^ T γT ］ ［ ， 其协方差矩阵 W r （ m + q + 1 ） 维， 根据式（ 8 ） 第 k + 1 行 p + 1 列元素 近似为
J］ ． 北京航空航天大学学报 ， 2016 ， 42 （ 8 ） ： 1584- 1592． 引用格式 ： 王可东 ，武雨霞． 一种 MEMS 陀螺随机漂移的高精度建模方法［ WANG K D ， WU Y X． An accurate modeling method for random drift of MEMS gyro［ J］ ． Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics ， 2016 ， 42 （ 8 ） ： 1584-1592 （ in Chinese ） ．
∞ 2
1
MA 参数估计新方法
MA（ q） 的一般形式为
x（ t） = e（ t） + θ1 e（ t － 1） + θ2 e（ t － 2） + … + θq e（ t － q） （ 1）
2 均值为 0 ， 方差为 σ e ； 式中： ｛ e（ t） ｝ 为白噪声序列，
σkp = ∑ （ r（ τ） r（ τ + k － p） + r（ τ － p） r（ τ + k） ） +
2
2． 1
随机漂移建模及补偿
τ=－ ∞
q 为 MA 过程的阶次； θ i （ i = 1 ， 2， …， q ） 为 MA 过 程的参数。
－1 －2 －q 假设特征方程 1 + θ1 z + θ2 z + …+ θ q z = 0 的根在单位圆内， 保证 MA （ q ） 的可逆性。已知数 N 2， …， q） 和 σ2 求解 θ i （ i = 1， 据序列｛ x（ t） ｝ t = 1 ， e 的过 MA 。 程即为 参数估计