高等数学洛必达法则

3)
lim
x→a
f F
′( ′(
x) x)
存在 (或为∞ )
证: 无妨假设 f (a) = F (a) = 0, 在指出的邻域内任取
x ≠ a , 则 f (x), F (x) 在以 x, a 为端点的区间上满足柯
西定理条件, 故
f (x) = f (x) − f (a) = f ′(ξ ) F (x) F (x) − F (a) F′(ξ )
2)
lim
x→0
1 x100
−
e
1 x2
解:
令t =
1 x2
,则
原式 = lim t50e−t
t→ +∞
=
lim
x→ +∞
t 50 et
(用洛必达法则)
=
t
lim
→ +∞
50t 49 et
(继续用洛必达法则)
=
=
ห้องสมุดไป่ตู้
lim
t→ +∞
50 ! et
=
0
2009年7月3日星期五
24
目录
上页
下页
返回
3) lim ln(1+ x + x2 ) + ln(1− x + x2 )
在第一章求极限时，我们遇到过许多无穷小量之比
或无穷大量之比的极限． 我们称这类极限为未定式．
例如，
（Indeterminate Form)
lim sin x ,
ex −1 lim ,
x→0 x
x→0 x
都是无穷小量之比 的极限。
又如，
ex lim ,
lim
x,
x→∞ x x→+∞ x2 + 1
都是无穷大量之比 的极限。
= lim − cos x = 0 x→π2 − sin x
2009年7月3日星期五
15
目录
上页
下页
返回
0
00
通分
∞−∞
转化
0 取倒数
取对数
0⋅∞
∞
转化
转化
1∞
∞
∞0
例7 求 lim xx.
x→0+
00型
解: lim xx = lim exln x
x→0+
x→0+
利用 例5
= e0 =1
2009年7月3日星期五
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
推论 2
若
lim
f ′(x) F ′( x)
仍属
0 0
型, 且
f
′( x) ,
F ′( x) 满足定
理1条件, 则
lim
f (x) F ( x)
=
lim
f ′(x) F ′( x)
=
lim
f ′′(x) F ′′( x)
2009年7月3日星期五
(x1n2>+01 =, λ1 > 0).
2009年7月3日星期五
12
目录
上页
下页
返回
3)
若
lim
f F
′( x) ′( x)
不存在(≠
∞)时,
lim f (x) F ( x)
≠
lim
f ′(x) F ′( x)
.
例如, lim x + sin x ≠ lim 1+ cos x
x→+∞ x
x→+∞ 1
( ξ 在 x , a 之间)
∴
lim
x→a
f F
( (
x) x)
=
lim
x→a
f F
′(ξ ′(ξ
) )
3)
lim f ′(x) x→a F ′(x)
2009年7月3日星期五
4
目录
上页
下页
返回
洛必达法则
lim
x→a
f F
( (
x) x)
=
lim
x→a
f F
′( x) ′( x)
推论1 定理 1 中x → a 换为 x → a+ , x → a− , x → ∞, x → +∞, x → −∞
2009年7月3日星期五
6
目录
上页
下页
返回
例2
π
求 lim 2
x→ + ∞
− arctan x
1
.
x
解: 原式 =
lim
−
1
1 +x
2
x→ + ∞
−
1 x2
0型 0
∞型 ∞
=
lim
x→ + ∞
x2 1+ x2
=
lim
x→ + ∞
1
1 x2
+1
=1
思考:
如何求
lim
π 2
− arctan n
( n 为正整数) ?
5
目录
上页
下页
返回
例1
求
lim
x→1
x3 x3 −
− x
3x + 2−x
2 +
1
.
0型 0
解: 原式 = lim 3x2 − 3 x→1 3x2 − 2x −1
= lim 6x = 3 x→1 6x − 2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
≠ lim 6x
x→1 6x − 2
lim 6 = 1 x→1 6
gf
2009年7月3日星期五
00 ,1∞ , ∞ 0 型
0型 0 ∞型 ∞
令 y= fg
取对数
0⋅∞ 型
f ⋅g = f 1 g
19
目录
上页
下页
返回
课后练习 习题3－3 1（偶数题）；2（2）；3
思考练习
1. 设 lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f ′(x) g ′( x)
极限
不存在 , 是否
下页
返回
例3
求
lim
x→+∞
ln x xn
(n > 0).
∞型 ∞
解:
1
原式
=
lim
x→+∞
x
nxn−1
=
lim
x→+∞
1 nxn
=0
例4
求 lim
x→+∞
xn eλx
(n> 0 ,λ > 0).
∞型 ∞
解: (1) n 为正整数的情形.
原式
=
lim
x→+∞
nxn−1
λeλx
=
lim
x→+∞
n(n −1)xn−2
t
)−
3 2
= −1
t→0
2
4
2009年7月3日星期五
22
目录
上页
下页
返回
5. 求下列极限 :
1) lim [x2 ln(1+ 1) − x];
x→∞
x
2)
lim
x→0
1 x100
−
e
1 x2
;
3) lim ln(1+ x + x2 ) + ln(1− x + x2 ).
x→0
sec x − cos x
存在 (或为∞
)
lim f (x) = lim f ′(x) x→a F (x) x→a F ′(x)
(洛必达法则)
2009年7月3日星期五
3
目录
上页
下页
返回
定理条件: 1) lim f (x) = lim F (x) = 0
x→a
x→a
2) f (x)与F (x) 在∪(a)内可导, 且 F′(x) ≠ 0
λ2 eλ x
=
= lim
x→+∞
n!
λn eλ x
=0
2009年7月3日星期五
10
目录
上页
下页
返回
例4
求 lim
x→+∞
xn eλx
(n> 0 ,λ > 0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk < xn < xk+1
从而 由(1)
xk eλx
<
xn eλx
法2
原式
11
= lim n2 (nn −1)
n→∞
= lim
n→∞
1
en
ln n
−1
n
−
1 2
n
n
=
e
1 n
ln
n
→1
eu −1～ u
= lim
n→∞
1 n
ln
n
n−
1 2
=
lim
n→∞
ln n
1
n2
=
0
2009年7月3日星期五
18
目录
上页
下页
返回
内容小结
洛必达法则
∞−∞型
f
−g
=
1 g
−
1 f
⋅1 1
f g
(x) (x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
2. lim
3
sin
x
+
x2
cos
1 x
=
x→0 (1+ cos x) ln(1+ x)
3 2
ln(1+ x)～ x
分析:
原式 =
1
lim
3sin
x
+
x2
cos
1 x
=
1 (3 +
0)
2 x→0
x
2
2009年7月3日星期五
20
目录
上页
下页
返回
3.
lim
<
xk +1 eλx
lim
x→+∞
xk eλx
=
lim
x→+∞
xk +1 eλx
=
0
∴
lim
x→+∞
xn eλ x
=0
用夹逼准则
2009年7月3日星期五
11
目录
上页
下页
返回
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x → +∞ 时,
ln x , xn (n > 0) , eλx (λ > 0)
后者比前者趋于 + ∞ 更快 .
∞
三、其他类型的未定式
四、小结与思考练习
2009年7月3日星期五
2
目录
上页
下页
返回
一、0 型未定式洛必达法则
0
定理 1
1) lim f (x) = lim F (x) = 0
x→a
x→a
2) f (x)与F (x) 在∪(a)内可导, 且 F′(x) ≠ 0
3)
lim
x→a
f F
′( x) ′( x)
1
解:
原式
=
lim
x→0+
ln x x−1
=
lim
x→0+
−
x x −1−1
=
lim (−x)
x→0+
=0
2009年7月3日星期五
14
目录
上页
下页
返回
0
00
通分
∞−∞
转化
0 取倒数
取对数
0⋅∞
∞
转化
转化
1∞
∞
∞0
例6
求 lim (sec x − tan x).
x→π2
∞ − ∞型
解: 原式 = lim ( 1 − sin x ) = lim 1− sin x x→π2 cos x cos x x→π2 cos x
n→∞
1
n
2009年7月3日星期五
7
目录
上页
下页
返回
二、∞ 型未定式的洛必达法则
∞
定理 2.
1) lim f (x) = limF (x) = ∞
x→a
x→a
2) f (x)与F (x) 在∪(a)内可导, 且 F′(x) ≠ 0
3) lim f ′(x) 存在 (或为∞) x→a F′(x)
f (x) lim x→a F(x)
16
目录
上页
下页
返回
例8
求
lim
x→0
tan x − x x2 sin x
.（补充题）
0型 0
解: 注意到 sin x～ x
原式
=
lim
x→0
tan x − x3
x
=
lim
x→0
sec2 x 3x2
−1
=
lim
x→0
tan2 x 3x2
=1 3
sec2 x = 1+ tan2 x
说明: 这到题告诉我们，洛必达法则是求未定式极限
我们分别称这两种未定式极限为 0 型和 ∞ 型。 0∞
它们不能用“商的极限等于极限的商”的规则进行运算，
但可用下面介绍的洛必达法则来求这类极限.
2009年7月3日星期五
1
目录
上页
下页
返回
第三节
第三章
洛必达法则
（L’Hospital’s Rule）
一、0 型未定式的洛必达法则
0
二、∞ 型未定式的洛必达法则
=
lim [
x→0
x sin
x
⋅
2 + 4x2 sec2 x +1
]
=1
2009年7月3日星期五
25
目录
上页
下页
返回
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
lim例3.1l+imx2
x→+∞ x→x +∞
l=xnnxxl→i=m+∞0
x(n >=0)l.im
1+ x2 x→+∞
1+ x2 x
而
例li4m. lim1+
x→+∞x→+∞x
xex2λnx=
=li0m
x→+∞
=1 6
2009年7月3日星期五
21
目录
上页
下页
返回
4.
求
lim
3
x2
(
x+2−2
x +1+
x)
x→∞
解: 令 t = 1 , 则 x
原式 = lim
t→0
1+ 2t − 2 t2
1+t +1
= lim
(1
+
2
t
)−
1 2
− (1+ t)−12
t→0
2t
=
lim
−
(1 +
2t
)
−
3 2
+
1 2
(1 +
极限不存在
lim (1+ sin x) = 1
x→+∞
x
2009年7月3日星期五
13
目录
上页
下页
返回
三、其他类型的未定式: 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞, 00, 1∞ , ∞0型
解决方法:
0
00
通分
∞−∞
转化
0 取倒数
取对数
0⋅∞
∞
转化
转化
1∞
∞
∞0
例5 求lim x ln x. 0 ⋅ ∞型 x→0+
= lim f ′(x) x→a F ′(x)
(洛必达法则)
（证明略）
2009年7月3日星期五
8
目录
上页
下页
返回
说明: 定理中 x → a 换为 x → a+, x → a−,
x →∞,
x → +∞, x → −∞
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
2009年7月3日星期五
9
目录
上页
解: 1) lim [x2 ln(1+ 1) − x]
x→∞
x
(令t = 1) x
=
lim
t→0
[
1 t2
ln(1
+
t
)
−
1 t
]
=
lim
t→0
ln(1
+t t2
)
−
t
=
lim
1 1+t
−1
=
lim
−t
= −1
t→0 2t t→0 2 t (1+ t) 2
2009年7月3日星期五
23
目录
上页
下页
返回
x→0
sec x − cos x
解:
原式
=
lim ln[(1+ x2 )2 − x2 ] x→0 sec x − cos x
= lim ln (1+ x2 + x4 ) = lim x2 + x4 x→0 sec x − cos x x→0 sec x − cos x
= lim
2x + 4x3
x→0 sec x tan x − (−sin x)
的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，
这样可以使运算简捷.
2009年7月3日星期五
17
目录
上页
下页
返回
例9 求 lim n ( n n −1).
n→∞
∞ ⋅ 0型
法1 用洛必达法则 11
分析: 为用洛必达法则 , 必须改求 lim x2 (x x −1).
x→+∞
但对本题用此法计算很繁 !
x→0
cot
x
⎜⎝⎛
1 sin
x
−
1 x
⎠⎞⎟
=
1 6
分析:
原式
=
lim
x→0
cos
x x
(x − sin 2
sin x
x)
sin x ～ x
=
lim
x→0
x
− sin x3
x
lim cos x = 1
x→0
=
lim 1
x→0
− cos 3x2
x
1
−
cos
x
～
1 2
x2
=
lim
x→0
1 2
x2
3x2